第二節 “測量概念”上位知識的系列研究

與測量概念有關的上位數學知識主要包括：什么是量，什么是計量，計量制度的發展概況，測量的意義，測量概念的內在結構關系等。只有了解了這些上位數學知識，才能進一步理解測量概念的認識過程與規律，從而更好地把握測量概念的本質。

一、什么是量

人們在觀察和研究周圍的事物時，常常要比較或測定它們的長短、大小、輕重等，這些可以比較或測定的事物的性質都是量。

量可以分為不連續量和連續量兩種。例如，停車場里的汽車數，人行道上的人數，都是不連續量；物體的長度、面積、體積、質量以及時間、溫度等，都是連續量。在數學、物理以及力學中，又把量分為下面兩種：一種是只有大小的量，叫作標量（也叫數量），長度、質量、時間、溫度、面積、體積等，都是標量；另一種是既有大小又有方向的量，叫作向量，力、速度、加速度、電場強度等，都是向量。

在小學數學教學中，常用的量有長度、面積、體積、質量、時間等。

二、什么是計量

所謂計量就是把一個未知量同一個作為標準的同類量進行比較的過程。用來作為計量的標準的量，叫作計量單位。

由于不同的需要，計量一種量往往有幾個大小不同的計量單位，我們把其中的一個作為基本單位，其他的稱為輔助單位。在同類的計量單位中，一個較大的計量單位是較小的計量單位的若干倍，這個數值叫作這兩個單位間的進率。

計量過程比計數復雜，選定一個計量單位來計量某一個量，結果往往不能得到整數量數，需要再選定一個較小的單位來計量剩下的部分。用這個較小的單位來計量，如果還不能得到整數量數，那么要想量得更精確，就需要再選定一個更小的單位來計量。

常用的計量方法有兩種，一種是把要計量的量直接同計量單位進行比較，叫作直接計量；另一種是先直接計量有關的量，再通過計算才能得到要計量的量的結果，這樣的計量叫作間接計量。例如，求圖形的面積等，通常都是用間接計量。

三、計量制度的發展概況

計量起源很早，自從人類使用勞動工具從事簡單的生產勞動時起，就開始進行計量。最初，計量是直接比較兩個量的長短、輕重、大小，等等。后來，逐漸發展到用一拃、一庹、一步來量長度、距離等。顯然，使用這些自然的計量工具是不科學的，因而逐漸產生了比較合理的計量制度，即根據某些標準來規定計量單位，并確定同類計量單位間的進率。但是在國與國之間，地區與地區之間，計量制度仍不相同。隨著物質生產和科學技術的發展，國際貿易的增加，進一步要求建立全世界統一的計量制度。

國際計量大會于1960年通過了一種國際單位制，推薦各國采用。國際單位制以長度單位“米”、質量單位“千克”、時間單位“秒”等為基本單位，從而建立了一種統一的計量單位制。

四、為什么說測量推動了數學的發展

長度測量發展的歷史源遠流長，數學史家推測，只有當人類有了改造自然的愿望與需求時，才會產生測量的需求。測量在數學發展中的推動作用，主要體現在數概念的擴展中，除此之外，測量對于形的發展也功不可沒。

在小學數學教學中，通常利用測量長度的活動引入分數的認識，這種活動的目的就是讓學生體會測量推動了數概念的擴展——由正整數擴展到分數，盡管不能確定測量是分數產生的本源，但是通過這樣的教學展示分數產生的必要性，彰顯了數學文化。

古代的數學問題大都與圖形的測量相關，測量也推動了形的發展。以我國古代的數學名著《九章算術》為例，這一著作大約成書于公元1世紀。其中，第一章是“方田”，主要講述幾何圖形面積的計算方法；第四章是“少廣”，包括已知矩形面積求一邊之長等問題。這些內容都與幾何圖形的大小測量息息相關，是兩千年來我國數學教育的重要內容。

五、如何從整體上認識和把握長度、面積和體積三者之間的內在結構關系

首先，長度、面積和體積在要素構成上具有內在邏輯關系。幾何形體構成的基本要素是點、線、面，其中，無數個點累積而成了線（從這個意義上長度也可以稱為線積）；無數條線累積而成了面（因此而稱為面積）；無數個面累積而成了體（因此而稱為體積）。因此，點、線、面和體中的前者分別依次是后者的構成要求，而后者又分別是在前者基礎上的形成和拓展。

其次，長度、面積、體積之間在概念內涵和思想方法上既有區別又有聯系。在概念內涵的語言表述方面，它們是有差異的。“長度”是一維的概念，表示物體或線段長短的程度；“面積”是二維的概念，表示物體表面或平面圖形的大小；“體積”是三維的概念，表示物體所占空間的大小。在計量和比較的思想方法上它們又表現出共同的特征。線段之間可以進行長短比較，平面圖形之間可以進行大小比較，物體之間可以進行所占空間大小的比較。因此，它們有各自直接比較和間接比較的方法。直接比較的方法有觀察法和重疊法，間接比較的方法有借助中介物體或工具等等。在此基礎上，又形成了基于一維的計量工具和單位的三維空間的計量單位體系。

六、計量工具和單位的形成過程對于學生發展思維有哪些價值

計量長度、面積、體積的工具和單位的產生是人類祖先的偉大發明，也是前人智慧的集聚表現。長度、面積和體積的概念對于學生來說不僅是遙遠的歷史，更是抽象的概念；不僅是遠離學生的，更是外在于學生的。它們是前人生命實踐的成果和經驗的結晶，已然成為符號化的書本知識。我們需要透過符號化知識的表面，對其背后的過程形態的知識加以關注。在這個過程中，學生不僅能夠認識和體會到比較過程中標準統一的必要性，而且還能夠了解從一維到二維再到三維的計量工具和單位體系形成過程的來龍去脈，從而在經歷生命實踐活動的過程中可以實現自身的再創造。