第二節(jié) “測量概念”上位知識(shí)的系列研究

與測量概念有關(guān)的上位數(shù)學(xué)知識(shí)主要包括：什么是量，什么是計(jì)量，計(jì)量制度的發(fā)展概況，測量的意義，測量概念的內(nèi)在結(jié)構(gòu)關(guān)系等。只有了解了這些上位數(shù)學(xué)知識(shí)，才能進(jìn)一步理解測量概念的認(rèn)識(shí)過程與規(guī)律，從而更好地把握測量概念的本質(zhì)。

一、什么是量

人們?cè)谟^察和研究周圍的事物時(shí)，常常要比較或測定它們的長短、大小、輕重等，這些可以比較或測定的事物的性質(zhì)都是量。

量可以分為不連續(xù)量和連續(xù)量兩種。例如，停車場里的汽車數(shù)，人行道上的人數(shù)，都是不連續(xù)量；物體的長度、面積、體積、質(zhì)量以及時(shí)間、溫度等，都是連續(xù)量。在數(shù)學(xué)、物理以及力學(xué)中，又把量分為下面兩種：一種是只有大小的量，叫作標(biāo)量（也叫數(shù)量），長度、質(zhì)量、時(shí)間、溫度、面積、體積等，都是標(biāo)量；另一種是既有大小又有方向的量，叫作向量，力、速度、加速度、電場強(qiáng)度等，都是向量。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，常用的量有長度、面積、體積、質(zhì)量、時(shí)間等。

二、什么是計(jì)量

所謂計(jì)量就是把一個(gè)未知量同一個(gè)作為標(biāo)準(zhǔn)的同類量進(jìn)行比較的過程。用來作為計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)的量，叫作計(jì)量單位。

由于不同的需要，計(jì)量一種量往往有幾個(gè)大小不同的計(jì)量單位，我們把其中的一個(gè)作為基本單位，其他的稱為輔助單位。在同類的計(jì)量單位中，一個(gè)較大的計(jì)量單位是較小的計(jì)量單位的若干倍，這個(gè)數(shù)值叫作這兩個(gè)單位間的進(jìn)率。

計(jì)量過程比計(jì)數(shù)復(fù)雜，選定一個(gè)計(jì)量單位來計(jì)量某一個(gè)量，結(jié)果往往不能得到整數(shù)量數(shù)，需要再選定一個(gè)較小的單位來計(jì)量剩下的部分。用這個(gè)較小的單位來計(jì)量，如果還不能得到整數(shù)量數(shù)，那么要想量得更精確，就需要再選定一個(gè)更小的單位來計(jì)量。

常用的計(jì)量方法有兩種，一種是把要計(jì)量的量直接同計(jì)量單位進(jìn)行比較，叫作直接計(jì)量；另一種是先直接計(jì)量有關(guān)的量，再通過計(jì)算才能得到要計(jì)量的量的結(jié)果，這樣的計(jì)量叫作間接計(jì)量。例如，求圖形的面積等，通常都是用間接計(jì)量。

三、計(jì)量制度的發(fā)展概況

計(jì)量起源很早，自從人類使用勞動(dòng)工具從事簡單的生產(chǎn)勞動(dòng)時(shí)起，就開始進(jìn)行計(jì)量。最初，計(jì)量是直接比較兩個(gè)量的長短、輕重、大小，等等。后來，逐漸發(fā)展到用一拃、一庹、一步來量長度、距離等。顯然，使用這些自然的計(jì)量工具是不科學(xué)的，因而逐漸產(chǎn)生了比較合理的計(jì)量制度，即根據(jù)某些標(biāo)準(zhǔn)來規(guī)定計(jì)量單位，并確定同類計(jì)量單位間的進(jìn)率。但是在國與國之間，地區(qū)與地區(qū)之間，計(jì)量制度仍不相同。隨著物質(zhì)生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，國際貿(mào)易的增加，進(jìn)一步要求建立全世界統(tǒng)一的計(jì)量制度。

國際計(jì)量大會(huì)于1960年通過了一種國際單位制，推薦各國采用。國際單位制以長度單位“米”、質(zhì)量單位“千克”、時(shí)間單位“秒”等為基本單位，從而建立了一種統(tǒng)一的計(jì)量單位制。

四、為什么說測量推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展

長度測量發(fā)展的歷史源遠(yuǎn)流長，數(shù)學(xué)史家推測，只有當(dāng)人類有了改造自然的愿望與需求時(shí)，才會(huì)產(chǎn)生測量的需求。測量在數(shù)學(xué)發(fā)展中的推動(dòng)作用，主要體現(xiàn)在數(shù)概念的擴(kuò)展中，除此之外，測量對(duì)于形的發(fā)展也功不可沒。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，通常利用測量長度的活動(dòng)引入分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，這種活動(dòng)的目的就是讓學(xué)生體會(huì)測量推動(dòng)了數(shù)概念的擴(kuò)展——由正整數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)，盡管不能確定測量是分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的本源，但是通過這樣的教學(xué)展示分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，彰顯了數(shù)學(xué)文化。

古代的數(shù)學(xué)問題大都與圖形的測量相關(guān)，測量也推動(dòng)了形的發(fā)展。以我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》為例，這一著作大約成書于公元1世紀(jì)。其中，第一章是“方田”，主要講述幾何圖形面積的計(jì)算方法；第四章是“少廣”，包括已知矩形面積求一邊之長等問題。這些內(nèi)容都與幾何圖形的大小測量息息相關(guān)，是兩千年來我國數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容。

五、如何從整體上認(rèn)識(shí)和把握長度、面積和體積三者之間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)關(guān)系

首先，長度、面積和體積在要素構(gòu)成上具有內(nèi)在邏輯關(guān)系。幾何形體構(gòu)成的基本要素是點(diǎn)、線、面，其中，無數(shù)個(gè)點(diǎn)累積而成了線（從這個(gè)意義上長度也可以稱為線積）；無數(shù)條線累積而成了面（因此而稱為面積）；無數(shù)個(gè)面累積而成了體（因此而稱為體積）。因此，點(diǎn)、線、面和體中的前者分別依次是后者的構(gòu)成要求，而后者又分別是在前者基礎(chǔ)上的形成和拓展。

其次，長度、面積、體積之間在概念內(nèi)涵和思想方法上既有區(qū)別又有聯(lián)系。在概念內(nèi)涵的語言表述方面，它們是有差異的。“長度”是一維的概念，表示物體或線段長短的程度；“面積”是二維的概念，表示物體表面或平面圖形的大小；“體積”是三維的概念，表示物體所占空間的大小。在計(jì)量和比較的思想方法上它們又表現(xiàn)出共同的特征。線段之間可以進(jìn)行長短比較，平面圖形之間可以進(jìn)行大小比較，物體之間可以進(jìn)行所占空間大小的比較。因此，它們有各自直接比較和間接比較的方法。直接比較的方法有觀察法和重疊法，間接比較的方法有借助中介物體或工具等等。在此基礎(chǔ)上，又形成了基于一維的計(jì)量工具和單位的三維空間的計(jì)量單位體系。

六、計(jì)量工具和單位的形成過程對(duì)于學(xué)生發(fā)展思維有哪些價(jià)值

計(jì)量長度、面積、體積的工具和單位的產(chǎn)生是人類祖先的偉大發(fā)明，也是前人智慧的集聚表現(xiàn)。長度、面積和體積的概念對(duì)于學(xué)生來說不僅是遙遠(yuǎn)的歷史，更是抽象的概念；不僅是遠(yuǎn)離學(xué)生的，更是外在于學(xué)生的。它們是前人生命實(shí)踐的成果和經(jīng)驗(yàn)的結(jié)晶，已然成為符號(hào)化的書本知識(shí)。我們需要透過符號(hào)化知識(shí)的表面，對(duì)其背后的過程形態(tài)的知識(shí)加以關(guān)注。在這個(gè)過程中，學(xué)生不僅能夠認(rèn)識(shí)和體會(huì)到比較過程中標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一的必要性，而且還能夠了解從一維到二維再到三維的計(jì)量工具和單位體系形成過程的來龍去脈，從而在經(jīng)歷生命實(shí)踐活動(dòng)的過程中可以實(shí)現(xiàn)自身的再創(chuàng)造。