1.4 損失分布法下操作風險度量

損失分布法（loss distribution approach, LDA）源自保險精算模型。2001年，巴塞爾委員會咨詢文件提出了應用損失分布法度量操作風險的基本思想，認為損失分布法是指在操作損失事件的損失頻率和損失強度的有關假設基礎上，對產品線/損失事件類型矩陣中的每一類操作損失的損失頻率分布和損失強度分布分別進行估計，并復合成復合分布，從而計算出某一時期一定置信度α下，該類型操作損失復合分布的操作風險價值［the Operational VaR, OpVaR（α）］的方法。進一步地，Frachot等（2001）對在損失分布法應用于操作風險度量時所存在的理論問題進行了系統研究。下面簡單介紹損失分布法的基本原理。

新巴塞爾協議將銀行產品線i分為8條，每條產品線下有7類損失事件j，因此，產品線與損失類型進行組合（i, j）后形成56個操作損失類型。某一組合（i, j）的操作損失為

S（i, j）＝X1+X2+… + XN

式中：N為第i條產品線與第j類風險組合（i, j）的操作風險在特定時期t內的損失頻數；X為損失強度；S（i, j）為該產品線在特定時期t內的總損失金額。

一般地，操作損失頻數分布pt（·）可能為Poisson分布或者負二項分布；操作損失強度分布F（·）為連續分布，可能為對數正態分布、Weibull分布、廣義Pareto分布等。

在損失分布法下，銀行根據每一組合（i, j）的損失樣本，估計出損失強度分布F（·）和損失頻數分布pt（·），復合為該組合（i, j）的總量分布Gt（x）：

式中，x為損失強度；n為損失頻數；t為操作風險度量的目標期間；F*n（·）為損失強度分布函數的卷積。

根據式（1－1），預期損失EL（i, j）為

在置信度α下，非預期損失UL（i, j, α）為

如果銀行表明在內部業務實踐中能準確計算出預期損失，且說服所在國監管當局，自己已計算并包括了預期損失，那么監管資本可僅以非預期損失計提：

CaR（i, j, α）＝UL（i, j, α）

否則，銀行必須通過加總預期損失（EL）和非預期損失（UL）得出監管資本，即

若銀行能夠詳細說明各組合間的相關性，則可根據有關公式計算考慮相關性后的監管資本總量；否則，須直接加總所有組合（i, j）的監管資本，作為銀行監管資本總量。

從巴塞爾委員會2004年的調查報告看，損失分布法是業界用于操作風險度量的主要方法。實際上，從操作風險引起關注開始，該方法就成為理論界研究的熱點之一。在損失分布法下，由式（1－1）可知，度量操作風險的操作損失分布為由損失強度分布Fi, j和損失頻數分布p（i, j）復合而成的復合分布函數Gi, j。

操作損失頻數分布pt（·）為離散分布，可能為Poisson分布或者負二項分布。根據操作損失發生頻數的特性，操作損失頻數分布pΔt（·）可以用Poisson分布來擬合，但是該分布不能反映樣本超離散性，負二項分布卻提供了較好的解決途徑。Gourier和Farkas等（2009）實證研究發現當置信度為99.9%時，兩分布下監管資本的差異非常小，負二項分布下的監管資本比Poisson分布下多大約5%，但是存在監管資本高估問題。Fengge和Hongmei等（2012）也發現Poisson分布能較好地擬合操作損失頻數分布。

操作損失強度分布 F（·）為連續分布，可能的分布有對數正態分布、Weibull分布、Pareto分布等。根據BASELⅡ操作風險高級計量法的穩健標準規定：“銀行必須表明所采用的方法考慮到了潛在較嚴重的概率分布 ‘尾部’損失事件。無論采用哪種方法，銀行必須表明，操作風險計量方式符合與信用風險IRB法相當的穩健標準（例如，相當于IRB法，持有期1年，99.9%置信區間）。”可見，監管資本是操作風險尾部風險度量結果。大量實證研究結果都表明操作風險具有顯著重尾性。可見，在高置信度（99.9%）下，度量監管資本的操作損失強度分布主要為具有重尾性的極值模型。一般地，在損失分布法下，實證研究主要根據操作損失強度分布特性來判別操作風險重尾性。因此，損失分布法下操作風險監管資本度量實證研究的主要對象為操作損失強度分布模型：具有重尾性的極值模型。

操作損失強度一般可分為三類：一般損失、巨大損失和極端損失。從操作損失發生的頻數看，一般損失發生損失頻數最大，巨大損失次之，極端損失最小。但是，相對于正態分布而言，操作損失強度分布極端損失發生頻數很大，而且損失強度很高，巨大損失也具有類似特征。也就是說，操作損失強度分布的尾部分布與正態分布相比不僅拖尾長而且厚度更厚，以至于不存在高階矩。這類損失發生的直接后果就是金融機構倒閉破產。因此，這類操作風險成為巴塞爾協議防范的主要對象。

Embrechts和Klüppelberg（1997）等建議用極值模型度量尾部風險，并系統探討了該模型在金融保險中的應用問題。自巴林銀行事件后，人們對操作損失數據庫進行了大量的實證研究，其結果表明極值模型能夠較好地度量這類極端損失操作風險事件，因此，極值模型被廣泛應用于操作損失強度樣本擬合。

極值模型主要有兩類：廣義極值分布模型（又稱經典區組樣本極大值模型，Block Maxima Method, BMM）和廣義Pareto模型（Generalised Pareto Distribution, GPD）。目前，操作風險尾部度量的相關研究也主要從這兩類極值模型出發來展開。Embrechts和Furrer等（2003）認為，以極值模型估計操作損失分布高置信度的分位數時，操作損失數據樣本須滿足獨立同分布的假設，且須達到一定的樣本量。Cruz（2004）不僅在理論上研究了極值模型在操作風險度量中的應用問題，而且進行了實踐性探討。Giulio和Roberto（2005）以極值模型對操作風險進行實證研究后發現，度量結果高度依賴于分布的形態類型。大量實證研究結果表明操作風險具有顯著重尾性，操作損失強度樣本的最佳擬合分布為重尾性分布Pareto分布和Weibull分布。

（1）當以廣義Pareto分布來擬合操作損失強度樣本時，實證研究表明形狀參數大于0，即操作損失強度分布為Pareto分布。

巴塞爾委員會于2002年在全球范圍內進行了一次操作損失樣本收集，下述兩文獻分別對此操作損失數據樣本進行了實證研究。Fontnouvelle和Rosengren等（2004）以Weibull分布、伽瑪分布、對數伽瑪分布、Pareto分布等分布進行比較研究，分析結果表明損失分布表現出顯著厚尾性。Moscadelli（2004）認為極值模型GEV和GPD是研究操作損失強度分布尾部特性的有用工具，其形狀參數大小決定了損失強度分布的厚尾程度，并且以GPD對操作損失強度樣本進行實證研究后發現，形狀參數大于0，即操作損失強度為Pareto分布。

Annalisa和Claudio（2003）用廣義Pareto分布模擬操作風險嚴重性的尾部特征后發現，極值模型能很好地擬合操作風險尾部分布狀況。Fontnouvelle和Virginia（2003）分析了低頻高強度操作損失數據樣本，發現Pareto分布能較好地擬合損失強度分布。

Dutta和Perry（2006）對2004年調查收集的操作損失數據進行了實證研究，以指數分布、伽瑪分布、廣義Pareto分布、對數正態分布、Weibull分布等多種模型在不同銀行、不同產品線和不同損失類型上對損失強度進行了擬合檢驗，發現損失強度分布具有明顯厚尾性。Chavez－Demoulin等（2006）認為極值模型是度量低頻高強度操作風險的最優方法，且探討了當以Pareto分布擬合操作損失強度時，在置信度99.9%下操作風險價值的估計問題。Allen和Bali（2007）認為銀行風險暴露會受到經濟周期性波動的影響，從而使風險監管資本度量產生偏差，且以GPD模型實證檢驗了操作風險度量中周期性風險因子的存在。Gourier和Farkas等（2009）以GPD來擬合操作損失強度樣本后發現，其形狀參數大于0，即損失強度分布為Pareto分布。

陳學華等（2003）將POT模型應用于度量商業銀行的操作風險，認為POT模型可以準確描述分布尾部的分位數。張文和張屹山（2007）以我國某商業銀行從1988年到2002年的操作風險事件為樣本，利用POT模型估計出在一定置信度下的VaR和ES值。高麗君等（2006,2007）系統探討了極值理論在我國商業銀行操作風險度量中的應用，認為采用傳統Hill估計方法對小樣本數據進行尾參數估計易產生偏倚，因此采用改進的Hill方法（小樣本無偏估計的HKKP估計）來估計操作損失分布的尾參數，采用了最小化估計的累積概率分布與經驗累積概率分布平均平方誤差的方法確定閾值，估計出操作風險價值。

（2）當以廣義極值分布模型來擬合操作損失強度樣本時，實證研究表明操作損失強度分布為Weibull分布。

Georges和Hela（2008）對某銀行損失強度樣本進行了實證分析，以Weibull分布擬合強度分布的主體部分，以Pareto分布擬合強度分布尾部。Ariane和Yves等（2008）以某銀行損失樣本分別擬合了LogNormal分布、Weibull分布以及Pareto分布，并探討了管理措施對風險調整后收益（RAROC）的影響。Fengge和Hongmei等（2012）用廣義極值分布擬合操作損失強度樣本后發現，其形狀參數大于0，即屬于Weibull分布。Dionne和Dahen（2008）以Weibull分布擬合操作損失樣本，并估計出損失分布特征參數。

史道濟（2006）將厚尾分布定義為：如果隨機變量的峰度大于3（正態分布峰度等于3），則稱該隨機變量對應的分布為厚尾分布。但是，在某些情況下極值分布的高階矩不存在，因此，其分布的尾部厚薄狀況就不能用厚尾分布的概念來進行刻畫，須用另一概念——重尾性分布來描述。

史道濟將重尾性分布定義為：如果存在正整數k，使得無窮，則稱分布F（x）的上尾是重尾的，類似可定義下尾是重尾的情況。Embrechts和Klüppelberg（1997）認為，如果分布的密度函數以冪函數的速度衰減至0，那么該分布是重尾的。

因此，不管隨機變量的高階矩是否存在，“重尾性”概念都能很好地刻畫操作風險尾部厚薄狀況，從而使分布尾部厚薄狀況的描述具有一般性。在極值分布模型中，形狀參數值大小表示了分布尾部厚度狀況。對于Pareto分布，形狀參數越大，分布尾部厚度越大；反之，尾部厚度越小。對于Weibull分布，形狀參數越小，分布尾部厚度越大；反之，尾部厚度越小。

根據國內外文獻對損失強度的實證研究，重尾性極值模型Pareto分布和Weibull分布是操作損失強度樣本的最佳擬合分布。實際上，理論研究表明在極值模型中僅Pareto分布（屬于GPD）和Weibull分布（屬于GEV）為重尾性極值模型（楊洋和王開永，2013）。可見，重尾性極值模型成為操作損失強度的最佳分布具有理論依據。在重尾性極值模型下研究操作風險度量問題具有重要的理論意義與實踐意義。