（1）有效數字的定義及位數

有效數字是測量過程中實際能夠測到的數字，其組成為：所有確定數字 + 一位估計數。有效數字的最后一位可疑數字，通常理解為它可能有±1個單位的絕對誤差。它反映了隨機誤差。

例如：讀取滴定管上的刻度，甲得到23.43mL，乙得到23.42mL，丙得到23.44mL，這些四位數字中，前三位數字都是很準確的，第四位數字是估計出來的，所以稍有差別。這第四位數字稱為可疑數字，但它不是臆造的，所以記錄時應該保留它。

由于有效數字位數與測量儀器精度有關，實驗數據中任何一個數都是有意義的，數據的位數不能隨意增加或減少，如在分析天平稱量某物質為0.2501g（分析天平感量為±0.1mg），不能記錄為0.25010g。50mL滴定管讀數應保留小數后兩位，如28.30mL不能記為28.3mL。現通過以下幾個例子，說明如何計算有效數字的位數。

在以上數字中，“0”所起的作用是不同的。在小數點前的“0”只起定位作用，僅與所采用的單位有關，而與測量的精度無關，因此，就不是有效數字。而最后一位的“0”則表示測量精度所能達到的位數，因而是有效數字，不可隨意略去。

有效數字的位數不能也不會因為單位的改變而增減。因為不管單位如何改變，測量的精度是一樣的。如1.0L是兩位有效數字，不能寫成1000mL，應寫成1.0×10³mL，仍然是兩位有效數字。

在分析化學計算中，常遇到倍數、分數關系。這些數據不是測量所得到的，可視為無限多位有效數字。而對pH、pM、lgC、lgK等對數值，其有效數字的位數，按照“對數的位數與真值的有效數字位數相等，對數的首數相當于真值的指數”的原則來定。例如 [H⁺] = 6.3 × 10^?12 mol·L^?1，兩位有效數字，所以pH = 11.20，不能寫成pH = 11.2。

注意：小數點后位數的多少反映了測量絕對誤差的大小。小數點后有1位，絕對誤差為±0.1；小數點后有2位，絕對誤差為 ±0.01。小數點后具有相同位數的數字，其絕對誤差的大小也相同，而與有效數字的位數無關。如5.0、50.0和500.0，其絕對誤差均為 ±0.1。而有效數字位數的多少反映了測量相對誤差的大小。具有相同有效數字位數的測量值，其相對誤差的大小處于同一水平上（即同一誤差范圍）。如表2.3所示。

表2.3　有效數字位數與誤差的關系

（2）有效數字的修約規則

測量數據的計算結果要按照有效數字的計算規則保留適當位數的數字，因此必須舍棄多余的數字，這一過程稱為“數字的修約”。目前，有效數字的修約一般采用“四舍六入五留雙，五后非零需進一”的規則?。

“四舍六入五留雙，五后非零需進一”的規則規定：

① 在擬舍棄的數字中，右邊第一個數字≤4時舍棄，右邊第一個數字≥6時進1。例如，欲將15.3432修約為三位有效數字，則從第4位開始的“432”就是擬舍棄的數字，“3”右邊的“4”等于4，因此修約為15.3。又例如，15.3632→15.4。

② 擬舍棄的數字為5，且5后無數字時，擬保留的末位數字若為奇數，則舍5后進1；若為偶數（包括0），則舍5后不進位。例如，15.35→15.4；15.45→15.4。

③ 若 5 后有數字，則擬保留的數字無論奇、偶數均進位。例如，15.3510→15.4；15.4510→15.5。

例2.5　請將下列數字修約為四位有效數字。

修約如下：

14.2442→14.24

26.4863→26.49

15.0250→15.02

15.0151→15.02

15.0251→15.03

需要指出的是，修約數字時要一次修約到所需要的位數，不能連續多次修約，例如，2.3457修約到兩位，應為2.3；如果連續修約則為2.3457→2.346→2.35→2.4，這就不對了。

（1）加減法

幾個數相加或相減時，其和或差的小數點后位數應與參加運算的數字中小數點后位數最少的那個數字相同。即：運算結果的有效數字的位數取決于這些數字中絕對誤差最大者。如：

0.0121+25.64+1.05782 = ？

其中，25.64的絕對誤差為±0.01，是最大者（按最后一位數位可疑數字），故按小數點后保留兩位報結果為：

0.0121+25.64+1.05782 = 0.01+25.64+1.06 = 26.71

（2）乘除法

幾個數相乘或相除時，其積或商的有效數字位數應與參與運算的數字中有效數字位數最少的那個數字相同。也就是說，運算結果的有效數字的位數取決于這些數字中相對誤差最大者。

例如：0.0121×25.64×1.05782=？

式中，0.0121的相對誤差最大，其有效數字的位數最少，只有三位。故應以它為標準將其他各數修約為三位有效數字，所得計算結果的有效數字也應保留三位。

0.0121×25.64×1.05782 = 0.328

運算時，先修約再運算，或最后再修約，兩種情況下得到的結果有時不一樣。為避免出現此情況，既提高運算速度，而又不使修約誤差積累，可在運算過程中，將參與運算的各數的有效數字位數修約到比該數應有的有效數字位數多一位（這多取的數字稱為安全數字），然后再進行計算。

例如：=？

先修約再運算，即：

運算后再修約，結果為：= 0.07125590→0.0713

兩者不完全一樣，如采用安全數字，本例中各數取四位有效數字，最后結果修約到三位，即：

這是目前大家常采用的，使用安全數字的方法。

在使用計算器作連續運算時，過程中不必對每一步的計算結果進行修約，但應注意根據其準確度要求，正確保留最后結果的有效數字位數。

無論是加減還是乘除運算，都要遵循一個共同的原則，即計算結果的精度取決于測量精度最差的那個原始數據的精度。但加減法是從絕對誤差出發，因而是以絕對誤差最大即小數點后位數最少的那個原始數據為基準來表示計算結果的精度的；而乘除法則是從相對誤差出發，因而是以相對誤差最大即有效數字位數最少的那個原始數據為基準來表示計算結果的精度的。