第二節(jié)　開路式泵的運(yùn)動(dòng)學(xué)及流量分析

了解各種開路式泵的工作原理后，本節(jié)將以斜盤型泵為主對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)及流量分析，以便認(rèn)識(shí)柱塞泵性能及其內(nèi)部規(guī)律，這是非常重要的。

一、開路式泵的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

由開路式軸向柱塞泵的工作原理可知，當(dāng)液壓泵工作時(shí)，柱塞對(duì)固定殼體而言，做兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)：一個(gè)是在缸體內(nèi)往復(fù)移動(dòng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)；另一個(gè)是與缸體一起旋轉(zhuǎn)的牽連運(yùn)動(dòng)。此外，柱塞與滑靴還有由于摩擦而產(chǎn)生相對(duì)于缸體繞自身軸線旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

1.柱塞的運(yùn)動(dòng)分析

圖2-17為開路式軸向柱塞泵的運(yùn)動(dòng)簡圖。設(shè)傾斜配流盤（斜盤）相對(duì)于缸體橫截面的傾角為α，取坐標(biāo)系oxyz，以柱塞運(yùn)動(dòng)的上止點(diǎn)A作為零位（即A柱塞球頭中心的起始點(diǎn)）。當(dāng)缸體轉(zhuǎn)過任一角度φ時(shí)，柱塞球頭中心轉(zhuǎn)至B點(diǎn)。此時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為：

　　（2-1）

式中　R——柱塞分布圓半徑，mm。

由此坐標(biāo)方程可以看出，沿缸體軸線方向（即x方向）的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，是缸體轉(zhuǎn)角φ的余弦函數(shù)。在oyx平面內(nèi)，柱塞球頭的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓。

（1）柱塞位移S

柱塞處于上止點(diǎn)位置時(shí)，其球頭中心A點(diǎn)在x軸上的坐標(biāo)為：

　　（2-2）

柱塞轉(zhuǎn)過任一角度φ后，其球頭中心在x軸上的坐標(biāo)為：

　　（2-3）

柱塞位移為x₁與x₂的差值：

　　（2-4）

柱塞轉(zhuǎn)至下止點(diǎn)時(shí)，φ=180°，柱塞達(dá)最大位移：

　　（2-5）

式中　h——柱塞行程，mm。

（2）柱塞速度v

對(duì)柱塞位移S的表達(dá)式進(jìn)行微分，可得柱塞相對(duì)缸體運(yùn)動(dòng)的速度：

　　（2-6）

式中　ω——缸體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。

當(dāng)時(shí)，速度達(dá)最大值：

　　（2-7）

柱塞運(yùn)動(dòng)的平均相對(duì)速度為：

　　（2-8）

（3）柱塞加速度a

對(duì)柱塞速度v的表達(dá)式進(jìn)行微分，可得柱塞相對(duì)缸體運(yùn)動(dòng)的加速度：

　　（2-9）

當(dāng)φ為0或π時(shí)，加速度達(dá)最大值：

　　（2-10）

位移、速度、加速度與轉(zhuǎn)角φ的關(guān)系如圖2-18所示，是按簡諧規(guī)律變化的。牽連運(yùn)動(dòng)的加速度是由于缸體旋轉(zhuǎn)而使柱塞產(chǎn)生的離心加速度，方向指向軸線ox，其值為：

　　（2-11）

2.滑靴在傾斜配流盤上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

如圖2-17所示，將坐標(biāo)系oxyz以oz軸為軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)過α角，得一新的坐標(biāo)系ox₁y₁z₁，點(diǎn)B在坐標(biāo)系ox₁y₁z₁中，坐標(biāo)值為：

　　（2-12）

由此可知，滑靴在傾斜配流盤上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為一橢圓，其長軸為，短軸為R，對(duì)應(yīng)任一轉(zhuǎn)角φ的矢徑：

　　（2-13）

矢徑ρ與橢圓長軸的夾角為λ，則：

　　（2-14）

滑靴繞o旋轉(zhuǎn)的角速度為：

　　（2-15）

由式（2-15）可知，當(dāng)（取0及正整數(shù)）時(shí)，ω_h達(dá)到最大值，為：

　　（2-16）

當(dāng)φ=n₁π（n₁為0及正整數(shù)）時(shí)，ω_h有最小值，為：

　　（2-17）

由于滑靴在oy₁z₁平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間與缸體轉(zhuǎn)一周時(shí)間相等，所以，其平均角速度ω_hm與ω相同，即：

　　（2-18）

滑靴沿傾斜配流盤表面與橢圓軌跡相切的滑移速度為v_h，則：

　　（2-19）

滑靴在旋轉(zhuǎn)中，由于離心力的作用，滑靴對(duì)于傾斜配流盤的壓力作用線，將偏離滑靴軸線。在此力所引起的摩擦力的作用下，滑靴、柱塞會(huì)產(chǎn)生繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)快慢取決于旋轉(zhuǎn)摩擦力的大小。自轉(zhuǎn)可改善潤滑情況，減小摩擦，提高效率。

二、單級(jí)開路式泵排量、流量及流量脈動(dòng)分析

通過柱塞運(yùn)動(dòng)的分析可知，柱塞運(yùn)動(dòng)的速度是其轉(zhuǎn)角的正弦函數(shù)。因此，泵在全部工作過程中，其輸出流量存在脈動(dòng)現(xiàn)象。

1.平均理論流量Q₀

柱塞旋轉(zhuǎn)一周，完成一次吸油、排油過程。在此期間，密封容積的最大變化量為：

　　（2-20）

式中　A——柱塞面積，mm²；

d——柱塞直徑，mm。

所以，每個(gè)柱塞旋轉(zhuǎn)一周，實(shí)現(xiàn)吸、排油量為ΔV。若泵的柱塞數(shù)為z，則泵每轉(zhuǎn)理論排量為：

　　（2-21）

由式（2-21）可見，泵的排量與傾斜配流盤傾角正切成正比。改變傾斜配流盤傾角，就可以改變泵流量。

若泵以每分鐘為n的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，則泵的平均理論流量為：

　　（2-22）

2.泵的實(shí)際流量Q

泵在工作時(shí)，由于吸油不足及存在泄漏，使泵的實(shí)際流量低于理論流量。設(shè)泵容積效率為η_V，則泵的實(shí)際流量為：

　　（2-23）

3.泵的瞬時(shí)流量Q_sh

由于泵有多個(gè)柱塞同時(shí)在排油腔和進(jìn)油腔，所以，泵的瞬時(shí)理論流量為同一瞬時(shí)所有處于排油腔的柱塞瞬時(shí)流量之和。

　　（2-24）

式中　Q_i——壓油腔第i個(gè)柱塞瞬時(shí)理論流量；

m——處于壓油腔的柱塞數(shù)。

每一個(gè)柱塞的瞬時(shí)流量為：

　　（2-25）

式中　V_i——柱塞i的軸向速度，rad。

則：

式中　φ_i——柱塞i的轉(zhuǎn)角，rad。

即：

　　（2-26）

設(shè)柱塞數(shù)為z，則任一相鄰的柱塞夾角。設(shè)編號(hào)i=1的，則順次有：φ₂=φ₁+2β，φ₃=φ₁+4β……

則：

　　（2-27）

經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可得出：

　　（2-28）

（1）偶數(shù)柱塞的工作情況

對(duì)于偶數(shù)柱塞，位于排油腔的柱數(shù)總數(shù)，代入式（2-28）得：

　　（2-29）

將式（2-29）代入式（2-26）得偶數(shù)柱塞泵瞬時(shí)流量為：

　　（2-30）

式（2-30）中，φ₁有意義的變化范圍為0≤φ₁≤2β。分析柱塞的工作情況，可知Q_sh為一周期函數(shù)，周期為2β，其變化規(guī)律如圖2-19所示。

由圖可知，當(dāng)φ=2（n'-1）β時(shí)，流量值最小；當(dāng)φ=（2n'-1）β時(shí)，流量最大（n'為自然數(shù)）。

　　（2-31）

　　（2-32）

在半個(gè)周期內(nèi)，泵流量的平均值為：

將代入，經(jīng)積分得：

Q_r與式（2-22）中Q₀表達(dá)式相同。可見通過不同途徑推得泵的平均理論流量的表達(dá)式是相同的。

衡量瞬時(shí)流量品質(zhì)的參數(shù)主要有流量不均勻系數(shù)δ_Q和流量脈動(dòng)系數(shù)δ。

流量不均勻系數(shù)為：

　　（2-33）

流量脈動(dòng)系數(shù)為：

　　（2-34）

流量脈動(dòng)頻率為：

　　（2-35）

（2）奇數(shù)柱塞的工作情況

奇數(shù)柱塞的液壓泵如圖2-20所示。

當(dāng)時(shí)，壓油腔柱塞個(gè)數(shù)，代入式（2-28）得：

　　（2-36）

當(dāng)時(shí)，，代入式（2-28）得：

　　（2-37）

將式（2-36）、式（2-37）代入式（2-26）得：

　　（2-38）

式（2-38）中，時(shí)取正號(hào)，時(shí)取負(fù)號(hào)。

Q_sh也是周期函數(shù)，其周期為，其變化規(guī)律如圖2-21所示。

當(dāng)時(shí)，Q_sh出現(xiàn)最小值。

當(dāng)時(shí)，Q_sh出現(xiàn)最大值，其中n'為自然數(shù)。

　　（2-39）

　　（2-40）

在一個(gè)周期內(nèi)求泵的理論平均流量，得：

流量不均勻系數(shù)為：

　　（2-41）

流量脈動(dòng)系數(shù)為：

　　（2-42）

流量脈動(dòng)頻率為：

　　（2-43）

（3）奇、偶數(shù)柱塞泵性能比較

將不同的柱塞數(shù)z代入式（2-33）或式（2-34）中，所得流量不均勻系數(shù)數(shù)據(jù)見表2-2，其曲線見圖2-22。由于柱塞數(shù)為正整數(shù)，所以曲線不是連續(xù)的。

由表2-2和圖2-22可知：

①流量脈動(dòng)程度隨著柱塞數(shù)的增加而下降。

②奇數(shù)柱塞的脈動(dòng)程度遠(yuǎn)小于偶數(shù)柱塞的脈動(dòng)程度。

兩個(gè)相鄰柱塞數(shù)脈動(dòng)系數(shù)之比為：

所以，設(shè)計(jì)柱塞泵時(shí)，在工藝結(jié)構(gòu)允許的條件下，柱塞數(shù)取大些為好。一般應(yīng)選用奇數(shù)柱塞。由于當(dāng)奇數(shù)柱塞z≥9時(shí)，流量脈動(dòng)隨柱塞數(shù)增加而降低，比較平緩，故泵的柱塞數(shù)常取z=7。

三、多級(jí)開路式泵排量、流量及流量脈動(dòng)分析

開路式泵由于實(shí)現(xiàn)了自冷卻、自潤滑，去掉了泄漏回油管路，因此，可以實(shí)現(xiàn)多級(jí)泵的串聯(lián)、并聯(lián)。

1.串聯(lián)時(shí)的流量及流量脈動(dòng)

由前面介紹可知，將兩個(gè)開路式泵串聯(lián)起來，第一級(jí)泵的進(jìn)油口與油箱相通，出油口與第二級(jí)泵進(jìn)油口相通，第二級(jí)泵的出油口即為雙級(jí)串聯(lián)泵的高壓油輸出口。

設(shè)第一、第二級(jí)泵分別作為單級(jí)泵使用時(shí)，壓力、流量分別為p₁、p₂、Q₁、Q₂，且設(shè)兩級(jí)泵的斜盤傾角、柱塞分布圓直徑和柱塞直徑分別相等時(shí)有Q₁=Q₂，則串聯(lián)后雙級(jí)泵的壓力、流量分別為：

　　（2-44）

式（2-44）中未考慮泄漏影響。

同理，如果有n級(jí)泵串聯(lián)，第i級(jí)泵作為單級(jí)泵使用時(shí)，其壓力、流量分別為p_i、Q_i，則n級(jí)串聯(lián)泵的壓力、流量分別為：

　　（2-45）

同樣，式（2-45）也沒有考慮泄漏影響。

下面首先討論串聯(lián)雙級(jí)泵的流量脈動(dòng)情況。為討論方便，假設(shè)雙級(jí)泵的兩個(gè)單級(jí)泵傾斜配流盤傾角、柱塞分布圓直徑及柱塞直徑分別相等。

由式（2-26）和式（2-28）可知，單級(jí)泵瞬時(shí)流量為：

　　（2-46）

定義波動(dòng)系數(shù)為：

　　（2-47）

因?yàn)榈谝患?jí)泵從油箱吸油，可以認(rèn)為吸入的油液是均勻的，即f₀（t）=1，則第一級(jí)泵的瞬時(shí)理論流量為：

　　（2-48）

式中　d₁——第一級(jí)泵柱塞直徑，mm；

R₁——第一級(jí)泵缸體上柱塞孔分布圓半徑，mm；

α₁——第一級(jí)泵斜配流盤（或斜盤）傾角，rad；

φ₁——第一級(jí)泵缸體轉(zhuǎn)角，rad。

如果不考慮第一級(jí)泵的輸出對(duì)第二級(jí)泵的影響，即設(shè)第一級(jí)泵輸出油液無脈動(dòng)，則f₁（t）=1。

套用上述公式則：

　　（2-49）

式中　d₂——第二級(jí)泵柱塞直徑，mm；

R₂——第二級(jí)泵缸體上柱塞孔分布圓半徑，mm；

α₂——第二級(jí)泵傾斜配流盤傾角，rad；

φ₂——第二級(jí)泵缸體轉(zhuǎn)角，rad；

?——滯后角，rad。

?值大小與第一級(jí)泵輸出口到第二級(jí)泵輸入口之間的管路體積V、傳動(dòng)軸轉(zhuǎn)角（同軸傳動(dòng)時(shí)）有關(guān)。

設(shè)，則：

　　（2-50）

第二級(jí)泵的理論瞬時(shí)流量為：

　　（2-51）

（1）兩級(jí)柱塞數(shù)都是偶數(shù)時(shí)的流量及流量脈動(dòng)

設(shè)柱塞數(shù)為z，則。

由式（2-47）和式（2-49）可知：

當(dāng)0≤φ₁≤2β時(shí)：

　　（2-52）

當(dāng)0≤φ₂≤2β時(shí)：

　　（2-53）

因?yàn)?i>f₁（t）是以2β為周期的周期函數(shù)，所以，當(dāng)2β≤φ₁≤4β時(shí)有：

　　（2-54）

由式（2-51）可知：

當(dāng)時(shí)：

　　（2-55）

當(dāng)時(shí)：

對(duì)求導(dǎo)，并比較兩區(qū)間的極大值和極小值得：

當(dāng)時(shí)，出現(xiàn)最大值。

　　（2-56）

當(dāng)φ₁=?或2β或2（n'-1）β或2（n'-1）β+?時(shí)，出現(xiàn)最小值。

　　（2-57）

n'為自然數(shù)，其流量脈動(dòng)情況見圖2-23。

由圖可見，為一周期函數(shù)，周期為2β。

流量脈動(dòng)系數(shù)為：

　　（2-58）

流量脈動(dòng)頻率為：

　　（2-59）

（2）兩級(jí)泵柱塞數(shù)都是奇數(shù)時(shí)的流量及流量脈動(dòng)

設(shè)z為柱塞個(gè)數(shù)，當(dāng)0≤φ≤β時(shí)，，當(dāng)β≤φ≤2β時(shí)，。

由式（2-47）和式（2-49）得：

　　（2-60）

　　（2-61）

因?yàn)?i>f（t）是以β為周期的周期函數(shù)，所以，

當(dāng)2β≤φ₁≤3β時(shí)：

　　（2-62）

下面分四個(gè)區(qū)間來討論泵的瞬時(shí)流量。

區(qū)間Ⅰ：?≤φ₁≤β，0≤φ₂≤β-?

　　（2-63）

區(qū)間Ⅱ：β≤φ₁≤（β+?），（β-?）≤φ₂≤β

　　（2-64）

區(qū)間Ⅲ：β+?≤φ₁≤2β，β≤φ₂≤2β-φ

　　（2-65）

區(qū)間Ⅳ：2β≤φ₁≤（2β+?），（2β-?）≤φ₂≤2β

　　（2-66）

分別在上述區(qū)間對(duì)式（2-63）～式（2-66）求導(dǎo)，找出極值點(diǎn)，并比較極大值、極小值，可得到最大值和最小值。

當(dāng)時(shí)，出現(xiàn)最大值。

當(dāng)φ₁=n'β+?或（n-1）β或?（n'、n為自然數(shù)）時(shí)，出現(xiàn)最小值。

其流量脈動(dòng)情況見圖2-24。

由圖可見，為一周期函數(shù)，周期為β。

流量脈動(dòng)系數(shù)δ為：

流量脈動(dòng)頻率為：

　　（2-67）

（3）第一級(jí)泵柱塞為偶數(shù)、第二級(jí)泵柱塞為奇數(shù)時(shí)的流量及流量脈動(dòng)

設(shè)第一級(jí)柱塞數(shù)為z₁（偶數(shù)），第二級(jí)泵柱塞為z₂（奇數(shù)），假設(shè)z₁、z₂相鄰，近似取β₁=β₂=β。

由式（2-47）和式（2-49）得：

　　（2-68）

　　（2-69）

因?yàn)?i>f₁（t）是以2β為周期的周期函數(shù)，所以，當(dāng)2β≤φ₁≤4β時(shí)：

　　（2-70）

由式（2-51）可知，當(dāng)?≤φ₁≤β+?時(shí)：

　　（2-71）

當(dāng)β+?≤φ₁≤2β時(shí)：

當(dāng)2β≤φ₁≤2β+?時(shí)：

對(duì)求導(dǎo)可知：

當(dāng)或時(shí)，有最大值。

　　（2-72）

當(dāng)φ₁=2β或2nβ時(shí)，有最小值。

　　（2-73）

其流量脈沖情況見圖2-25。

為一周期函數(shù)，周期為2β。

流量脈動(dòng)系數(shù)為：

　　（2-74）

流量脈動(dòng)頻率為

　　（2-75）

（4）第一級(jí)泵柱塞為奇數(shù)、第二級(jí)泵柱塞為偶數(shù)時(shí)的流量及流量脈動(dòng)

根據(jù)前述推導(dǎo)過程，同理可得出前奇后偶雙級(jí)泵瞬時(shí)流量表達(dá)式：

當(dāng)?≤φ₁≤β時(shí)：

　　（2-76）

當(dāng)β≤φ₁≤2β時(shí)：

當(dāng)2β≤φ₁≤2β+?時(shí)：

當(dāng)或時(shí)，有最大值。

　　（2-77）

當(dāng)φ₁=?或2nβ+?時(shí)，有最小值。

　　（2-78）

其流量脈動(dòng)情況見圖2-26。

為一周期函數(shù)，周期為2β。

由于的最大值、最小值與前偶后奇雙級(jí)泵相同，所以泵的流量脈動(dòng)系數(shù)相同。流量脈動(dòng)頻率為f_Q=nz，對(duì)于n級(jí)柱塞泵串聯(lián)的情況，可依據(jù)上述方法進(jìn)行推導(dǎo)。

2.開路式泵并聯(lián)時(shí)流量及流量脈動(dòng)

將各個(gè)開路式泵的輸入口相連作為并聯(lián)泵，其輸入口與油箱相通，將各個(gè)泵的輸出口相通作為并聯(lián)泵的出口，形成多級(jí)并聯(lián)泵。

如果n個(gè)單級(jí)泵并聯(lián)，每級(jí)泵作為單級(jí)泵使用時(shí)，壓力和流量分別為p₁、p₂、p₃、…、p_n，Q₁、Q₂、…、Q_n。

當(dāng)p₁=p₂=…=p_n，如不考慮流量及壓力損失，并聯(lián)多級(jí)泵的壓力、流量分別為：

　　（2-79）

假若兩個(gè)開路式泵并聯(lián)，且兩個(gè)單級(jí)泵結(jié)構(gòu)參數(shù)完全相等，則：

　　（2-80）

　　（2-81）

式中　?——滯后角，φ₁=φ₂+?。

當(dāng)?shù)诙?jí)泵輸出口到雙級(jí)泵流量匯合處之間管路結(jié)構(gòu)，與第一級(jí)泵輸出口到雙級(jí)泵流量匯合處之間管路結(jié)構(gòu)相同時(shí)，?=0，第一級(jí)泵與第二級(jí)泵同步。

當(dāng)兩個(gè)泵同步時(shí)，則雙級(jí)泵與單級(jí)泵的瞬時(shí)流量變化的周期、頻率、級(jí)值點(diǎn)位置完全相同，而脈動(dòng)系數(shù)和流量與脈動(dòng)量，即最大瞬時(shí)流量與最小瞬時(shí)流量之差增大了一倍。

當(dāng)兩個(gè)泵不同步時(shí)，可分以下幾種情況。

①兩個(gè)偶數(shù)柱塞泵并聯(lián)時(shí)，兩個(gè)單級(jí)泵的流量分別為：

當(dāng)0≤φ₁≤2β時(shí)：

當(dāng)0≤φ₂≤2β時(shí)：

根據(jù)式（2-81）有：

　　（2-82）

②當(dāng)兩個(gè)奇數(shù)柱塞泵并聯(lián)時(shí)，同理可推出雙級(jí)泵瞬時(shí)流量Q_sh。

　　（2-83）

同理可推出一個(gè)奇數(shù)泵與一個(gè)偶數(shù)泵并聯(lián)時(shí)的情況。

對(duì)于并聯(lián)柱塞泵來講，?的情況較為復(fù)雜，需根據(jù)具體情況利用∑（Q_sh）表達(dá)式分析泵的瞬時(shí)流量脈動(dòng)情況。

3.開路式泵流量脈動(dòng)綜合分析

關(guān)于單級(jí)開路式軸向柱塞泵的流量脈動(dòng)，前面已有論述，下面重點(diǎn)分析串聯(lián)柱塞泵流量脈動(dòng)。

以滯后角?為橫坐標(biāo)，以流量脈動(dòng)系數(shù)為縱坐標(biāo)畫出流量脈動(dòng)曲線。圖2-27～圖2-29分別為雙級(jí)偶數(shù)泵、雙級(jí)奇數(shù)泵、雙級(jí)奇偶（或偶奇）泵流量脈動(dòng)曲線。

通過分析，可得出如下結(jié)論。

①雙級(jí)奇數(shù)柱塞泵流量脈動(dòng)率最小，雙級(jí)偶數(shù)柱塞泵流量脈動(dòng)率最大，雙級(jí)奇偶柱塞泵流量脈動(dòng)率居中。

②對(duì)于串聯(lián)泵，每個(gè)單級(jí)泵柱塞為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)滯后角?在2β附近時(shí)，流量脈動(dòng)值較小。當(dāng)?=2β時(shí)，流量脈動(dòng)值最小，遠(yuǎn)小于單級(jí)泵的情況。每個(gè)單級(jí)泵柱塞數(shù)均為奇數(shù)，?=β時(shí)，流量脈動(dòng)值最小，遠(yuǎn)小于單級(jí)泵的情況。兩個(gè)單級(jí)泵柱塞數(shù)為一奇一偶時(shí)，，流量脈動(dòng)率最小。