1.5　計算傳質學的數學方程體系

嚴格意義上的計算傳質學，應該是動量、熱量和質量傳遞的耦合計算，它由下列3個部分組成：計算流體力學方程組，包括連續性（質量守恒）方程、動量守恒方程及其封閉方程，其主要目的是求出流速分布（流速場）；計算傳熱方程組，包括能量守恒方程及其封閉方程，其主要目的是求出溫度分布（溫度場），它與流速分布（流速場）相關聯；計算傳質方程組，包括組分質量守恒方程及其封閉方程，其主要目的是求出濃度分布（濃度場），它與流速分布（流速場）及溫度分布（溫度場）相關聯。

對于上述3個方程組所涉及的方程，若采用目前廣泛應用各自的兩方程模式，則可綜合列出如下。

需要說明的是，在化工傳質過程中常常是涉及多相和多組分，故下述數學模型是指有關相、有關組分的質量、動量、能量以及其湍流特征的守恒方程。關于方程中源項的計算將在下面各章中闡述。

由于傳質過程中流體有質量和體積的變化（例如在氣液吸收過程中氣體的質量及體積均逐漸變小），故連續性方程不為零，改稱為質量守恒方程。并且在動量守恒方程組中含有的項也不為零，這與一般無質量變化的流體流動情況下此項為零不同。方程中的也不是常數，只有在相間的凈傳質量很小時可近似地認為是常數。

1.5.1　數學模型方程組

（1）流體力學方程組（模型）

質量守恒方程為：

動量守恒方程為：

　　（Ⅰ-4）

公式編號以Ⅰ～Ⅶ開頭的表示附錄Ⅰ～Ⅶ中的公式，例如Ⅰ-4表示附錄Ⅰ中的式（Ⅰ-4）。上式中：

模型化的k方程為：

　　（Ⅰ-15c）

模型化的ε方程為：

　　（Ⅰ-17a）

方程為：

　　（Ⅰ-14）

模型常數為：，，，，^［32］。

（2）傳熱方程組（-ε_T'模型）

能量守恒方程為：

　　（Ⅱ-3a）

或寫為：

　　（Ⅱ-3b）

其中

模型化的方程為：

　　（Ⅱ-6c）

模型化的方程為：

　　（Ⅱ-9）

方程為：

　　（Ⅱ-7）

模型常數為：，，，，，^［6］。

（3）傳質方程組（模型）

組分質量守恒方程為：

其中

模型化的方程為：

模型化的方程為：

方程為：

模型常數為：，1.8，2.2，，，^［6］。

按照上述采用兩方程模式的3個方程組，對于用計算傳質學求解有流動、傳熱和傳質的化工過程需要解15個方程，即7個計算流體力學方程、4個計算傳熱方程及4個計算傳質方程，因為含有15個未知量，即。如果不采用兩方程封閉，而采用雷諾應力、雷諾熱流及雷諾質流三個方程組封閉，則流體力學方程為12個，雷諾熱流及雷諾質流各4個方程，使方程總數變為20個。在化工生產過程中，往往涉及多個相，例如氣液兩個相常同時存在，則模擬過程時還要分列描述各相的方程，這樣更會使方程總數成倍增加。

由此可見，計算傳質學（即傳質過程的深入模擬計算）要涉及求解大量的微分方程，計算量很大，一般需使用商用軟件來進行，如FLUENT、STAR CD、CFX等。但在一些傳質設備中，溫度對傳質的影響較小或溫度變化不大時，為了簡化計算往往省略對傳熱的計算。如在精餾塔中，每一塊塔板上的溫度變化不大，所以經常忽略溫度的影響以簡化計算，這樣就只包含動量傳遞和質量傳遞的方程組。但對于有熱效應的化學吸收、化學反應和吸附過程，熱量傳遞的方程就必須包括在計算傳質方程體系中。

計算傳質學方程體系的相互關系可由圖1-3描述^［9］。

1.5.2　數學模型方程體系的統一

通過上面的內容可以看出，動量、熱量和質量傳遞方程中的變量都服從一個通用的守恒原理。廣義變量的守恒方程用散度形式可表示為：

　　（1-38）

上式從左到右分別是不穩態項、對流項、擴散項以及源項，不同的變量對應的擴散系數以及源項也不相同。式（1-38）在三維直角坐標系下的張量形式為：

　　（1-39）

在二維軸對稱柱坐標系下的張量形式為：

　　（1-40）

下面以表格的形式列出直角坐標系構成計算傳質學模型中不同變量對應的擴散系數以及源項，以便比較查閱。需要說明，不同研究者對公式的模型化方式有所不同，同時由于應用范圍不同，常數值也各有不同。表1-1中只列出較典型的模型化方式及常數值。此外，表中的源項常可簡化，例如表中項在一般情況下數值較小，與其他項比較，可以部分忽略，又如對于不可壓縮流體，并且無傳質或者傳質量很小時，可設等。

為了使式（1-39）符合傳質方程組，在表1-1中的組分濃度C的單位從質量濃度（kg·m^-3）改為組分的質量分數（無單位，其值從0到1），即組分質量濃度組分質量分數C×混合物質量（即混合物密度，單位為kg·m^-3）。