4.5　卡諾定理

我們從式（4.4）和式（4.5）看出，工作于不同熱源之間的卡諾熱機(jī)的熱機(jī)效率只與工作的兩個(gè)熱源溫度有關(guān)，而與工作介質(zhì)無(wú)關(guān)，工作熱源溫度確定了，卡諾熱機(jī)的效率就確定了，所有工作于同溫?zé)嵩吹目ㄖZ熱機(jī)的效率是相等的，只要改變了熱源的溫度就能改變熱機(jī)的效率。

在19世紀(jì)熱質(zhì)論盛行的20年代，卡諾根據(jù)卡諾熱機(jī)效率的研究結(jié)果得出了卡諾原理，現(xiàn)稱為卡諾定理。

4.5.1　卡諾定理

卡諾定律的內(nèi)容是：“在相同的高溫?zé)嵩春拖嗤牡蜏責(zé)嵩粗g工作的一切不可逆熱機(jī)，其效率都小于可逆熱機(jī)的效率。”

卡諾定理可進(jìn)一步解析為：如果在相同的高溫和低溫?zé)嵩粗g，有可逆熱機(jī)R，也有不可逆熱機(jī)I，則不可逆熱機(jī)的效率一定不能超過(guò)可逆熱機(jī)，用公式表示為η_I≤η_R；如果效率相等，則I也一定是可逆熱機(jī)。

這里采用歸謬反證法證明卡諾定理，證明如下。

設(shè)在兩個(gè)熱源T_c、T_h之間有一個(gè)卡諾熱機(jī)R，另有一不可逆熱機(jī)I，兩熱機(jī)從同一高溫?zé)嵩?i>T_h吸收等量的熱Q，而傳給低溫?zé)嵩?i>T_c的熱分別為Q_Ic和Q_Rc。現(xiàn)在將此不可逆熱機(jī)I與逆向卡諾熱機(jī)R在兩熱源之間聯(lián)合工作，如圖4-7所示。

不可逆熱機(jī)從高溫?zé)嵩?i>T_h吸熱Q_Ih=Q（Q>0），向低溫?zé)嵩?i>T_c傳熱Q_Ic（Q_Ic<0），對(duì)環(huán)境做功W_I（W_I<0）；逆向卡諾熱機(jī)從環(huán)境得到功W_R（W_R>0），從低溫?zé)嵩?i>T_c吸熱Q_Rc（Q_Rc>0），向高溫?zé)嵩?i>T_h傳熱Q_Rh（Q_Rh<0，Q_Rh=-Q）。

假設(shè)不可逆熱機(jī)的熱機(jī)效率η_I大于卡諾熱機(jī)的熱機(jī)效率η_R，即η_I>η_R。

∵　η_I=-W_I/Q_Ih=-W_I/Q

　η_R=-W_R/Q_Rh=W_R/Q

∴　-W_I>W_R　　①

根據(jù)能量守恒，可得

　　 熱機(jī)I 　　 　　②

　　 熱機(jī)R 　　 　　③

將式②、式③代入式①，得

Q_Ih+Q_Ic>-Q_Rh-Q_Rc

又　　Q_Ih=-Q_Rh=Q

∴　　Q_Ic>-Q_Rc

因此，得-（W_I+W_R）>0Q_Ic+Q_Rc>0

不可逆熱機(jī)與卡諾熱機(jī)聯(lián)合運(yùn)行的結(jié)果是：不可逆熱機(jī)對(duì)環(huán)境做的功W_I大于逆向卡諾熱機(jī)從環(huán)境得到的功W_R，不可逆熱機(jī)向低溫?zé)嵩捶懦龅臒?i>Q_Ic小于逆向卡諾熱機(jī)從低溫?zé)嵩次盏臒?i>Q_Rc，總的結(jié)果是從單一低溫?zé)嵩次盏臒?i>Q_Ic+Q_Rc全部變成了對(duì)環(huán)境做的功W_I+W_R。這是違背熱力學(xué)第二定律的開(kāi)爾文說(shuō)法，是不可能實(shí)現(xiàn)的。因此，假設(shè)不可逆熱機(jī)的熱機(jī)效率大于卡諾熱機(jī)的熱機(jī)效率是不能成立的。從而證明了卡諾定理：不可逆熱機(jī)I的熱機(jī)效率不可能比可逆熱機(jī)R的熱機(jī)效率高，只能是

η_I≤η_R　　（4.10）

式中“=”表示可逆熱機(jī)，“<”表示不可逆熱機(jī)。

4.5.2　卡諾定理推論

根據(jù)卡諾定理，可得出推論：“在相同的高溫?zé)嵩春拖嗤牡蜏責(zé)嵩粗g工作的一切可逆熱機(jī)，其效率都相等，與工作物質(zhì)無(wú)關(guān)，與可逆循環(huán)的種類也無(wú)關(guān)。”

這一推論仍可用歸謬反證法來(lái)證明，證明如下：

假設(shè)兩個(gè)可逆機(jī)R_l和R₂，在同溫?zé)嵩磁c同溫冷源間工作，并設(shè)。

若以R_l帶動(dòng)R₂，使R₂逆轉(zhuǎn)，則由式（4.10）知

　　①

反之，若以R₂帶動(dòng)R_l，使R₁逆轉(zhuǎn)，則有

　　②

若要同時(shí)滿足式①和式②，則應(yīng)有

　　 （4.11） 　　

由此得知，只要是可逆熱機(jī)，在相同高溫、低溫兩熱源間工作時(shí)熱機(jī)效率都相等，與工作物質(zhì)的本性無(wú)關(guān)。這樣就可以將理想氣體進(jìn)行卡諾循環(huán)所得的結(jié)果用于其他工作物質(zhì)。所用的工作物質(zhì)可以是真實(shí)氣體，也可以是易揮發(fā)的液體，還可以有化學(xué)變化如氣相化學(xué)反應(yīng)。無(wú)論何種工作物質(zhì)，發(fā)生何種變化，只要每一步都是可逆過(guò)程，則所有可逆熱機(jī)的熱機(jī)效率都是相等的。

思考：

4-14　卡諾定理解決了什么問(wèn)題？

4-15　卡諾定理還有其他用途嗎？