4.5　卡諾定理

我們從式（4.4）和式（4.5）看出，工作于不同熱源之間的卡諾熱機的熱機效率只與工作的兩個熱源溫度有關，而與工作介質無關，工作熱源溫度確定了，卡諾熱機的效率就確定了，所有工作于同溫熱源的卡諾熱機的效率是相等的，只要改變了熱源的溫度就能改變熱機的效率。

在19世紀熱質論盛行的20年代，卡諾根據卡諾熱機效率的研究結果得出了卡諾原理，現稱為卡諾定理。

4.5.1　卡諾定理

卡諾定律的內容是：“在相同的高溫熱源和相同的低溫熱源之間工作的一切不可逆熱機，其效率都小于可逆熱機的效率。”

卡諾定理可進一步解析為：如果在相同的高溫和低溫熱源之間，有可逆熱機R，也有不可逆熱機I，則不可逆熱機的效率一定不能超過可逆熱機，用公式表示為η_I≤η_R；如果效率相等，則I也一定是可逆熱機。

這里采用歸謬反證法證明卡諾定理，證明如下。

設在兩個熱源T_c、T_h之間有一個卡諾熱機R，另有一不可逆熱機I，兩熱機從同一高溫熱源T_h吸收等量的熱Q，而傳給低溫熱源T_c的熱分別為Q_Ic和Q_Rc。現在將此不可逆熱機I與逆向卡諾熱機R在兩熱源之間聯合工作，如圖4-7所示。

不可逆熱機從高溫熱源T_h吸熱Q_Ih=Q（Q>0），向低溫熱源T_c傳熱Q_Ic（Q_Ic<0），對環境做功W_I（W_I<0）；逆向卡諾熱機從環境得到功W_R（W_R>0），從低溫熱源T_c吸熱Q_Rc（Q_Rc>0），向高溫熱源T_h傳熱Q_Rh（Q_Rh<0，Q_Rh=-Q）。

假設不可逆熱機的熱機效率η_I大于卡諾熱機的熱機效率η_R，即η_I>η_R。

∵　η_I=-W_I/Q_Ih=-W_I/Q

　η_R=-W_R/Q_Rh=W_R/Q

∴　-W_I>W_R　　①

根據能量守恒，可得

　　 熱機I 　　 　　②

　　 熱機R 　　 　　③

將式②、式③代入式①，得

Q_Ih+Q_Ic>-Q_Rh-Q_Rc

又　　Q_Ih=-Q_Rh=Q

∴　　Q_Ic>-Q_Rc

因此，得-（W_I+W_R）>0Q_Ic+Q_Rc>0

不可逆熱機與卡諾熱機聯合運行的結果是：不可逆熱機對環境做的功W_I大于逆向卡諾熱機從環境得到的功W_R，不可逆熱機向低溫熱源放出的熱Q_Ic小于逆向卡諾熱機從低溫熱源吸收的熱Q_Rc，總的結果是從單一低溫熱源吸收的熱Q_Ic+Q_Rc全部變成了對環境做的功W_I+W_R。這是違背熱力學第二定律的開爾文說法，是不可能實現的。因此，假設不可逆熱機的熱機效率大于卡諾熱機的熱機效率是不能成立的。從而證明了卡諾定理：不可逆熱機I的熱機效率不可能比可逆熱機R的熱機效率高，只能是

η_I≤η_R　　（4.10）

式中“=”表示可逆熱機，“<”表示不可逆熱機。

4.5.2　卡諾定理推論

根據卡諾定理，可得出推論：“在相同的高溫熱源和相同的低溫熱源之間工作的一切可逆熱機，其效率都相等，與工作物質無關，與可逆循環的種類也無關。”

這一推論仍可用歸謬反證法來證明，證明如下：

假設兩個可逆機R_l和R₂，在同溫熱源與同溫冷源間工作，并設。

若以R_l帶動R₂，使R₂逆轉，則由式（4.10）知

　　①

反之，若以R₂帶動R_l，使R₁逆轉，則有

　　②

若要同時滿足式①和式②，則應有

　　 （4.11） 　　

由此得知，只要是可逆熱機，在相同高溫、低溫兩熱源間工作時熱機效率都相等，與工作物質的本性無關。這樣就可以將理想氣體進行卡諾循環所得的結果用于其他工作物質。所用的工作物質可以是真實氣體，也可以是易揮發的液體，還可以有化學變化如氣相化學反應。無論何種工作物質，發生何種變化，只要每一步都是可逆過程，則所有可逆熱機的熱機效率都是相等的。

思考：

4-14　卡諾定理解決了什么問題？

4-15　卡諾定理還有其他用途嗎？