2.2.1　Hausdorff維數

分形維數有多種定義和求法。在數學上，Hausdorff維數的數學定義最為嚴密。本書不從數學上詳述其定義的方法，這里僅僅對此做一簡單說明。

Hausdorff創立了Hausdorff維數，記為D_f。對于一個D_f維的幾何對象，若對每個棱邊長度都縮小L倍，則這個幾何對象的數量相應的增大N倍。D_f、L、N三者的關系可以表述為：

　　（2-4）

兩邊取對數后，得到

　　（2-5）

式中　D_f——Hausdorff維數；

L——幾何對象邊長的縮小倍數；

N——幾何對象數量的增大倍數。

這里D_f不必是整數，對具有奇異結構的分形結構，其維數一般是分數。

為了便于理解Hausdorff維數的測量原理，可以通過對傳統歐氏幾何體的維數測量加以說明。圖2-13所示為歐氏幾何的Hausdorff維數測量過程。

首先，對于一條線段來說，隨著觀測尺度的變化，當該線段的長度縮小比例為2倍時，線段將分割為2段；當該線段的長度縮小比例為3倍時，線段將分割為3段。則該線段的Hausdorff維數為

對于一個平面（如正方形）來說，隨著觀測尺度的變化，當該線段的長度縮小比例為2倍時，正方形每個邊將分割為2段，正方形則分割為4個小正方形；當該線段的長度縮小比例為3倍時，正方形每個邊將分割為3段，正方形則分割為9個小正方形。則該線段的Hausdorff維數為

對于一個立方體（如正方體）來說，隨著觀測尺度的變化，當該線段的長度縮小比例為2倍時，正方體每個邊將分割為2段，正方體則分割為8個小正方形；當該線段的長度縮小比例為3倍時，正方體每個邊將分割為3段，正方體則分割為27個小正方形。則該線段的Hausdorff維數為

可以看出，對于傳統的歐氏幾何來說，Hausdorff維數也正是歐氏幾何的拓撲維數。