2.2.2　規(guī)則分形的分維計算

結(jié)合Hausdorff維數(shù)的概念，2.1節(jié)中討論的規(guī)則分形體，均可理論上計算其分形維數(shù)。

對于Koch曲線來說，在第n次迭代后，每個線段的長度為（1/3）ⁿ，一共有4ⁿ條這樣的線段，因此。Koch曲線的分維為

這是很有趣的結(jié)果。對于Koch曲線來說，其面積為0，而當?shù)呌跓o窮時，其長度也趨于無窮。顯然，傳統(tǒng)歐氏幾何中描述面積的2維和描述長度的1維均不能很好地刻畫Koch曲線這樣的分形體，而維數(shù)1.26恰好可以反映這種曲線的不規(guī)則程度和復雜性。

對Cantor集來說，在第n次迭代后，每個線段的長度為（1/3）ⁿ，一共有2ⁿ條這樣的線段，因此，Cantor集的分維為

對Sierpinski三角形來說，在第n次迭代后，每個線段的長度為（1/2）ⁿ，一共有3ⁿ條這樣的三角形，因此，Sierpinski三角形的分維為

對Sierpinski地毯來說，在第n次迭代后，每個線段的長度為（1/3）ⁿ，一共有8ⁿ條這樣的小正方形，因此，Sierpinski地毯的分維為

通過分析這些典型規(guī)則分形體的分維，我們可以做出以下幾方面的重要認識：首先，盡管分形體本身結(jié)構(gòu)比較復雜，傳統(tǒng)的幾何特征均無法描述，但可以通過在不斷改變觀測尺度的過程中獲得的簡單且具有不變性的參量（即分維）來予以定量描述；其次，分形體中沒有特征尺度的概念。一般的研究對象總有特征尺度。比如，我們觀測到遠處某個移動物體大概高度為10m，這就不合適猜測其為行人，這是因為人的高度是有特征尺度的，超過一定的特征尺度，就可以否定是該物體的可能性。但分形體的出現(xiàn)，使得特征尺度的概念消失。無論用多大的尺子去測量它，都難以得到分形體的確切長度和結(jié)構(gòu)。即使測量尺子的尺度越來越小，新的結(jié)構(gòu)卻與整體結(jié)構(gòu)一樣，具有相似的復雜性。分形體最大的特征就在于沒有特征尺度，所以就必須要考慮從小到大的各種尺度下的變化情況，這就是分形的無標度特征。分形的自相似結(jié)構(gòu)決定著從小到大的各種尺度下分形體的結(jié)構(gòu)具有相似特征，這就叫做標度不變性，它反映了分形體中內(nèi)在的層次結(jié)構(gòu)。

因此分形維數(shù)測量的實質(zhì)在于，從動態(tài)的尺度變化下去觀察分形體的構(gòu)造，在過程中發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定不變的特征參量，即分形維數(shù)。傳統(tǒng)分析手段獲得的特征參量，往往是靜態(tài)觀察手段得到的靜態(tài)特征。