2.2.3　計(jì)盒維數(shù)

相對(duì)于Hausdorff維數(shù)，計(jì)盒維數(shù)非常形象地展示了分形維數(shù)的測(cè)量原理，在各個(gè)領(lǐng)域中應(yīng)用也較廣。

計(jì)盒維數(shù)D_b可以依托簡(jiǎn)單的歐氏空間來(lái)進(jìn)行分析計(jì)算。計(jì)盒維數(shù)的原理是這樣：要計(jì)算分形體的計(jì)盒維數(shù)，可以將這個(gè)分形體放在一個(gè)均勻分割的網(wǎng)格上，統(tǒng)計(jì)最小需要幾個(gè)盒子來(lái)覆蓋這個(gè)分形體。當(dāng)逐步精細(xì)化改變盒子幾何空間大小，統(tǒng)計(jì)分析所需覆蓋盒子數(shù)目的變化，從而計(jì)算出計(jì)盒維數(shù)。假設(shè)當(dāng)盒子的邊長(zhǎng)是r時(shí)，把空間平均分割成無(wú)數(shù)個(gè)盒子，設(shè)定N（r）是覆蓋有分形體的盒子的最小數(shù)目，那么D_s確定為

　　（2-6）

式中　D_s——計(jì)盒維數(shù)；

r——盒子的邊長(zhǎng)；

N（r）——當(dāng)盒子的邊長(zhǎng)是r時(shí)，覆蓋有分形體的盒子的最小數(shù)目。

圖2-14以Koch曲線(xiàn)為例，介紹了計(jì)盒維數(shù)的測(cè)量過(guò)程。圖2-14中，下面子圖中覆蓋Koch曲線(xiàn)的盒子邊長(zhǎng)比上面子圖的要小一半，下面子圖中覆蓋Koch曲線(xiàn)的盒子數(shù)量為221個(gè)，而上面子圖中覆蓋Koch曲線(xiàn)的盒子數(shù)量為94個(gè)。這樣計(jì)盒維數(shù)為

這個(gè)結(jié)果非常接近其理論分維值1.26。考慮到統(tǒng)計(jì)過(guò)程沒(méi)有精確計(jì)算盒子邊長(zhǎng)r趨于0時(shí)的變化，因此結(jié)果可能會(huì)存在一定的誤差。統(tǒng)計(jì)更多盒子尺寸的變化，可以減小測(cè)量誤差。

計(jì)盒維數(shù)不僅僅可以應(yīng)用于特定結(jié)構(gòu)的分形體，還可以廣泛應(yīng)用于實(shí)際。圖2-15則是用于測(cè)量英國(guó)海岸線(xiàn)的計(jì)盒維數(shù)。

圖2-15中，左邊子圖中覆蓋海岸線(xiàn)曲線(xiàn)的盒子邊長(zhǎng)比右邊子圖的要大一倍，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)左邊子圖中覆蓋海岸線(xiàn)曲線(xiàn)的盒子數(shù)量為128個(gè)，而上面子圖中覆蓋海岸線(xiàn)曲線(xiàn)的盒子數(shù)量為278個(gè)。這樣得到的計(jì)盒維數(shù)為

同樣，統(tǒng)計(jì)更多盒子尺寸的變化，可以減小測(cè)量誤差。

以上簡(jiǎn)單介紹了Hausdorff維數(shù)、計(jì)盒維數(shù)的測(cè)量原理，還有許多實(shí)用的分形維數(shù)定義，例如信息維數(shù)、關(guān)聯(lián)維數(shù)、信息維數(shù)、容量維數(shù)等，它們各自有不同的測(cè)度和適用對(duì)象，具體數(shù)學(xué)理論知識(shí)可進(jìn)一步參考其他相關(guān)分形理論著作。本書(shū)第3章將詳細(xì)探討有關(guān)時(shí)間序列分形維數(shù)的概念、計(jì)算方法及其應(yīng)用。