2.3　多重分形的概念

對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的分形結(jié)構(gòu)，用一個(gè)分形維數(shù)就可以描述它的特征。但是對(duì)于自然界中許多復(fù)雜的現(xiàn)象，它們包含了多個(gè)層次的結(jié)構(gòu)，每個(gè)層次具有不同的統(tǒng)計(jì)特征。這時(shí)用一個(gè)參量就不足以描述其特征，而需要多個(gè)（有時(shí)甚至是無(wú)限多個(gè)）參量。這就需要引出多重分形的概念。一個(gè)多重分形集可以認(rèn)為是許多單一分形集的集合，這些單一分形集擁有各自的分形維數(shù)，同時(shí)自由地相互糾纏聯(lián)系在一起。多重分形定義為，在分形結(jié)構(gòu)上的由多個(gè)標(biāo)度指數(shù)的奇異測(cè)度組成的無(wú)限集合，它刻畫(huà)了分形測(cè)度在支集上的分布情況，即用譜函數(shù)來(lái)描述分形不同層次的特征，從系統(tǒng)的局部研究其最終的整體特征。

以下我們以Cantor集為例來(lái)介紹多重分形的概念。

圖2-8中給出的Cantor集是一種簡(jiǎn)單分形，其組成部分是全同的，例如各個(gè)線段的質(zhì)量是均勻分布的。如果各組成部分的質(zhì)量是不同的，即質(zhì)量這一性質(zhì)不再是一個(gè)均一數(shù)值，而是一個(gè)概率分布，那么此時(shí)一個(gè)簡(jiǎn)單的分形維數(shù)就無(wú)法完整刻畫(huà)Cantor集質(zhì)量分布函數(shù)的局域分形結(jié)構(gòu)，大量描述局域分形結(jié)構(gòu)的分形指數(shù)所組成的奇異性連續(xù)譜函數(shù)就構(gòu)成了Cantor集的多重分形結(jié)構(gòu)。

這可以從最簡(jiǎn)單的例子入手來(lái)理解。首先，為了描述Cantor集中各個(gè)部分質(zhì)量不一的特征，以新的構(gòu)造方式來(lái)重新生成Cantor集。圖2-16是一種質(zhì)量分布不均勻的Cantor集，每迭代一次，將原有線段三等分并去掉中間1/3段，余下兩段的質(zhì)量分布概率分別為P和1-P，從而保證質(zhì)量守恒；接著再在兩個(gè)1/3段分別進(jìn)行同樣的迭代操作，進(jìn)而形成4個(gè)線段，此時(shí)的質(zhì)量分布概率有三種，即P、P（1-P）和（1-P）²；如此迭代操作k次后，總的線段數(shù)量達(dá)到2^k個(gè)，每個(gè)線段長(zhǎng)度為

　　（2-7）

式中　ε——迭代k次時(shí)，每個(gè)線段的長(zhǎng)度；

k——迭代的次數(shù)。

其質(zhì)量分布概率分別為

　　（2-8）

式中　P_i（ε）——迭代k次時(shí)，每個(gè)線段的質(zhì)量分布概率；

i——特定的某條線段，其取值為0，1，2，3…2^k；

k——迭代的次數(shù)，取值為k=∞；

m——整數(shù)，取值為0，1，2，3…k。

具有相同概率P_i（ε）的線段數(shù)分別為

　　（2-9）

式中　N（P_i）——迭代k次時(shí)，具有相同概率P_i（ε）的線段數(shù)。

這樣，各線段長(zhǎng)度ε的P_i（ε）和N（P_i）構(gòu)成一個(gè)分布集合（理論上該集合可以有無(wú)窮，即k=∞）。

表2-1以P=0.4為例，列出了k=0，1，2，3，4時(shí)的質(zhì)量概率分布形成的集合，其中P和N分別表示概率的值和具有相同概率的線段數(shù)目。

可以將全部概率分布P_i（ε）組成的集劃分成一系列的子集，每個(gè)子集滿足冪函數(shù)

P_i（ε）∝ε^α　　（2-10）

式中　α——奇異性指數(shù)。

這里α對(duì)質(zhì)量密度概率分布的奇異性起了關(guān)鍵作用。如果線段質(zhì)量分布是均勻的，則α值必然只有一個(gè)數(shù)值，此時(shí)

　　（2-11）

根據(jù)P_i（ε）∝ε^α可以得到

α=ln2/ln3=0.631

這即是均勻化Cantor集的分維值。

若線段質(zhì)量分布是不均勻的，α值就存在大小不等的許多數(shù)值。從表2-1可以看出，該不均勻的Cantor集存在兩個(gè)特殊的子集，其中一個(gè)是最大概率子集（0.6⁰，0.6¹，0.6²，0.6³…），另一個(gè)是最小概率子集（0.4⁰，0.4¹，0.4²，0.4³…）。最大概率子集對(duì)應(yīng)的奇異性指數(shù)為

　　（2-12）

式中　α_max——最大概率子集對(duì)應(yīng)的奇異性指數(shù)。

而最小概率子集對(duì)應(yīng)的奇異性指數(shù)為

　　（2-13）

式中　α_min——最小概率子集對(duì)應(yīng)的奇異性指數(shù)。

其余概率子集對(duì)應(yīng)的奇異性指數(shù)介于0.465和0.834之間。因此，最大α值對(duì)應(yīng)著最小概率子集，而最小α值對(duì)應(yīng)著最大概率子集。最大α值和最小α值之間的差異（即Δα=α_max-α_min），反映了線段質(zhì)量分布的不均勻程度。如果Δα越大，說(shuō)明線段質(zhì)量分布的不均勻程度越高，質(zhì)量密度概率分布的奇異性越強(qiáng)。

同時(shí)，將全部子集內(nèi)的線段數(shù)目也劃分成一系列的子集，每個(gè)子集滿足冪函數(shù)

　　（2-14）

式中　f（α）——相同α值的子集的分形維數(shù)；

N（ε）——線段長(zhǎng)度為ε時(shí)，相同α值的子集的線段數(shù)目。

這里f（α）的物理意義是表示相同α值的子集的分形維數(shù)。一般就把f（α）稱之為多重分形。從表2-1可以看出，該不均勻的Cantor集的最大概率子集和最小概率子集在各個(gè)線段長(zhǎng)度ε下α值相同的單元個(gè)數(shù)N（ε）均為1，所以最大概率子集和最小概率子集的f（α）都是0。這表明該不均勻的Cantor集測(cè)量度最大和最小的子集都是最少的。與之相反，最可幾子集對(duì)應(yīng)于N（ε）最大的子集，即P_i（ε）為（0.4⁰×0.6⁰，0.4¹×0.6¹，0.4²×0.6²，0.4³×0.6³…），且N（ε）隨著線段長(zhǎng)度ε的減小而增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快。當(dāng)ε趨于0時(shí)，可以得到

f（α）=ln［N（ε）］/lnε=0.631　　（2-15）

此時(shí)相應(yīng)的

α=0.649

即是說(shuō)，α=0.649的子集的分形維數(shù)是0.631，此時(shí)子集的數(shù)量最大，可稱之為最可幾子集。該不均勻Cantor集的最可幾子集的分維與簡(jiǎn)單均勻化Cantor集的分維相同，這是由于ε趨于0過(guò)程中，N（ε）增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，隨著整個(gè)線段數(shù)量的快速增加，相對(duì)而言，屬于其他α值的線段數(shù)就忽略不計(jì)了，這樣最可幾子集也就等價(jià)于簡(jiǎn)單均勻化Cantor集。

不均勻Cantor集包含了無(wú)限多個(gè)P和N，因此它可以劃分為無(wú)限多個(gè)子集，每個(gè)子集都有各自的α值和f（α）值，它們共同形成了一個(gè)多重分形譜f（α）。

多重分形分為規(guī)則多重分形和不規(guī)則多重分形。其中規(guī)則分形可以用解析方法或統(tǒng)計(jì)物理的方法求得多重分形譜。現(xiàn)實(shí)生活中面對(duì)的往往是不規(guī)則的多重分形對(duì)象，對(duì)于不規(guī)則分形的多重分形譜一般是通過(guò)計(jì)算機(jī)用各種多重分形方法求出不均勻分布物理量的概率分布，再借助統(tǒng)計(jì)物理量的有關(guān)公式進(jìn)行數(shù)值求解。不規(guī)則分形多重分形譜的具體算法將在下一章進(jìn)一步論述。