2.2　分形維數(shù)

傳統(tǒng)歐氏幾何學(xué)中，維數(shù)的概念是非常重要和基本的，它反映了物質(zhì)占據(jù)空間的基本維度。例如，在歐氏幾何學(xué)中點的維數(shù)是0；直線的維數(shù)是1；方形、圓、橢圓等平面圖形的維數(shù)是2；而立方體、球等立方圖形的維數(shù)是3。這些整數(shù)維數(shù)稱為拓?fù)渚S數(shù)。1919年，數(shù)學(xué)家從測度的角度引入了維數(shù)的概念，將維數(shù)從僅僅是整數(shù)擴大到分?jǐn)?shù)，來定量地描述事物的“非規(guī)則”程度。這種非整數(shù)值的維數(shù)統(tǒng)稱為分形維數(shù)。分形維數(shù)是刻畫分形體結(jié)構(gòu)特征的定量參量。

分形維數(shù)和歐氏幾何的拓?fù)渚S數(shù)之間有一定的聯(lián)系。當(dāng)我們測量幾何圖形的長度和面積時，必須用同樣維數(shù)的單位長線段或單位面積的正方形來度量。如果用1維的線段測量2維的正方形，所得結(jié)果將為無窮大，說明所用尺度太“小”；反之，如果用2維的正方形度量1維的線段，所得結(jié)果將為零，說明所用尺度太“大”。這說明，對幾何體進(jìn)行測量所得的結(jié)果與所用的尺度有關(guān)。而要恰當(dāng)?shù)孛枋鲆粋€分形體，則需要一個非整數(shù)維的尺度。如果將上述理解拓展到自然界的現(xiàn)象中，那么自然現(xiàn)象的分形維數(shù)則描述了自然現(xiàn)象中細(xì)小零碎的局部特征所構(gòu)成的整體系統(tǒng)行為的相關(guān)性。