第二章　過程特性及其數學模型

第一節　化工過程的特點及其描述方法

自動控制系統是由被控對象、測量變送裝置、控制器和執行器組成。系統的控制質量與組成系統的每一個環節的特性都有密切的關系，特別是被控對象的特性對控制質量的影響很大。本章著重研究被控對象的特性，而所采用的研究方法對研究其他環節的特性也是同樣適用的。

在化工自動化中，常見的對象有各類換熱器、精餾塔、流體輸送設備和化學反應器等。此外，在一些輔助系統中，氣源、熱源及動力設備（如空壓機、輔助鍋爐、電動機等）也可能是需要控制的對象。本章著重研究連續生產過程中各種對象的特性，因此有時也稱研究過程的特性。

各種對象千差萬別，有的操作很穩定，操作很容易；有的對象則不然，只要稍不小心就會超越正常工藝條件，甚至造成事故。有經驗的操作人員，他們往往很熟悉這些對象，只有充分了解和熟悉這些對象，才能使生產操作得心應手，獲得高產、優質、低消耗。同樣，在自動控制系統中，當采用一些自動化裝置來模擬人工操作時，首先也必須深入了解對象的特性，了解它的內在規律，才能根據工藝對控制質量的要求，設計合理的控制系統，選擇合適的被控變量和操縱變量，選用合適的測量元件及控制器。在控制系統投入運行時，也要根據對象特性選擇合適的控制器參數（也稱控制器參數的工程整定），使系統正常地運行。特別是一些比較復雜的控制方案設計，例如前饋控制、計算機最優控制等更離不開對象特性的研究。

所謂研究對象的特性，就是用數學的方法來描述出對象輸入量與輸出量之間的關系。這種對象特性的數學描述就稱為對象的數學模型。在建立對象數學模型（建模）時，一般將被控變量看作對象的輸出量，也叫輸出變量，而將干擾作用和控制作用看作對象的輸入量，也叫輸入變量。干擾作用和控制作用都是引起被控變量變化的因素，如圖2-1所示。由對象的輸入變量至輸出變量的信號聯系稱之為通道。控制作用至被控變量的信號聯系稱控制通道；干擾作用至被控變量的信號聯系稱干擾通道。在研究對象特性時，應預先指明對象的輸入量是什么，輸出量是什么，因為對于同一個對象，不同通道的特性可能是不同的。

在控制系統的分析和設計中，對象的數學模型是十分重要的基礎資料。對象的數學模型可分為靜態數學模型和動態數學模型。靜態數學模型描述的是對象在靜態時的輸入量與輸出量之間的關系；動態數學模型描述的是對象在輸入量改變以后輸出量的變化情況。靜態與動態是事物特性的兩個側面，可以這樣說，動態數學模型是在靜態數學模型基礎上的發展，靜態數學模型是對象在達到平衡狀態時的動態數學模型的一個特例。

必須指出，這里所要研究的主要是用于控制的數學模型，它與用于工藝設計與分析的數學模型是不完全相同的。盡管在建立數學模型時，用于控制的和用于工藝設計的可能都是基于同樣的物理和化學規律，它們的原始方程可能都是相同的，但兩者還是有差別的。

用于控制的數學模型一般是在工藝流程和設備尺寸等都已確定的情況下，研究的是對象的輸入變量是如何影響輸出變量的，即對象的某些工藝變量（如溫度、壓力、流量等）變化以后是如何影響另一些工藝變量的（一般是指被控變量），研究的目的是為了使所設計的控制系統達到更好的控制效果。用于工藝設計的數學模型（一般是靜態的）是在產品規格和產量已經確定的情況下，通過模型的計算，來確定設備的結構、尺寸、工藝流程和某些工藝條件，以期達到最好的經濟效益。

數學模型的表達形式主要有兩大類：一類是非參量形式，稱為非參量模型；另一類是參量形式，稱為參量模型。

1.非參量模型

當數學模型是采用曲線或數據表格等來表示時，稱為非參量模型。非參量模型可以通過記錄實驗結果來得到，有時也可以通過計算來得到，它的特點是形象、清晰，比較容易看出其定性的特征。但是，由于它們缺乏數學方程的解析性質，要直接利用它們來進行系統的分析和設計往往比較困難，必要時，可以對它們進行一定的數學處理來得到參量模型的形式。

由于對象的數學模型描述的是對象在受到控制作用或干擾作用后被控變量的變化規律，因此對象的非參量模型可以用對象在一定形式的輸入作用下的輸出曲線或數據來表示。根據輸入形式的不同，主要有階躍反應曲線、脈沖反應曲線、矩形脈沖反應曲線、頻率特性曲線等。這些曲線一般都可以通過實驗直接得到。

2.參量模型

當數學模型是采用數學方程式來描述時，稱為參量模型。

對象的參量模型可以用描述對象輸入、輸出關系的微分方程式、偏微分方程式、狀態方程、差分方程等形式來表示。

對于線性的集中參數對象，通常可用常系數線性微分方程式來描述，如果以x（t）表示輸入量，y（t）表示輸出量，則對象特性可用下列微分方程式來描述

a_ny^（n）（t）+a_n-1y^（n-1）（t）+…+a₁y'（t）+a₀y（t）
=b_mx^（m）（t）+b_m-1x^（m-1）（t）+…+b₁x'（t）+b₀x（t）　　（2-1）

式中，y^（n）（t），y^（n-1）（t），…，y'（t）分別表示y（t）的n階，（n-1）階，…，一階導數；x^（m）（t），x^（m-1）（t），…，x'（t）分別表示x（t）的m階，（m-1）階，…，一階導數；a_n，a_n-1，…，a₁，a₀及b_m，b_m-1，…，b₁，b₀分別為方程中的各項系數。

在允許的范圍內，多數化工對象動態特性可以忽略輸入量的導數項，因此可表示為

a_ny^（n）（t）+a_n-1y^（n-1）（t）+…+a₁y'（t）+a₀y（t）=x（t）

例如，一個對象如果可以用一個一階微分方程式來描述其特性（通常稱一階對象），則可表示為

a₁y'（t）+a₀y（t）=x（t）　　（2-2）

或表示成　　　Ty'（t）+y（t）=Kx（t）　　（2-3）

式中

以上方程式中的系數a_n、a_n-1、…、a₁、b_m、b_m-1、…、b₀以及T、K等都可以認為是相應的參量模型中的參量，它們與對象的特性有關，一般需要通過對象的內部機理分析或大量的實驗數據處理才能得到。