3.1 關于生產函數的主要形式研究

3.1.1 “礦質營養說”基礎上的生產函數

農業生產函數的最初數學形式來源于“礦質營養說”和“營養元素歸還說”（Liebig,1840），研究目標是說明農產品產量與土壤營養元素間的對應關系，即

Y=F（xj）, J= 1,2, …, m

其中，Y表示農作物產量；

F（xj）表示農業生產函數；

xj表示農作物營養元素因子。

這一農業生產函數的初級數學表達式奠定了農業經濟研究的基礎，可推導得出農業生產微觀水平上的生產核算函數，即

其中，π表示農業生產利潤。

微觀核算函數模型說明利潤由收入和成本決定。

農業生產者利潤最大化的行為選擇可以表述為

其中，π表示農業生產利潤；

Py表示農作物價格；

F（xj）表示農業生產函數；

Pxj表示農業要素價格；

xj表示農業生產要素。

概念拓展后，xj不僅表示土壤化學家所關注的營養元素，而且表示市場條件下的生產要素。對農業生產者行為的農業經濟分析已從土壤營養技術層次提升到了生產技術層次。

3.1.2 農場的生產函數

近期關于生產函數的研究，也與“農場”概念相關。

有學者引入C—D函數形式來評估農場的產出（Hayami, 1970），即

其中，m0表示管理以及農場的內部信息。u0表示隨機變量，在進行生產決策時并不預先了解。

管理以及農場的內部信息只有農場內部人員了解，而評估者并不了解，即屬于私人信息。則給定投入的農場產出期望函數為

設價格既定，則最大化預期收益的選擇為

其中，P表示產品價格；

W表示投入要素價格。

一階條件為

其中，m1表示內部私人信息，影響農場預期和效用函數；

u1表示暫時要素；

W表示單位產出的工資價格；

P表示單位投入要素價格。

寫成對數的形式有

yit-xit=wit+m1i+u1it+u0it

由此求出最大值，可以評估不同農場的產出量。

若農業生產者的行為是“以最小成本獲得最大收入”，則可表達為maxπ=max PyF（xj）-min，但實際測度時不可能實現，邊際分析代替了總量測度是農業經濟學科學化的進步。

求解maxπ=PyF（xj）-j的一階條件，可得

該式表達了農業經濟分析的實質，是對當事人經濟行為本質的解釋?？梢?，生產者行為的最優化目標是效率的平衡。該式左邊是技術的邊際效率，右邊是市場的邊際效率（分配效率）。技術是自然能力得到發揮的過程，而市場是社會行為的表現。

有學者試圖尋找適用于所有國家的農業生產函數，但這一點不能被實際數據支持。使用Rwtlan的函數對數據進行分析可發現機械的彈性隨時間不斷增大，化肥的彈性呈下降趨勢，教育對生產率的提高具有正效應（Mans and Francis,2003）。