1.2　檢測系統(tǒng)的特性及性能指標(biāo)

檢測系統(tǒng)的輸入量可分為靜態(tài)量和動(dòng)態(tài)量兩類。靜態(tài)量指穩(wěn)定狀態(tài)的信號(hào)或變化極其緩慢的信號(hào)。動(dòng)態(tài)量通常指周期信號(hào)、瞬變信號(hào)或隨機(jī)信號(hào)。無論靜態(tài)量或動(dòng)態(tài)量，檢測系統(tǒng)的輸出量都應(yīng)當(dāng)不失真地復(fù)現(xiàn)輸入量的變化。這主要取決于檢測系統(tǒng)的靜態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性。

1.2.1　靜態(tài)特性及其指標(biāo)

檢測系統(tǒng)在被測量的各個(gè)值處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，輸出量和輸入量之間的關(guān)系稱為靜態(tài)特性。

通常，要求系統(tǒng)在靜態(tài)情況下的輸出與輸入之間關(guān)系保持線性。在不考慮遲滯和蠕變效應(yīng)時(shí)，輸出量和輸入量之間的關(guān)系可由下列方程式確定。

　　　　（1.3）

式中　　Y——輸出量；

X——輸入量；

a0——零位輸出；

a1——檢測系統(tǒng)的靈敏度，常用K表示；

a2，a3，…，an——非線性項(xiàng)待定常數(shù)。

由式（1.3）可知，如果a0=0，表示靜態(tài)特性通過原點(diǎn)。此時(shí)靜態(tài)特性是由線性項(xiàng)（a1，X）和非線性項(xiàng)（a2 X2，…，anXn）疊加而成，一般可分為以下四種典型情況。

①理想線性[見圖1.1（a）]

　　（1.4）

②具有X奇次階項(xiàng)的非線性[見圖1.1（b）]

　　（1.5）

③具有X偶次階項(xiàng)的非線性[見圖1.1（c）]

　　（1.6）

④具有X奇、偶次階項(xiàng)的非線性[見圖1.1（d）]

　　（1.7）

由此可見，除圖1.1（a）為理想線性關(guān)系外，其余均為非線性關(guān)系。其中具有X奇次項(xiàng)的曲線圖1.1（b），在原點(diǎn)附近一定范圍內(nèi)基本上是線性特性。

實(shí)際應(yīng)用中，若非線性項(xiàng)的方次不高，在輸入量變化不大的范圍內(nèi)，用切線或割線代替實(shí)際的靜態(tài)特性曲線的某一段，使系統(tǒng)的靜態(tài)特性曲線接近于線性，這稱為系統(tǒng)靜態(tài)特性的線性化。在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)將測量范圍選取在靜態(tài)特性最接近直線的一小段，此時(shí)原點(diǎn)可能不在零點(diǎn)。以圖1.1（d）為例，如取ab段，則原點(diǎn)在c點(diǎn)。系統(tǒng)靜態(tài)特性的非線性，使其輸出不能成比例地反映被測量的變化，而且對(duì)動(dòng)態(tài)特性也有一定影響。

檢測系統(tǒng)的靜態(tài)特性是在靜態(tài)標(biāo)準(zhǔn)條件下測定的，標(biāo)準(zhǔn)條件是指沒有加速度、振動(dòng)、沖擊（除非這些參數(shù)本身就是被測物理量）；環(huán)境溫度一般為室溫（20±5）℃；相對(duì)濕度不大于85%；大氣壓為（760±60）mmHg 的情況。在標(biāo)準(zhǔn)工作狀態(tài)下，利用一定精度等級(jí)的校準(zhǔn)設(shè)備，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行往復(fù)循環(huán)測試，

即可得到輸出-輸入數(shù)據(jù)。將這些數(shù)據(jù)列表，再畫出各被測量值（正行程和反行程）對(duì)應(yīng)輸出平均值的連線，即為系統(tǒng)的靜態(tài)校準(zhǔn)曲線。

（1）線性度（非線性誤差）

在規(guī)定條件下，系統(tǒng)校準(zhǔn)曲線與擬合直線間最大偏差與滿量程（F·S）輸出值的百分比稱為線性度，如圖1.2所示。

用δL表示線性度，則

　　（1.8）

式中　ΔYmax——校準(zhǔn)曲線與擬合直線間的最大偏差；

YF · S——系統(tǒng)滿量程輸出；

YF · S=Ymax-Y0。

由此可知，非線性誤差是以一定的擬合直線或理想直線為基準(zhǔn)直線算出來的。因而，基準(zhǔn)直線不同，所得線性度也不同，如圖1.3所示。

應(yīng)當(dāng)指出，對(duì)同一檢測系統(tǒng)，在相同條件下做校準(zhǔn)試驗(yàn)時(shí)得出的非線性誤差不會(huì)完全一樣。因而，不能籠統(tǒng)地說線性度或非線性誤差，必須同時(shí)說明所依據(jù)的基準(zhǔn)直線。目前，國內(nèi)外關(guān)于擬合直線的計(jì)算方法不盡相同，下面僅介紹兩種常用的擬合基準(zhǔn)直線方法。

①端基法。把檢測系統(tǒng)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的零點(diǎn)輸出平均值a0和滿量程輸出平均值b0連成直線a0 b0作為擬合直線，如圖1.4所示。其方程式為

　　（1.9）

式中　Y——輸出量；

X——輸入量；

a0——Y軸上截距；

K——直線a0 b0的斜率。

由此得到端基法擬合直線方程，按式（1.8）可算出端基線性度。這種方法簡單直觀，但是未考慮所有校準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)據(jù)的分布，擬合精度較低，一般用在特性曲線非線性度較小的情況。

②最小二乘法。用最小二乘法原則擬合直線，可使擬合精度最高。其計(jì)算方法如下。

令擬合直線方程為Y=a0+KX。假定實(shí)際校準(zhǔn)點(diǎn)有n個(gè)，在n個(gè)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)中，任一個(gè)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)Yi與擬合直線上對(duì)應(yīng)的理想值a0+KX間線差為

　　（1.10）

最小二乘法擬合直線的擬合原則就是使為最小值，亦即使對(duì)K和a0的一階偏導(dǎo)數(shù)等于零，從而求出K和a0的表達(dá)式。

聯(lián)立求解以上兩式，可求出K和a0，即

　　（1.11）

　　（1.12）

式中　n——校準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)。

由此得到最佳擬合直線方程，由式（1.8）可算得最小二乘法線性度。

通常采用差動(dòng)測量方法減小檢測系統(tǒng)的非線性誤差。如某位移傳感器特性方程式為

Y1=a0+a1 X+a2 X2+a3 X3+a4 X4+…

另一個(gè)與之完全相同的位移傳感器，但是它感受相反方向位移，則特性方程式為

Y2=a0-a1 X+a2 X2-a3 X3+a4 X4-…

在差動(dòng)輸出情況下，其特性方程式可寫成

　　        （1.13）

可見采用此方法后，由于消除了X偶次項(xiàng)而使非線性誤差大大減小，靈敏度提高一倍，零點(diǎn)偏移也消除了。因此差動(dòng)式傳感器已得到廣泛應(yīng)用。

（2）靈敏度K

靈敏度是指檢測系統(tǒng)在靜態(tài)測量時(shí)，輸出量的增量與輸入量的增量之比的極限值，即

　　（1.14）

靈敏度的量綱是輸出量的量綱和輸入量的量綱之比。當(dāng)某些檢測裝置或組成環(huán)節(jié)的輸出和輸入具有同一量綱時(shí)，常用“增益”或“放大倍數(shù)”來代替靈敏度。

對(duì)線性檢測裝置來說，靈敏度為

　　（1.15）

式中　θ——相應(yīng)點(diǎn)切線與X軸向夾角。

式（1.15）表示線性測量裝置的靈敏度為常數(shù)，可由靜態(tài)特性曲線（直線）的斜率求得，直線斜率越大，其靈敏度越高，如圖1.5（a）所示。對(duì)線性不太好的檢測裝置如圖1.5（b）所示，則可用輸出量與輸入量測量范圍與的比值來表示其平均靈敏度，即

 　　（1.16）

式中，；而Xi與Yi是X和Y的測量下限值，Xh與Yh是X和Y的測量上限值。

對(duì)于非線性檢測裝置，其靈敏度是變化的，如圖1.5（c）所示。

一般希望檢測裝置的靈敏度K在整個(gè)測量范圍內(nèi)保持為常數(shù)。這樣要求一方面有利于讀數(shù)，另一方面便于分析和處理測量結(jié)果。

實(shí)際測量中，常用的還有相對(duì)靈敏度表示法。相對(duì)靈敏度Kr為輸出變化量與被測量的相對(duì)變化率之比，即

　　（1.17）

（3）精度

在靜態(tài)測量中，由于任何檢測裝置和測量結(jié)果都含有一定大小的誤差，所以人們往往用誤差來說明精度。

①絕對(duì)誤差δ。絕對(duì)誤差是檢測裝置示值X與被測量真值X0之間的代數(shù)差值，即

　　（1.18）

實(shí)際上，真值是未知的，通常只能用實(shí)際值（或約定真值）來代替真值，它是由高一級(jí)的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)所復(fù)現(xiàn)或高一級(jí)精度儀器測得的被測量值。絕對(duì)誤差δ越小，說明示值越接近于真值，測量精度越高，但這一結(jié)論只適用于被測值相同的情況，而不能比較不同值的測量精度。

在校準(zhǔn)或檢定儀表時(shí)，常采用比較法，即對(duì)同一被測量，將標(biāo)準(zhǔn)表的示值X0（真值）與被校表的示值X進(jìn)行比較，則它們的差值就是被校表示值的絕對(duì)誤差。如果它是恒定值，則是系統(tǒng)誤差，此時(shí)儀表的示值應(yīng)加以修正，修正后才可得到被測量的實(shí)際值X0。即

　　（1.19）

式中　C——修正值或校正值。

修正值與示值的絕對(duì)誤差數(shù)值相等，但符號(hào)相反，即

試驗(yàn)室用的標(biāo)準(zhǔn)表常由高一級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)表校準(zhǔn)，檢定結(jié)果附帶有示值修正表，或修正曲線C=F（x）。

②示值相對(duì)誤差r（簡稱相對(duì)誤差）。示值相對(duì)誤差是檢測裝置示值絕對(duì)誤差與真值X0之比值，常用百分?jǐn)?shù)表示，即

　　（1.20）

當(dāng)測量誤差很小時(shí)，示值相對(duì)誤差可近似用式（1.21）計(jì)算。

　　（1.21）

示值相對(duì)誤差只能說明不同測量結(jié)果的準(zhǔn)確程度，而不能用來評(píng)價(jià)檢測儀表本身的質(zhì)量。因?yàn)橥慌_(tái)檢測儀表在整個(gè)測量范圍內(nèi)的相對(duì)測量誤差不是定值，隨著被測量的減小，相對(duì)誤差也增大，當(dāng)被測量接近于量程起始零點(diǎn)時(shí)，相對(duì)誤差趨于無限大，故一般不應(yīng)測量過小的量，而多用于測量接近上限的量，如2/3量程附近處。

③最大引用誤差qmax（又稱滿量程相對(duì)誤差）。檢測儀表示值絕對(duì)誤差δ與儀表量程L的比值，稱之為儀表示值的引用誤差q。引用誤差常以百分?jǐn)?shù)表示為

最大引用誤差是檢測儀表絕對(duì)誤差（絕對(duì)值）的最大值與儀表量程L之比的百分?jǐn)?shù)，即

　　（1.22）

最大引用誤差是檢測儀表基本誤差的主要形式，故也常稱之為儀表的基本誤差。

④精度等級(jí)。儀表在出廠檢驗(yàn)時(shí)，其示值的最大引用誤差qmax不能超過其允許誤差Q（以百分?jǐn)?shù)表示）即

qmax≤Q

工業(yè)檢測儀表常以允許誤差Q作為判斷精度等級(jí)的尺度。規(guī)定：取允許誤差百分?jǐn)?shù)的分子作為精度等級(jí)的標(biāo)志，即用最大引用誤差中去掉百分?jǐn)?shù)（%）后的數(shù)字表示精度等級(jí)，其符號(hào)為G，則G=Q×100。工業(yè)儀表常見的精度等級(jí)見表1.1。

（4）遲滯

遲滯是指在相同工作條件下作全測量范圍校準(zhǔn)時(shí)，在同一次校準(zhǔn)中對(duì)應(yīng)同一輸入量的正行程和反行程其輸出值間的最大偏差（見圖1.6）。其數(shù)值用最大偏差或最大偏差的一半與滿量程輸出值的百分比表示。

　　（1.23）

或　　　　　　　　　　（1.24）

式中　ΔHmax——輸出值在正反行程間最大偏差；

δH——系統(tǒng)的遲滯。

遲滯現(xiàn)象反映了裝置機(jī)械結(jié)構(gòu)或制造工藝上的缺陷，如軸承摩擦、間隙、螺釘松動(dòng)、元件腐蝕或積塞灰塵等。

（5）重復(fù)性

重復(fù)性是指在同一工作條件下，輸入量按同一方向在全測量范圍內(nèi)連續(xù)變化多次所得特性曲線的不一致性（見圖1.7）。數(shù)值上用各測量值正、反行程標(biāo)準(zhǔn)偏差最大值的兩倍或三倍與滿量程YF · S的百分比表示。即

　　（1.25）

式中　δk——重復(fù)性；

σ——標(biāo)準(zhǔn)偏差。

當(dāng)用貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差σ時(shí)，則有

式中　Yi——測量值；

——測量值的算術(shù)平均值；

n——測量次數(shù)。

重復(fù)性所反映的是測量結(jié)果偶然誤差的大小，而不表示與真值之間的差別。有時(shí)重復(fù)性雖然很好，但可能遠(yuǎn)離真值。

（6）其他靜態(tài)性能指標(biāo)

靈敏閾，又稱死區(qū)，是指由于摩擦或游隙等影響引起的檢測裝置不響應(yīng)的最大輸入變化量，是衡量起始點(diǎn)不靈敏的程度。

分辨力，是指能引起輸出量發(fā)生變化時(shí)輸入量的最小變化量ΔX。它說明了檢測裝置響應(yīng)與分辨輸入量微小變化的能力。具有數(shù)字式顯示器的測量裝置，其分辨力是指最后一位有效數(shù)字增加一個(gè)字時(shí)相應(yīng)示值的改變量，即相當(dāng)于一個(gè)分度值。

測量范圍，是指檢測裝置能夠正常工作的被測量范圍，即測量最小輸入量（下限）至最大輸入量（上限）之間的范圍。

穩(wěn)定性，是指在一定工作條件下，保持輸入信號(hào)不變，輸出信號(hào)隨時(shí)間或溫度變化而出現(xiàn)的緩慢變化程度。隨時(shí)間變化而出現(xiàn)的漂移稱為時(shí)漂；隨環(huán)境溫度變化而出現(xiàn)的漂移稱之為溫漂。如彈性元件的時(shí)效、電子元件的老化、放大線路的溫漂、熱電偶電極的污染等。

1.2.2　動(dòng)態(tài)特性及其指標(biāo)

檢測系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是指在動(dòng)態(tài)測量時(shí)，輸出量與隨時(shí)間變化的輸入量之間的關(guān)系。在分析系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性時(shí)，常把一些典型信號(hào)作為輸入信號(hào)，如階躍信號(hào)、正弦信號(hào)等，而其他較復(fù)雜的信號(hào)均可以將其分解為若干階躍信號(hào)或正弦信號(hào)之和。

（1）檢測系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)誤差

動(dòng)態(tài)特性好的檢測系統(tǒng)應(yīng)具有很短的暫態(tài)響應(yīng)和很寬的頻率響應(yīng)特性。由于檢測系統(tǒng)中總是存在機(jī)械的、電氣和磁慣性，從某種程度上說，任何實(shí)際的檢測系統(tǒng)都不可能精確地響應(yīng)變化中的輸入信號(hào)。也就是說，系統(tǒng)輸出信號(hào)不會(huì)與輸入信號(hào)具有相同的時(shí)間函數(shù)，即存在動(dòng)態(tài)誤差。

在靜態(tài)靈敏度K=1的情況下，檢測系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)誤差是輸出信號(hào)與其相應(yīng)的輸入信號(hào)之差，可表示為

　　（1.26）

①穩(wěn)態(tài)誤差。動(dòng)態(tài)誤差中只與系統(tǒng)特性參數(shù)有關(guān)而與時(shí)間無關(guān)的那一部分誤差稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。即使時(shí)間趨于無窮大，穩(wěn)態(tài)誤差也依然存在。

②瞬態(tài)誤差。動(dòng)態(tài)誤差中與時(shí)間有關(guān)的那一部分誤差稱為系統(tǒng)的瞬態(tài)誤差。一般來說，當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí)，瞬態(tài)誤差趨于零。

（2）常見檢測系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性

常見檢測系統(tǒng)多為零階、一階或二階系統(tǒng)。在動(dòng)態(tài)特性分析中，靈敏度K僅起使輸出相對(duì)輸入放大K倍作用。因此，為方便起見，在

闡述零階、一階和二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性時(shí)均取

　　（1.27）

①零階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。在零階系統(tǒng)中，對(duì)照式（1.1）只有a0與b0兩個(gè)系數(shù)，于是微分方程為

或　　（1.28）

式中　K——靜態(tài)靈敏度。

式（1.28）表明，零階系統(tǒng)的輸入量無論隨時(shí)間如何變化，其輸出量幅值總是與輸入量成確定的比例關(guān)系。時(shí)間上不滯后，幅角ψ等于零。如圖1.8所示，電位器式傳感器就是典型零階系統(tǒng)。

設(shè)電位器的阻值沿長度L是線性分布的，則輸出電壓USC和電刷位移之間的關(guān)系為

　　（1.29）

式中　USC——輸出電壓，V；

USR——輸入電壓，V；

x——電刷位移，m。

由式（1.29）可知，輸出電壓USC與位移x成正比，它對(duì)任何頻率輸入均無時(shí)間滯后。在實(shí)際應(yīng)用中，許多高階系統(tǒng)在變化緩慢、頻率不高時(shí)，都可以近似地當(dāng)作零階系統(tǒng)處理。

②一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。這時(shí)在式（1.1）中除系數(shù)a1，a0，b0外，其他系數(shù)均為零，因此可寫為

上式兩邊各除以a0，得到

　　（1.30）

式中　K——，為靜態(tài)靈敏度；

τ——，為時(shí)間常數(shù)。

如果系統(tǒng)中含有單個(gè)儲(chǔ)能元件，則在微分方程中出現(xiàn)Y的一階導(dǎo)數(shù)，便可用一階微分方程式表示。

如圖1.9所示使用不帶保護(hù)套管的熱電偶插入恒溫水浴中進(jìn)行溫度測量。根據(jù)能量守恒定律可列出如下方程組。

　　（1.31）

式中　m1——熱電偶質(zhì)量，kg；

c1——熱電偶比熱容，J/（kg·K）；

T1——熱接點(diǎn)溫度，K；

T0——被測介質(zhì)溫度，K；

R1——介質(zhì)與熱電偶之間熱阻，K/J；

q01——介質(zhì)傳給熱電偶的熱量（忽略熱電偶本身熱量損耗），J。

將式（1.31）整理后得

式中　τ1——時(shí)間常數(shù)。

則上式可寫為

　　（1.32）

式（1.32）是一階線性微分方程。如果已知T0的變化規(guī)律，求出微分方程式（1.32）的解，就可以得到熱電偶對(duì)介質(zhì)溫度的時(shí)間響應(yīng)。

在正弦輸入時(shí)，由式（1.2）可求出其傳遞函數(shù)G（s）為

　　（1.33）

而一階系統(tǒng)的頻率特性為

　　（1.34）

幅頻特性為

　　（1.35）

相頻特性為

　　（1.36）

在相頻特性表達(dá)式中，負(fù)號(hào)表示相位滯后。由頻率特性公式可以看出，時(shí)間常數(shù)τ越小，系統(tǒng)頻率特性越好。在上述熱電偶測溫系統(tǒng)中，要想減小τ1，就要求系統(tǒng)熱阻R1、熱電偶質(zhì)量m1、比熱容c1越小越好。

通常描述檢測系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的方法是給系統(tǒng)輸入一個(gè)階躍信號(hào)，并給定初始條件，求出系統(tǒng)微分方程的特解，以此作為動(dòng)態(tài)特性指標(biāo)的描述和表示法。

對(duì)單位階躍輸入，即

　　（1.37）

由一階微分方程式（1.30），令K=1可以解出一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)為

　　（1.38）

響應(yīng)曲線如圖1.10所示。它說明系統(tǒng)的實(shí)際輸出量是按指數(shù)規(guī)律上升至最終值的（穩(wěn)態(tài)輸出值）。而理想的響應(yīng)是應(yīng)該得到階躍輸出，因此，一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)誤差為

并隨著時(shí)間的增加按指數(shù)規(guī)律衰減，當(dāng)t=τ，2τ，3τ，4τ，輸出量僅為穩(wěn)態(tài)輸入量的63.2%，86.5%，95%，98.2%。當(dāng)t?∞，εX（t）?0。

時(shí)間常數(shù)τ是按指數(shù)規(guī)律上升至最終值的63.2%所需的時(shí)間，時(shí)間t=0時(shí)，響應(yīng)曲線的初始斜率為1/τ，要使斜率大，即減小動(dòng)態(tài)誤差，就要求τ值小。所以一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)越小，響應(yīng)越快。

③二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。對(duì)于二階系統(tǒng)，參照式（1.1）微分方程系數(shù)除a2，a1，a0和b0外，其他系數(shù)均為零，因此，可寫為

整理后，得

　　（1.39）

式中　K——，為靜態(tài)靈敏度；

ω0——，為無阻尼系統(tǒng)固有頻率；

ξ——，為阻尼比。

上述三個(gè)量K，ω0，ξ為二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的特征量。

圖1.11所示為帶保護(hù)套管式熱電偶插入恒溫水浴中的測溫系統(tǒng)。根據(jù)熱力學(xué)能量守恒定律列出方程

　　（1.40）

式中　T0——介質(zhì)溫度，K；

T1——熱接點(diǎn)溫度，K；

T2——保護(hù)套管溫度，K；

m2 c2——套管比熱容，J/K；

R1——套管與熱電偶間的熱阻，K/J；

R2——被測介質(zhì)與套管間的熱阻，K/J；

q02——介質(zhì)傳給套管的熱量，J；

q01——套管傳給熱電偶的熱量，J。

由于R1?R2，所以q01可以忽略。式（1.40）經(jīng)整理后得

令τ2=R2 m2 c2，則得

　　（1.41）

同理，令τ1=R1 m1 c1，則得

　　（1.42）

聯(lián)立式（1.41）和式（1.42），消去中間變量T2，便得到此測量系統(tǒng)的微分方程式

　　（1.43）

令

將ω0和ξ代入式（1.43），則得

　　（1.44）

由式（1.44）可知，帶保護(hù)套管的熱電偶是一個(gè)典型的二階測溫系統(tǒng)。

當(dāng)正弦輸入時(shí)，由式（1.2）可求得其傳遞函數(shù)G（s）為

　　（1.45）

頻率特性為

　　（1.46）

幅頻特性

　　（1.47）

相頻特性

　　（1.48）

二階系統(tǒng)頻率特性如圖1.12所示。從式（1.47）可知幅頻特性A（ω）隨ω/ω0及阻尼比ξ的變化而變化。在一定ξ值下A（ω）與ω/ω0之間關(guān)系如圖1.12（a）所示，由圖中可得如下結(jié)論。

①當(dāng)ω/ω0?1時(shí)測量動(dòng)態(tài)參數(shù)和靜態(tài)參數(shù)是一致的。

②當(dāng)ω/ω0?1時(shí)A（ω）接近零，而ψ（ω）接近180°。即被測參數(shù)的頻率遠(yuǎn)高于其固有頻率時(shí)，測量系統(tǒng)沒有響應(yīng)。

③當(dāng)ω/ω0=1，且ξ?0時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)諧振，即A（ω）有極大值。其結(jié)果使輸出信號(hào)波形的幅值和相位都嚴(yán)重失真。

④阻尼比ξ對(duì)頻率特性有很大影響。ξ增大，幅頻特性的最大值逐漸減小。當(dāng)ξ>1時(shí)，幅頻特性曲線是一條遞減的曲線，不再有凸峰出現(xiàn)。由此可見，幅頻特性平直段寬度與ξ密切相關(guān)。當(dāng)ξ≈0.7時(shí)，幅頻特性的平直段最寬。

當(dāng)輸入階躍信號(hào)時(shí)，通過求解二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以得到輸出響應(yīng)Y（t），如圖1.13所示。按阻尼比ξ不同，階躍響應(yīng)可分為如下三種情況。

①欠阻尼ξ<1

　　（1.49）

式中　　　

②過阻尼ξ>1

　　（1.50）

③臨界阻尼ξ=1

　　（1.51）

以上三種階躍響應(yīng)曲線如圖1.13所示。由圖可知，只有ξ<1時(shí)，階躍響應(yīng)才出現(xiàn)過沖，超過了穩(wěn)態(tài)值。式（1.49）表明欠阻尼情況下系統(tǒng)振蕩頻率為，ωd為有阻尼時(shí)系統(tǒng)固有頻率。在實(shí)際應(yīng)用中，為了兼顧有短的上升時(shí)間和小的過沖量，阻尼比ξ一般取為0.7左右。

二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的典型性能指標(biāo)如圖1.14所示。

有阻尼自然振蕩周期Td：，ωd為有阻尼系統(tǒng)固有頻率。

上升時(shí)間tr　輸出由穩(wěn)態(tài)值的10%變化到穩(wěn)態(tài)值的90%所用的時(shí)間。二階系統(tǒng)中tr隨ξ的增大而增大，當(dāng)ξ=0.7時(shí)，。

穩(wěn)定時(shí)間ts　系統(tǒng)從階躍輸入開始到系統(tǒng)穩(wěn)定在穩(wěn)態(tài)值的給定百分比時(shí)所需的最小時(shí)間。對(duì)穩(wěn)態(tài)值給定百分比為±5%的二階系統(tǒng)，在ξ=0.7時(shí)，ts最小（=3/ω0）。

tr，ts都是反映系統(tǒng)響應(yīng)速度的參數(shù)。

峰值時(shí)間tp　階躍響應(yīng)曲線達(dá)到第一個(gè)峰值所需時(shí)間。。

超調(diào)量σ%　通常用過渡過程中超過穩(wěn)態(tài)值的最大值ΔA（過沖）與穩(wěn)態(tài)值之比的百分?jǐn)?shù)表示。σ%與ξ有關(guān)，ξ越大，σ%越小，其關(guān)系可用下式表示為

　　（1.52）

同時(shí)可求得

　　（1.53）

總之，只要從二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)特性曲線中求出其特征量ωd、峰值時(shí)間tp、超調(diào)量σ%，由式（1.52）及式（1.53）可進(jìn)一步計(jì)算出二階系統(tǒng)的特性參數(shù)ξ和ω0。