第4章　效　用

一、判斷題

1．效用函數對應的無差異曲線為向下傾斜的直線。（　　）

【答案】T

【解析】，對任意一條既定的無差異曲線來說，u都是常數，所以無差異曲線是直線。

另解：效用函數經過單調變換可得，該效用函數為完全替代型的，單調變換不改變效用的性質，故原效用函數的無差異曲線是直線。

2．效用函數是，對應為良性偏好。（　　）

【答案】T

【解析】，當，曲線是單調的，也是凸的，所以對應的是良好性狀的無差異曲線。

3．對于擬線性偏好，沿著穿過原點的射線與無差異曲線交點的邊際替代率是恒定不變的。（　　）

【答案】F

【解析】對于擬線性偏好，垂直于橫軸的射線與無差異曲線交點的邊際替代率恒定不變。

4．若消費者的偏好可以由效用函數表示，那么對于該消費者而言，x和y是完全替代品。（　　）

【答案】T

【解析】由于效用函數的單調變換并不改變它所表示的偏好，那么原偏好也可以用效用函數

表示，因此x和y是完全替代品。

5．小張所消費的兩種商品均為厭惡品，效用函數為，他的無差異曲線所對應的弱偏好集為凸集。（　　）

【答案】T

【解析】厭惡品的無差異曲線為負。的無差異曲線在第三象限，呈L形凹向原點。因此無差異曲線所對應的弱偏好集是凸集。

6．經過單調變換，效用函數仍能反映原有的偏好。（　　）

【答案】T

【解析】根據效用序數理論的基本性質，效用函數單調變換還是一個效用函數，這個效用函數代表的偏好與原效用函數代表的偏好相同。

7．消費集為X＝{a，b，c}，在其上定義了兩個效用函數u和v，如下表所示：

效用函數u和v描述了同一消費者的偏好。（　　）

【答案】F

【解析】效用函數u和v表示消費者對消費束a、b、c的偏好次序完全相反，不可能是同一消費者的偏好。

8．不論可供消費者選擇的消費束的數量是有限的還是無限的，如果偏好序不滿足連續性假設，那么，效用函數就不存在。（　　）

【答案】F

【解析】如果偏好序滿足完備性、反身性、傳遞性和連續性假設，則偏好序就可以用一個連續效用函數來表示，但如果偏好序不滿足連續性假設，效用函數仍然存在，只是不能保證連續性了。

9．一輛自行車和一把車鎖總是捆在一起消費，消費者對自行車（x₁）和車鎖（x₂）的效用可以表示為U＝x₁＋x₂。（　　）

【答案】F

【解析】自行車和車鎖是完全互補關系，而題中效用函數所表示的是完全替代關系。因此消費者的效用函數應該表示為：U＝min{x₁，x₂}。

10．貨幣的邊際效用隨著貨幣數量的增加而遞減。（　　）

【答案】T

【解析】邊際效用遞減是一個普遍規律，貨幣邊際效用也存在遞減規律，但在貨幣變化的較小范圍內，可以假定貨幣的邊際效用不變。

11．消費者均衡時，邊際效用最大化。（　　）

【答案】F

【解析】消費者均衡時，消費者的總效用最大，而不是邊際效用最大。

二、單項選擇題

1．小王的效用函數為，小王現消費5單位商品x和25單位商品y。下列哪一項是正確的？（　　）

A．小王將會愿意放棄5單位x以換取1單位y

B．如果每放棄1單位x，能換取5單位以上的y，小王將愿意放棄所有的x

C．小王對x和y同等喜歡，他將愿意以1單位商品x換1單位另一種商品y

D．以上答案都不正確

【答案】D

【解析】原來的效用為。A項，x＝0，y＝26，則u＝0；B項，x＝0，，則u＝0；C項，假設小王用1單位x換取1單位y，x＝4，y＝26，則u＝104＜125。

2．小馬的效用函數為

以下哪一種說法正確？（　　）

A．小馬的偏好是擬線性的

B．如果小馬擁有x比y多，則任何y商品的增加都會降低他的效用

C．如果小馬擁有x比y多，則任何y商品的減少都會降低他的效用

D．小馬總是偏好消費更多數量的商品

【答案】B

【解析】消費者的效用函數是：

小馬的無差異曲線如圖4-1所示。無差異曲線不具有良好的形狀，因此小馬并不是消費越多的商品越好，其偏好也不是擬線性的。無差異曲線不是一條直線，x和y不是完全替代的。當時，任何y商品的增加都會降低他的效用。

圖4-1　的無差異曲線

3．有代號為A、B、C、D、E、F、G七個人，A的效用函數為，B的效用函數為，C的效用函數為，D的效用函數為

E的效用函數為，F的效用函數為，G的效用函數為。請問以上哪幾位的偏好和A相同？（　　）

A．除了C之外的所有人

B．B和E

C．B、D和E

D．都不是

【答案】C

【解析】BDE三項的效用函數均屬于A的效用函數的單調變換，因此其偏好與A是相同的。C項的效用函數與A的效用函數符號相反，那么當時所隱含的是，與A所隱含的恰恰相反，因此不屬于A的單調變換。

4．當一個消費者同時消費其他商品和閑暇時，效用函數是，下面關于效用函數的說法不正確的是（　　）。

A．其他商品C和閑暇L的邊際效用都大于0

B．當消費者消費更多的閑暇，同時減少其他消費品時，閑暇和其他消費的邊際替代率降低

C．當消費者增加其他消費品C的消費時，L的邊際效用增加

D．當消費者增加閑暇的消費時，閑暇的邊際效用增加

【答案】D

【解析】根據邊際效用遞減規律可知，在其他商品消費量不變的前提下，隨著對一種商品消費的增加，消費者從該商品連續增加的每一消費單位中所得到的效用增量是遞減的，即邊際效用是遞減的。

5．小張的效用函數為，他現在有12單位商品x，8單位商品y。對于同樣的兩種商品，小李的效用函數是，小李擁有9單位商品x，13單位商品y。下列哪一種說法是正確的？（　　）

A．相對于自己現有的消費束，小張更加偏好小李的，而小李更偏好自己的消費束

B．相對于自己現有的消費束，小李更加偏好小張的，但是小張偏好自己的消費束

C．兩人各自偏好對方的消費束

D．沒有一方偏好對方的消費束

【答案】A

【解析】，則，因此小張更加偏好小李的消費束；，，因此小李更偏好自己的消費束。

6．某消費者的效用函數為。他現有25單位商品x和12單位商品y。如果他對商品x的消費減少到0，則需要消費多少單位的商品y才能使他的狀況和原來一樣好？（　　）

A．48

B．37

C．32

D．112

【答案】C

【解析】根據效用函數，消費者原來的效用為：

當x＝0，已知u＝32，則y＝32。

7．某消費者的效用函數為

其中x₁，x₂分別為消費炸玉米片和炸薯條的數量。假設他在炸玉米片和炸薯條上共花費$40，如果炸玉米片的單價為1，炸薯條的單價為4，則他將消費多少炸玉米片和炸薯條？（　　）

A．至少消費和炸玉米一樣數量的炸薯條，但是也可能兩者都消費

B．至少消費和炸薯條一樣數量的炸玉米，但是也可能兩者都消費

C．肯定把收入全消費在炸玉米上

D．肯定把收入全消費在炸薯條上

【答案】C

【解析】無差異曲線如圖4-2所示。預算約束線為。效用最大化的點在邊界上。通過比較兩個邊界點，可知消費者應該把收入全部消費在炸玉米片上。

圖4-2　的無差異曲線

8．某消費者具有良性偏好，且當前消費束的邊際替代率MRS的絕對值大于3。那么（　　）。

A．按照3單位商品2交換1單位商品1的比例換走一些商品1，一定使他的境況變糟

B．按照3單位商品2交換1單位商品1的比例換走一些商品1，一定使他的境況變好

C．按照3單位商品2交換1單位商品1的比例換走一些商品2，一定使他的境況變糟

D．按照3單位商品2交換1單位商品1的比例換走一些商品2，一定使他的境況變好

【答案】A

【解析】因為邊際替代率MRS的絕對值大于3，因此換走1單位的商品1，必須以大于3單位的商品2來補償，A項中僅僅用3單位的商品2來交換1單位的商品1，情況一定會變糟；D項，邊際替代率MRS是遞減的，所以當按照3單位商品2交換1單位商品1的比例換走一些商品2時，不一定境況就會變好。

9．垂直的無差異曲線意味著（　　）。

A．當消費者增加橫軸上的商品的消費時，他的滿足不會增加

B．當消費者增加縱軸上的商品的消費時，他的滿足不會增加

C．當兩種商品的消費量都增加時，消費者的滿足會增加

D．以上說法都不正確

【答案】B

【解析】無差異曲線垂直于橫軸，表明消費者的效用僅由橫軸商品的消費量決定，因此，當消費者增加縱軸上的商品消費量時，消費者的滿足不會增加。

10．需求曲線上的任意一點反映的是（　　）。

A．MU/P等于貨幣的邊際效用

B．消費者的邊際效用最大化點

C．收入變化時消費者均衡點的變化軌跡

D．消費者預算的內點

【答案】A

【解析】需求曲線是從消費者最大化效用的行為中推導出來的，因此需求曲線上的每點都滿足消費者均衡的一般條件，即MU/P等于貨幣的邊際效用。

11．某消費者消費商品1和商品2。他認為兩單位商品1總是與3單位商品2完全替代。以下哪一個效用函數無法表示此消費者的偏好？（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】表示兩種商品是完全互補品，因此無法表示消費者對于完全替代品的偏好。

12．U（x）代表消費者偏好的效用函數，則下列效用函數中，不是正單調變換的是（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】單調變化只不過是對無差異曲線重新表明數字，而不改變這些商品組合的效用水平的次序。D項，U（x）和u（x）所表示的偏好次序完全相反，因此不是正單調變換。

13．邊際效用函數遞減對應下列偏好的哪個性質？（　　）

A．嚴格凸性

B．局部非飽和性

C．完備性

D．可微性

【答案】A

【解析】偏好的嚴格凸意味著無差異曲線凸向原點，而這表示邊際替代率是遞減的，邊際替代率可以表示為邊際效用之比。

14．當偏好關系是商品空間上的一個等價關系且連續時，則效用函數為（　　）。

A．存在

B．不一定存在

C．存在且唯一

D．存在但不唯一

【答案】D

【解析】效用函數概括了偏好關系所傳遞的信息，且存在性參考德布魯1954年的證明。當效用函數存在時，任何一個單調變換仍然是同一偏好的函數。

15．當消費者對商品X的消費達到飽和點時，則邊際效用MU_X為（　　）。

A．正值

B．負值

C．零

D．不確定

【答案】C

【解析】根據邊際效用和總效用的關系：當邊際效用為正時，總效用處于遞增狀態；當邊際效用為0時，總效用達到最大；當邊際效用為負時，總效用處于遞減狀態。消費者對商品X的消費達到飽和點，亦即商品X的效用達到最大時，邊際效用為零。

16．以下各效用函數中，不具有凸性的是（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】的效用曲線如圖4-3所示，其不具有凸性。

圖4-3　凹性偏好

17．邊際效用隨消費量的增加而（　　）。

A．遞減

B．遞增

C．按相同方向變動

D．保持不變

【答案】A

【解析】根據邊際效用遞減規律，邊際效用隨消費量增加而遞減，其原因主要有兩個：①人們的心理作用；②最先消費的單位往往用在最需要的地方，因而產生的效用大于隨后消費的單位。

18．當消費達到飽和點時，總效用曲線呈（　　）。

A．向右上方傾斜

B．向右下方傾斜

C．水平狀

D．向左上方彎曲

【答案】C

【解析】當消費達到飽和點（即總效用最大）時，邊際效用為零。可知，在此點上，總效用曲線呈水平狀。

19．基數效用論關于消費者均衡的條件是（　　）。

A．無差異曲線與預算線相切

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】基數效用論的消費者均衡條件為：

其經濟含義是，當消費者達到均衡時，每種商品在該處的邊際效用與其價格之比等于單位貨幣的效用，或者說消費者應使花費在各種商品上的最后一元錢所帶來的邊際效用相等。上式也可以表達為：

無差異曲線與預算線相切、為序數效用論關于消費者均衡的條件。

20．基數效用與序數效用的主要差異在于兩種商品的（　　）。

A．邊際替代率是否遞增

B．邊際替代率是否遞減

C．效用是否可加

D．邊際替代率是否不變

【答案】C

【解析】序數效用論認為，效用只能表示為一種排序、等級或偏好，因為這種效用不可數，所以不可疊加。序數效用論用無差異曲線、預算線等來分析消費者行為。基數效用論認為，效用是可數的，因而可以加總求和（即疊加）。基數效用論用效用函數、效用單位、總效用、邊際效用等來說明消費者行為。

三、簡答題

1．對于如下效用函數：

（1）

（2）

（3）

證明：盡管這些效用函數具有遞減的MRS，但是它們分別顯示出邊際效用不變、遞增、遞減。你能從中得出什么結論？

證明：（1），，，，；

（2），，，，；

（3），，，，。

從以上分析可知，單調變化會影響遞減的邊際效用，但是不會影響邊際替代率MRS。

2．某消費者的效用函數為u（x，y）＝x^a＋y^b，a，b＞0。請問，需對兩個系數a和b分別增加什么額外約束才能滿足以下偏好？

（1）偏好是擬線性偏好，且無差異曲線呈凸性。

（2）偏好是相似偏好。

（3）偏好是相似偏好，且無差異曲線呈凸性。

（4）商品x和y是完全替代的。

答：（1）擬線性偏好的方程一定采取x＝k－v（y）的形式，其中k是對不同的無差異曲線取不同值的常數。因此，①當a＝1，0＜b＜1時，

是擬線性偏好；②當b＝1，0＜a＜1時，

是擬線性偏好。

（2）如果偏好是相似的，就意味著當收入按任意的比例t遞增或遞減，需求束也會按相同的比例遞增或遞減，那么此時a＝b。

（3）如果偏好是相似的，則a＝b，效用函數為。在x和y均大于0的情況下，分別對x和y求偏導數，并且令各自的偏導函數都是減函數，但是偏導數恒大于0，則可得0＜a＜1，此時無差異曲線呈凸性。

（4）當a＝b＝1時，u（x，y）＝x＋y，由此可知商品x和y是完全替代的。

3．某消費者喜歡擁有等量的商品x和商品y。他的效用函數是

（1）畫出經過點（0，0）的無差異曲線，以及經過點（4，4）的無差異曲線。

（2）如果該消費者具有比（0，0）更好的消費束，現在他對兩種商品的消費都增加一倍，問他的狀況是不是變好了？

（3）對這兩種商品該消費者是不是偏好擁有更多數量的某種商品？

答：（1）消費者的效用函數是：

所以，其無差異曲線由斜率分別為1/2和2的兩條直線組成，如圖4-4所示。

（2）消費者狀況變好了，因為2x－y和2y－x都增加了一倍。

圖4-4　的無差異曲線

（3）不是。當x＞y時，y不變只增加x會使其境況變差；

當y＞x時，x不變只增加y也會使其境況變差。

4．如果效用函數滿足：



則稱它的兩種商品具有獨立的邊際效用。試證明當我們假定每一種商品的邊際效用為遞減時，具有獨立邊際效用的效用函數都會有遞減的邊際替代率。舉例證明其逆命題是錯的。

證明：f₁₂＝0意味著只要f₁₁，f₂₂＜0，則MRS遞減。原命題得證。

原命題的反命題是：如果具有獨立邊際效用的任一效用函數都會有遞減的邊際替代率，則每一種商品的邊際效用是遞減的。下面來證明此命題不一定成立。

在兩種消費商品的效用函數下，遞減的邊際替代率意味著下式成立：

當f₁₂＝0時，上式變為

顯然，這無法推出f₁₁，f₂₂＜0的結論。

四、計算題

1．假定小王（A）和小李（B）的效用函數分別為：

（1）請針對兩人分別寫出X對Y的邊際替代率公式。

（2）如果交易通過價格體系來實施，請寫出均衡時的價格比率。

（3）假定共有100單位的X和200單位的Y。最初，小王有25單位的X和75單位的Y，而小李有75單位的X和125單位的Y。請說明經過市場交易后，均衡時兩人分別擁有的兩種商品的數量。

解：（1）小王（A）的X對Y的邊際替代率公式為：

小李（B）的X對Y的邊際替代率公式為：

（2）如果交易通過價格體系來實施，均衡時的（可行的）價格比率必須滿足條件：

所以，均衡時的價格比為：。

（3）由（1）知，二者的消費量達到帕累托最優時

當P_X＝1時，可得P_Y＝1。

假設經過市場交易后，均衡時兩人擁有的商品的數量組合分別為：和。均衡時，

同時，消費者A和消費者B必須滿足各自的預算約束：

聯立上述方程式可得：，，，。

因此，達到均衡時，消費者A和B消費X商品和Y商品分別為：

2．如果某消費者在三維商品世界（l＝1，2，3）中的需求函數為：

你能寫出該消費者的效用函數u（x₁，x₂，x₃）嗎？他對的偏好關系是屬于什么類型的？

解：首先把題中的需求函數改寫為：

再令

則，從而：

顯然其效用函數應為柯布—道格拉斯函數類型，則有：

他對的偏好關系也相應是屬于柯布—道格拉斯函數類型的。

3．對于常替代彈性效用函數：

證明：

（1）當時，該效用函數趨近于

（2）當時，該效用函數趨近于

證明：（1）當時，此時對效用函數

兩邊變換求極限有：

（2）當時，對效用函數

兩邊變換求極限有：

最后一個等號用到洛必達法則，下面分情況討論：

①x₁＞x₂時：

上式中倒數第二個等號成立是因為當時，

②當x₁＜x₂時：

當x₁＝x₂時，有

綜上可知：