第5章　選　擇

一、判斷題

1．某消費者的效用函數為

如果他所消費的商品x和商品y都增加一倍，那么商品x和商品y的邊際替代率仍保持不變。（　　）

【答案】F

【解析】邊際替代率為：

當時，

當時，

商品x和商品y的邊際替代率發生變化。

2．在最優選擇處，消費者的無差異曲線和預算線一定是相切的。（　　）

【答案】F

【解析】最優選擇處，無差異曲線和預算線可以相切，也可以不相切。在凸性偏好和內部最優的條件下，相切是最優選擇的充分條件，即相切處一定是最優選擇，但最優選擇不一定是相切的。在邊界最優的情況下，如商品完全替代的情況下，無差異曲線與預算線是相交的，而不是相切的。

3．已知一元錢的邊際效用為5個單位，一支鋼筆的邊際效用為35個單位，則消費者需要用6元來買這支鋼筆。（　　）

【答案】F

【解析】基數效用論中效用最大化條件為，本題中，消費者需要7元來購買這支鋼筆。

4．某消費者的效用函數為

商品x的價格為1元/單位，商品y的價格為2元/單位。如果他的收入從100元增加到150元，他對商品y的消費將增加超過10%，但少于50%。（　　）

【答案】F

【解析】根據效用最大化的條件可得：，即y＝1。當收入變動時，消費者對y的消費不變。

5．某消費者效用函數為

如果商品x的價格與商品y的價格相等，該消費者會選擇購買等量的x和y。（　　）

【答案】F

【解析】效用函數可寫為：

消費者為了使效用最大化，會選擇只消費其中一種商品。

6．如果消費者不具有良性偏好，無差異曲線與預算線的切點仍可能為最優選擇。（　　）

【答案】T

【解析】對于一些平滑的無差異曲線，盡管不具有良性偏好，其最優選擇仍然是無差異曲線和預算線的切點。如圖5-1所示。

圖5-1　最優選擇

7．一個消費者從來不吃蝸牛但是會吃漢堡，這個消費者在他消費零數量蝸牛的時候，蝸牛對漢堡的邊際替代率應該仍與蝸牛與漢堡的價格比相等。（　　）

【答案】F

【解析】消費者不吃蝸牛而吃漢堡，說明最優情況為邊界最優，此時預算線與無差異曲線相交于邊界點，但是未必是相切的情況，即二者的邊際替代率與二者的價格比未必相同。

8．在互補型的偏好下，無論征收從量稅還是課征所得稅，消費者的情況都沒有區別。（　　）

【答案】T

【解析】當消費者的偏好為互補型時，無差異曲線不變，無論征收從量稅還是課征所得稅，征稅后導致預算線如何旋轉變動，消費者的選擇都不會改變，因此其情況都不會發生變化。

二、單項選擇題

1．某消費者的效用函數為

他的收入為30元，以下哪個說法正確？（　　）

A．該消費者不喜歡商品y

B．該消費者的偏好存在饜足點

C．如果商品x的價格是4元/單位，商品y的價格是1元/單位，該消費者會買2個單位y

D．只有在商品y比商品x便宜時，該消費者會買y

【答案】C

【解析】AB兩項，消費者的偏好屬于擬線性偏好，因此消費者喜歡商品y，且認為消費越多越好，不存在饜足點；C項，可以利用效用最大化條件來求解擬線性偏好的效用最大化。根據效用函數解得：

即y＝2；D項，兩者并不是完全替代的關系，因此最優解并不在邊界上，不存在只購買比較便宜的商品這種最優選擇。

2．某消費者的效用函數為，如果商品x的價格為1元/單位，商品y的價格為9元/單位，商品z的價格為8元/單位。該消費者的收入為8元，他對商品x的最優選擇為多少？（　　）

A．2

B．1.60

C．5

D．7

【答案】A

【解析】先考慮y、z的消費量，單位貨幣在商品y上支出所帶來的邊際效用（）高于在商品z上支出所帶來的邊際效用（）。所以這部分支出中，該消費者會把全部支出都用于消費商品y。因此效用函數可寫為：。可知商品z和商品y為完全互補品，因此最優選擇在x＝3y上。預算約束為：。聯立可得：x＝2。

3．商品x和商品y的價格都是1元/單位。某消費者打算花20元在商品x和商品y上，并考慮購買10個單位x和10個單位y。該消費者對商品x和商品y的偏好是良性的。記橫軸為x的數量，縱軸為y的數量，該消費者的無差異曲線在（10，10）的斜率為－2。據此可以判斷（　　）。

A．消費束（10，10）是他所能購買的最優消費束

B．他可以多消費商品x，少消費商品y從而變得更好

C．他可以多消費商品y，少消費商品x從而變得更好

D．他一定是不喜歡其中某種商品

【答案】B

【解析】偏好是良性的，則最優選擇的條件是邊際替代率等于價格之比。A項，在（10，10）的斜率不等于價格比，因此不是最優選擇；B項，

因此他可以多消費商品x，降低x的邊際效用，少消費y，提高y的邊際效用，最終使得，達到效用最大化；D項，因為其偏好是良性的，因此他認為兩種商品都是越多越好。

4．下面哪一種情況可能改變一個理性消費者的需求？（　　）

A．對效用函數進行立方

B．把效用函數乘以3并減去100

C．把所有價格和他的收入都增加3元

D．所有價格和收入都乘以2

【答案】C

【解析】AB兩項是原效用函數的單調變換，不改變消費者的需求；C項，把所有價格和他的收入都增加3元，改變了消費者的預算線進而改變了消費者的需求；D項，所有價格和收入均乘以2，預算約束線和無差異曲線均無變化，消費者的最優選擇也不發生變化。

5．某消費者只消費啤酒和香腸。他的收入為100元，啤酒每罐為0.5元，香腸每根為1元。x表示啤酒的數量，y表示香腸的數量，該消費者的效用函數為

那么（　　）。

A．因為效用函數始終為負值，因此該消費者無論消費多少都不滿意

B．該消費者具有單調遞增的偏好

C．即便消費者的收入增加，他也不會改變原來的選擇

D．如果啤酒價格下降，他會買得更多

【答案】C

【解析】消費者的預算約束方程為：

由效用函數可知，該消費者的效用為非正值，所以該消費者的最大效用為0，此時x＝50，y＝40，即消費者只需要收入50×0.5＋40×1＝65就可達到最大效用。即使消費者的收入大于65，消費者也不會把多余的錢用來消費，因為增加消費不僅不能使其效用增加，反而使其效用減少。

6．某消費者只消費x和y兩種商品，且兩種商品對他而言都是喜好品。如果他的收入增加一倍，兩種商品價格保持不變，則（　　）。

A．他會增加兩種商品的消費

B．商品x和商品y的消費比例可能發生變化

C．效用增加一倍

D．如果偏好是凸性的，他一定會增加x的消費

【答案】B

【解析】如果他的收入增加一倍，兩種商品價格保持不變，則他的預算約束線會向外移動。ABD三項，如果其中一種商品是劣等品，且偏好是凸性的，則收入增加并不會使這種商品的消費量增加，同時也決定了兩者商品的消費比例可能會發生變化；C項，在其效用函數未知的情況下，無法判斷他是否會增加或減少某種商品的消費，也無法計算其效用的增減程度。

7．下列說法正確的是（　　）。

A．消費者均衡點一定要在預算集的邊界上

B．消費者均衡點可以在預算集的邊界上，也可以在預算集的內部，視無差異曲線的具體形狀而定

C．消費者均衡點應該在預算集的內部，因為保留一部分貨幣也可以帶來效用

D．只有在商品完全替代時，消費者均衡點才可能位于角點上

【答案】A

【解析】A項，當偏好滿足局部非飽和性的假設時，消費者均衡點一定位于預算線上；BC兩項，無論是哪種類型的無差異曲線，均衡點都在預算線的邊界上；D項，在擬線性偏好中，當收入很少，無法購買兩種商品中的其中一種時，消費者均衡也位于角點上。此時，兩種商品并不存在完全替代關系。

8．假定消費者的收入為50元，商品x的單位價格為5元，商品y的單位價格為4元。消費者計劃購買6單位的x和5單位的y商品，商品x、y的邊際效用分別為60和30。如果要得到最大效用，他應該（　　）。

A．增加x和減少y的購買量

B．增加y和減少x的購買量

C．同時減少x和y的購買量

D．同時增加x和y的購買量

【答案】A

【解析】消費者效用最大化條件為：

（這里k為不變的貨幣的邊際效用）。由已知可得5×6＋4×5＝50，即消費者花費掉了其全部的收入。同時有：

即有：

又因為邊際效用是遞減的，所以為了使

必須增加x的購買量，同時減少y的購買量。

9．某消費者消費商品x和商品y，效用函數為

商品x的價格記為P_x，商品y的價格記為P_y。他有足夠的收入至少能消費一種商品，當他選擇最優消費束的時候，那么（　　）。

A．預算線必須與無差異曲線相切

B．他一定只消費x

C．如果超過他的收入，他只消費y

D．如果，他一定選擇每種商品都消費一些

【答案】C

【解析】無差異曲線，預算線為：

根據無差異曲線的形狀得知，最佳選擇只可能是兩個，一個是預算線與縱軸的交點，此時只消費y；另一個則是對應的無差異曲線與預算線相交的點。比較兩點對應的效用，可知C項正確。

10．某消費者對商品1和商品2的效用函數為，則在該消費者看來，兩種商品屬于（　　）。

A．不完全替代

B．完全互補品

C．替代比例為1：3

D．替代比例為3：1

【答案】B

【解析】該消費者的效用函數如圖5-2所示。對于此效用函數，最佳的消費組合為，即兩種商品（x₁，x₂）必須按照固定的比例（1，3）同時被消費，所以應該屬于完全互補品。

圖5-2　消費者的效用函數

三、計算題

1．某消費者消費三種商品，效用函數為

若該消費者收入m＝100，三種商品p₁＝1，p₂＝2，p₃＝1，求消費者的最優選擇。

解：首先討論x₂、x₃的需求量，兩者是完全替代的，因為，則消費者不會消費商品2。

此時效用函數可以改寫為：

由效用最大化的條件可得：

解得：。

又因為m＝100，p₁＝1，p₃＝1，所以x₁＝99.75。

因此消費者的最優選擇為：（99.75，0，0.25）。

2．假設政府對一個每月收入$400的貧困家庭進行補貼。補貼方案有三種：一、政府允許該家庭購買$400的食品券，單位美元食品券的價格為$0.5；二、政府直接發放給該家庭$200的食品券補貼；三、政府直接發給該家庭$200的貨幣補貼。嘗試畫出該家庭的無差異曲線，解釋該家庭的最優消費決策，并據此對比分析這三種方案的優劣。

解：如圖5-3所示，用橫軸表示花費在食品上的貨幣數量，用縱軸表示花費在其他商品的費用，建立坐標系。初始預算線為CD。

圖5-3　三種方案的優劣比較

第一種補貼方案下，意味著家庭可以用$200購買$400的食品劵，因此預算線變為折線CE₁B，最優選擇為E₁點，效用水平為U₁。

第二種補貼方案下，政府直接發放給該家庭$200的食品券補貼，預算線變為折線CE₂B（E₁點在折線CE₂B上），最優選擇為E₂點，效用水平為U₂。

第三種補貼方案下，由于現金補貼沒有使用上的約束（可以購買任意商品），政府直接發放給家庭的$200貨幣補貼將使得預算線平行向右移動$200，預算線變為AB，該預算線經過E₁和E₂點。此時，最優選擇為E₃點，表明家庭更偏向于消費其他商品。

由上述分析可知，對于這個家庭來說，第三種方案最好，第二種方案次之，第一種方案最差。

3．小王的效用函數為

已知他的收入為m，p_x＝p，p_y＝1。

（1）寫出小王對x、y的需求函數；

（2）如果m＝3，p_x＝0.5他的需求是多少？如果m＝3，p_x＝1，他的需求是多少？

（3）小王的福利因p_x的上漲上升了還是下降了，為什么？

解：（1）無差異曲線，即是凹的，所以最優化問題的解是角點解。

預算線方程是，從而，代入效用函數，得：

即為u（x），要求u（x）在時的極大值，應在端點處取到，

當，即，u（x）在取極大值，此時y＝m。

當，即，u（x）在取極大值，此時y＝0。

當，即，u（x）在兩個端點處的效用是相等的。

即有：，，；，，。

（2）由，所以，，。

由，所以，，。

（3）這種價格上漲使得小王的福利下降。價格上漲而收入不變，預算線要向內移動，其他條件不變的情況下，效用減小。本題中角點為最優解，價格上漲也導致預算線與橫軸和縱軸的截距變小，從而效用減少。

4．假設x和y商品的效用函數為，計算x和y的馬歇爾需求函數，并描述收入I或其他商品價格變化怎樣使x和y的需求曲線發生變化。

解：設x和y的價格分別為p_x和p_y，消費者的收入為I，由效用函數及預算約束函數聯立構造拉格朗日函數為：

效用最大化的一階條件為：

聯立上述方程可求得x和y的馬歇爾需求函數分別為：

根據需求函數可以判斷，當收入I增加時，在價格不變的情況下x和y的需求量都會增加，因此它們的需求曲線都會向右移動（需求量為橫坐標）。相反，當收入I下降時，在價格不變的情況下x和y的需求量都會減少，因此它們的需求曲線都會向左移動。

y的價格對x的需求曲線沒有影響，而x的價格對y的需求曲線有影響。具體來說就是，當x的價格上升時，在收入不變的情況下，y的需求量增加，因此y的需求曲線向右移動，而當x的價格下降時，在收入不變的情況下，y的需求量減少，因此y的需求曲線向左移動。

5．假設存在一個社會，這個社會由三個消費者組成，他們分別是：1，2，3，同時該社會存在著兩種商品，分別是x和y。經濟學家Debreu對這三個消費者的消費行為進行分析，他認為1，2，3的偏好可以分別用如下的效用函數來表示：

1：；

2：，其中，；

3：，其中。

（1）請畫出消費者1的無差異曲線以及偏好的上等值集；

（2）假如商品x和商品y的價格分別是2單位貨幣和3單位貨幣，同時消費者1擁有120單位貨幣，試計算他對x和y的最優消費量；

（3）證明：消費者2和消費者3的偏好是一致的；

（4）現在假設商品x和商品y的價格分別是P₁和P₂，消費者2擁有I單位貨幣。請計算他的消費選擇。

解：（1）令效用等于常數，x和y的關系即為消費者的無差異曲線。消費者1的無差異曲線及上等值集如圖5-4所示：

圖5-4　無差異曲線以及偏好的上等值集

（2）消費者的問題可以用下面的數學規劃表示：

效用最大化條件為：

即3y＝2x。代入預算約束方程可得：x＝30，y＝20。

（3）根據效用函數的性質：效用函數的線性變換依然是同一偏好的效用函數。

對消費者2的效用函數進行取自然對數的線性變換，可以得到：

令，，因此

由此可得，消費者2和消費者3的效用函數是同一偏好的效用函數，即消費者2和消費者3的偏好是一致的。

（4）消費者的問題可以用下面的數學規劃表示：

根據C-D效用函數的性質，上述問題等價：

構造拉格朗日函數為：

效用最大化的一階條件為：

從上式可以得到：

6．考察一個存在兩種消費品的世界。這兩種商品分別是X和Y。它們的價格分別為P₁和P₂。消費者W生活中，他的收入為m。W具有如下形式的效用函數：

其中，X₀、Y₀都是大于零的常數。參數a、b均大于零。

（1）證明：W的效用函數等價于：

（2）假設W的收入滿足。根據（1）中新的效用函數，構造Lagrange函數，求W對X、Y的需求函數；

證明：（1）由效用函數的性質知，效用函數的正單調變化依然是表示同一偏好的效用函數。對

進行正單調變換，等式兩邊取對數，得：

令a＝r，b＝1－r即可得：

因為U（X，Y）等價于InU（X，Y），所以W的效用函數等價于：

即得證。

（2）由題意，消費者最優化問題如下：

因而，構造的Lagrange函數為：

一階條件為：

解得W對X、Y的需求為：

7．以柯布—道格拉斯效用函數為例說明求解效用最大化問題和求解支出最小化問題可以得到同一需求函數。

解：（1）如果消費者的效用函數為柯布—道格拉斯效用函數，那么他的效用最大化問題可以描述為：

構造該問題的拉格朗日函數：

拉格朗日函數對x₁、x₂和分別求偏導得：

　①

　②

　③

從①式和②式中消去后得：

　④

把④式代入③式中解得：

　⑤

把⑤式代入④式中解得：

　⑥

⑤⑥兩式就是與柯布—道格拉斯效用函數相對應的馬歇爾需求函數，把它們代入目標函數式中，就得到了間接效用函數：

（2）消費者的支出最小化問題為：

構造該問題的拉格朗日函數：

拉格朗日函數對x₁、x₂和分別求偏導得：

　①

　②

　③

從①式和②式中消去后得：

　④

把④式代入③式中解得商品1的希克斯需求函數為：

　⑤

把⑤式代入④式中解得商品2的希克斯需求函數為：

　⑥

把⑤，⑥兩式代入目標函數式中，就得到了消費者的支出函數：

（3）下面來驗證問題的結論：對柯布—道格拉斯效用函數而言，求解效用最大化問題和求解支出最小化問題可以得到同一需求函數。

把間接效用函數的表達式代入商品1和2的希克斯需求函數中，就得到了它們的馬歇爾需求函數：

把支出函數的表達式代入商品1和2的馬歇爾需求函數中，就得到了它們的希克斯需求函數：

由此可知，對柯布—道格拉斯效用函數而言，求解效用最大化問題和求解支出最小化問題可以得到同一需求函數。

8．假定消費者的收入為m，他要消費兩種商品1和2，其價格分別為p₁和p₂。這個消費者的效用函數為

其中x₁和x₂分別為這兩種商品的消費量，請計算消費者的消費決策。

解：由效用函數得，，邊際替代率

可見隨著x₁的增加邊際替代率的絕對值是增加的，所以不能根據消費者均衡條件去求效用最大化時的消費組合（最大化的二階條件不滿足），此時效用最大化的點只能在預算線上的兩個端點處獲得。

可計算得出，當消費者把所有的收入都用于購買商品1時，效用為，當消費者把所有的收入都用于購買商品2時，效用為。因此，當時，消費者把所有的收入都用于購買商品1；當時，消費者把所有的收入都用于購買商品2；當時，消費者既可選擇把所有的收入都用于購買商品1，也可以選擇把所有的收入都用于購買商品2。