第4章　多元方差分析

4.1　什么是多元方差分析

根據統計知識，我們知道考查某門學科男女生的平均成績在總體上是否存在差異時，可用t檢驗。若要比較該學科中三個或者三個以上不同能力水平組的學生的平均成績是否存在差異時，可用方差分析（ANOVA）來解決。在方差分析中，有因變量、自變量之分，其中因變量只有一個，而自變量可根據研究需要設定1個或多個。但是現有的研究中往往存在2個以上的因變量，需要同時對一個或多個自變量進行考查。這時應該用什么方法？例如，利用強迫行為與強迫思維兩個指標來考查強迫癥患者接受心理治療方式的效果。在這一研究中，因變量有兩個，強迫行為與強迫思維分數；自變量一個，即患者接受的治療方式，認知行為治療（CBT）組、行為治療（BT）組與無治療（NT）組。如果分別對強迫行為與強迫思維做單因素的方差分析，則會增加犯Ⅰ類錯誤的風險。所謂Ⅰ類錯誤，是指明明組平均值不存在差異，卻被誤判為有差異。通常我們把犯Ⅰ類錯誤的概率控制在0.05以內，即α=0.05。倘若同時進行兩個因變量關于同一自變量的方差分析時，Ⅰ類錯誤的概率值為：

顯然犯Ⅰ類錯誤的概率增加了近一倍。另外，強迫行為與強迫思維的測試結果往往存在某種程度的關聯，這種關聯是否會影響方差分析的結果？這個問題方差分析是無法回答的。于是統計學家提出了同時處理多個因變量的方差分析，即多元方差分析（multivariate analysis of variance, MANOVA）。它是方差分析的推廣，在醫學、心理學、教育學等多個學科研究中應用非常普遍。

多元方差分析與方差分析的一個主要區別在于因變量的個數，相應地檢驗統計量的結構也是不同的。兩者的相同之處有，一是對變量的尺度水平要求一致，因變量需是連續變量、自變量則是分類變量；二是兩者都可以根據需要選擇自變量個數。當只有一個自變量時，稱為one-way MANOVA。若有多個自變量，則還要考慮自變量間的交互作用。類似協方差分析，如果在多個因變量中需要控制一個或少數變量的影響時，可以將MANOVA推廣到多元協方差分析（MANCOVA）。SPSS等統計軟件均可實現上述分析，只是對實驗的設計與統計結果的解釋需要更強的理論知識和實際經驗。表4.1是多元方差分析與相關的方差分析、協方差分析、多元協方差分析的對照表。

表4.1　多元方差分析與方差分析、協方差分析整理表