2.2　協(xié)方差分析的統(tǒng)計前提與檢驗統(tǒng)計量的推導(dǎo)

根據(jù)2.1小節(jié)的介紹，我們知道協(xié)方差分析是方差分析的推廣，即調(diào)整因變量方差后再來檢驗各組平均值是否相等，或者組間效應(yīng)是否為0。為了推導(dǎo)檢驗統(tǒng)計量，我們先介紹該方法的相關(guān)假設(shè)。

2.2.1　協(xié)方差分析的相關(guān)假設(shè)

協(xié)方差分析的相關(guān)假設(shè)歸納起來主要有五條：

（1）線性關(guān)系：因變量與協(xié)變量均為連續(xù)變量，兩者之間存在線性相關(guān)關(guān)系；

（2）獨(dú)立性：協(xié)變量與自變量相互獨(dú)立；

（3）回歸系數(shù)的同質(zhì)性：各處理組關(guān)于協(xié)變量的斜率相等；

（4）正態(tài)性：要求誤差項獨(dú)立且服從正態(tài)分布，即εi～N（0，σ2）；

（5）方差同質(zhì)性：各處理組的誤差方差相等。

觀察這五項假設(shè)，第四、五兩項是方差分析的假設(shè)，是保證方差分析表中的均方（MS）之比服從F分布的前提，而前三項則是協(xié)方差分析特有的。第一項要求因變量與協(xié)變量有一定的線性相關(guān)，也就是公式（2.1）中協(xié)變量的回歸系數(shù)β不等于0，這樣協(xié)方差分析才有存在的意義。在協(xié)方差分析中可以查看回歸系數(shù)是否等于0的假設(shè)檢驗。第二項要求協(xié)變量獨(dú)立于自變量，也就是說協(xié)變量的變化不受各種處理或分組的影響。在心理學(xué)研究中往往會忽視這個假設(shè)，對此Miller和Chapman（2001）有一個頗為詳細(xì)的介紹。如何確認(rèn)協(xié)變量與自變量是獨(dú)立的，可先通過方差分析——將協(xié)變量作為因變量，對自變量各組進(jìn)行組間平均值是否相等的檢驗，也可查看兩者間的相關(guān)系數(shù)。如果檢驗結(jié)果接受原假設(shè)，則可進(jìn)行下一步的協(xié)方差分析。第三項的要求是指在自變量J個水平上回歸系數(shù)需相等（β1=β2=……=βj），即各組的回歸線必須相互平行，因為只有這樣才能保證組間的距離是穩(wěn)定的。這是協(xié)方差分析中非常重要的假設(shè)，如不滿足這個假設(shè)，就無法對調(diào)整后的組間平均值進(jìn)行比較（參見圖2.2）。第三項的假設(shè)檢驗需要先做一個協(xié)方差分析的預(yù)分析來檢驗協(xié)變量與自變量是否存在交互作用，具體操作將在下文介紹。若檢驗結(jié)果確定兩者不存在交互作用，即可進(jìn)行正式的協(xié)方差分析。

2.2.2　調(diào)整后的檢驗統(tǒng)計量

協(xié)方差分析就是檢是否為0。回想單因素方差分析的差異性檢驗，是通過把因變量的總變異分解成組間與組內(nèi)變異后導(dǎo)出統(tǒng)計量而得到的。既然協(xié)方差分析是方差分析的推廣，其統(tǒng)計檢驗量也類似于F統(tǒng)計量。為了消除協(xié)變量的影響，設(shè)是Y關(guān)于X的回歸預(yù)測值：

Y與之差，即Yij（adj）就是Y的關(guān)于X上的線性回歸分析中的誤差變量：

在此基礎(chǔ)上的單因素協(xié)方差分析就是對Yij（adj）進(jìn)行單因素方差分析。表2.1是Yij（adj）的方差分析表。

表2.1　Yij（adj）的方差分析表

注：協(xié)方差分析中自由度比方差分析少1，J為組數(shù)，n為每組的樣本量。

從表2.1可知，若導(dǎo)就可以進(jìn)行協(xié)方差分析的F檢驗。根據(jù)方差分析知識，Y,X的總離差平方和可分為兩類：組內(nèi)與組間離差平方和。

Y的總離差平方和

組內(nèi)離差平方和

組間離差平方和

且

在計算時，離差平方和還可表示成

其中，NT是總?cè)藬?shù)。同理，協(xié)變量X也可這樣分解：

由于SSY（adj）中帶有協(xié)變量X，存在Y與X共同變化的部分，即

我們稱為叉積和（sum of cross products）。在計算時，叉積和也可表示成

SCT還可分解為組間部分與組內(nèi)部分：

由于Yij（adj）是Y的誤差變量，它的離差平方和為Y的變異中不能用X說明的剩余部分，即

其是X, Y的相關(guān)系數(shù)的平方，在線性回歸分析中就是決定系數(shù)，表示由X引起的變異在Y變異中所占的比例。于是SSY（adj）可變形為

調(diào)整后的組內(nèi)或組間離差平方和的計算思想與Yij（adj）也很類似，即從因變量Y的組內(nèi)離差平方和中除去協(xié)變量的影響。首先我們定義X, Y的組內(nèi)相關(guān)系數(shù)

它的平表示Y的組內(nèi)變異中由X引起的比例。于是調(diào)整后的組內(nèi)離差平方和SSW（adj）可以表示成

或者

調(diào)整后組間離差平方和SSB（adj）直接由下式得到

公式（2.5）還可進(jìn)一步展開為

這樣，表2.1中三個調(diào)整后的離差平方和分別由公式（2.5）或（2.6），（2.3），（2.4）表示。下面我們利用表2.2的模擬數(shù)據(jù)，來觀察一下上述統(tǒng)計量的數(shù)值計算。Y, X分別是因變量與協(xié)變量，都是連續(xù)變量，自變量有A, B，C三個水平，選取24名被試隨機(jī)分配到各水平。

表2.2　模擬數(shù)量

注：Y*X表示Y與X數(shù)值的乘積。

分別利用Y的總離差平方和

組內(nèi)離差平方和

組間離差平方和

算得SSY=859.83，SSWY=607.26，SSBY=252.57。同理，也可得到協(xié)變量X的離差平方和：SSX=335.96，SSWX=334.64，SSBX=1.32。

表2.3　Y的離差平方和計算結(jié)果

表2.4　Y與X之和、乘積和的數(shù)據(jù)一覽表

應(yīng)用表2.4結(jié)果，計算總分叉積和得

同樣，計算各組的叉積和：

組內(nèi)叉積和為各組叉積和的總和：

到此為止，所需要的數(shù)據(jù)已基本準(zhǔn)備好，列于表2.5內(nèi)。

表2.5　X, Y的離差平方和與叉積和

根據(jù)表2.5的數(shù)據(jù)，利用公式（2.3），得

利用公式（2.4），得

調(diào)整后組間離差平方和直接由公式（2.5）得到

將以上結(jié)果匯于表2.6。

表2.6　模擬數(shù)據(jù)協(xié)方差分析的數(shù)據(jù)表