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第2章 協(xié)方差分析

2.1 什么是協(xié)方差分析

在研究過(guò)程中,常常會(huì)遇到以下各種情形:比較兩種教學(xué)法的效果時(shí),需要考慮到學(xué)生原來(lái)學(xué)習(xí)水平的影響;比較不同安眠藥的效果時(shí),需要排除被試體重的影響;比較不同車型的駕駛難度時(shí),不能忽視駕駛員經(jīng)驗(yàn)的影響等。這類研究有兩個(gè)特點(diǎn):一是存在一個(gè)或數(shù)個(gè)與因變量共同變化的連續(xù)變量。這些變量雖然不是本次研究的對(duì)象,但是無(wú)法忽視,因?yàn)樗鼈兣c因變量有一定的關(guān)聯(lián),在本章中我們稱之為協(xié)變量(covariate)。二是研究的最終目的是要了解自變量對(duì)因變量的影響。這就是本章協(xié)方差分析(analysis of covariance, ANCOVA)的主要內(nèi)容。

根據(jù)以往的知識(shí),若要了解協(xié)變量是怎樣影響因變量的,可以用回歸分析。如圖2.1(a)所示,分別表示組1與組2的因變量Y在協(xié)變量X上的回歸直線。若想知道是否存在組間差異,可用方差分析。圖2.1(b)是不考慮協(xié)變量X的影響時(shí),用方差分析比較兩組因變量的平均值有無(wú)顯著差異的示意圖,圖中表示兩組因變量的平均值。

圖2.1(a)回歸分析示意圖

圖2.1(b)方差分析示意圖

當(dāng)需要考慮協(xié)變量的影響時(shí),應(yīng)該如何比較組間平均值呢?最直接的思路是將回歸分析與方差分析結(jié)合起來(lái)(圖2.2)。在協(xié)變量X、因變量Y組成的平面直角坐標(biāo)系內(nèi),表示組1數(shù)據(jù)的重與組2的重在y軸上的垂直距離,其分別是兩組關(guān)于X變量的平均值。是否等于0,用方差分析可以求得。而則表示將兩組重心的橫坐調(diào)整到總平均處后兩點(diǎn)間在y軸上的垂直距離。請(qǐng)讀者留意此時(shí),兩條回歸線必須平行,才能保是常量。如果兩條回歸線不平行,將隨X的變化而變化,其差值就不是常量了。由圖2.2可知,協(xié)方差分析是回歸分析與方差分析的結(jié)合體——控制了協(xié)變量影響后的方差分析。

圖2.2 協(xié)方差分析示意圖

用數(shù)學(xué)公式來(lái)表達(dá),因變量Y可寫作

分別是因變量Y、協(xié)變量X、隨機(jī)誤差ε在第j個(gè)水平上的第i個(gè)觀察值(i=1,2,……,I;j=1,2,……,J)。μ是Y的平均值,αj是第j個(gè)水平上的自變量A的主效應(yīng),β是X的斜率。這里,Y, X是連續(xù)變量,自變量A是離散變量或分組變量。另外,式中要求X的斜率β不受組別影響,即不論哪一組j,β是相同的。圖2.2中兩組數(shù)據(jù)的回歸線平行,就符合這個(gè)要求。

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