第2章　協(xié)方差分析

2.1　什么是協(xié)方差分析

在研究過程中，常常會遇到以下各種情形：比較兩種教學法的效果時，需要考慮到學生原來學習水平的影響；比較不同安眠藥的效果時，需要排除被試體重的影響；比較不同車型的駕駛難度時，不能忽視駕駛員經(jīng)驗的影響等。這類研究有兩個特點：一是存在一個或數(shù)個與因變量共同變化的連續(xù)變量。這些變量雖然不是本次研究的對象，但是無法忽視，因為它們與因變量有一定的關(guān)聯(lián)，在本章中我們稱之為協(xié)變量（covariate）。二是研究的最終目的是要了解自變量對因變量的影響。這就是本章協(xié)方差分析（analysis of covariance, ANCOVA）的主要內(nèi)容。

根據(jù)以往的知識，若要了解協(xié)變量是怎樣影響因變量的，可以用回歸分析。如圖2.1（a）所示，分別表示組1與組2的因變量Y在協(xié)變量X上的回歸直線。若想知道是否存在組間差異，可用方差分析。圖2.1（b）是不考慮協(xié)變量X的影響時，用方差分析比較兩組因變量的平均值有無顯著差異的示意圖，圖中表示兩組因變量的平均值。

圖2.1（a）回歸分析示意圖

圖2.1（b）方差分析示意圖

當需要考慮協(xié)變量的影響時，應該如何比較組間平均值呢？最直接的思路是將回歸分析與方差分析結(jié)合起來（圖2.2）。在協(xié)變量X、因變量Y組成的平面直角坐標系內(nèi)，表示組1數(shù)據(jù)的重與組2的重在y軸上的垂直距離，其分別是兩組關(guān)于X變量的平均值。是否等于0，用方差分析可以求得。而則表示將兩組重心的橫坐調(diào)整到總平均處后兩點間在y軸上的垂直距離。請讀者留意此時，兩條回歸線必須平行，才能保是常量。如果兩條回歸線不平行，將隨X的變化而變化，其差值就不是常量了。由圖2.2可知，協(xié)方差分析是回歸分析與方差分析的結(jié)合體——控制了協(xié)變量影響后的方差分析。

圖2.2　協(xié)方差分析示意圖

用數(shù)學公式來表達，因變量Y可寫作

式分別是因變量Y、協(xié)變量X、隨機誤差ε在第j個水平上的第i個觀察值（i=1，2，……，I；j=1，2，……，J）。μ是Y的平均值，αj是第j個水平上的自變量A的主效應，β是X的斜率。這里，Y, X是連續(xù)變量，自變量A是離散變量或分組變量。另外，式中要求X的斜率β不受組別影響，即不論哪一組j，β是相同的。圖2.2中兩組數(shù)據(jù)的回歸線平行，就符合這個要求。