1.6　多元正態分布

正如我們在1.3小節里提及的，多元統計分析屬于推論統計的一部分，也需要通過樣本統計量的分布來估計、推測總體參數并進行假設檢驗。因此在本書中，定義多元變量為隨機變量，它們具有隨機變量的一切性質，并且不同特點的多元變量有著不同的分布規律，例如多元正態分布、多元t分布、多元Gamma分布等；其中應用最廣泛、最重要的分布是多元正態分布，它是眾多多元分布的基礎。本書后面用到的很多檢驗統計量，它們的分布都與多元正態分布有關。

先回憶一元正態分布的定義，如果連續型隨機變量X的概率密度函數為

則稱X服從期望為μ、方差為σ2的正態分布，一般記為X～N（μ，σ2）。

正態分布是一族分布（圖1.5），其概率密度函數的曲線隨著期望與方差的不同而不同。如果將隨機變量X標準化為變量Z，則變量Z服從期望為0，標準差為1的標準正態分布，記為Z～N（0，1）。

如果有兩個連續型隨機變量X和Y服從二元正態分布，它們的聯合概率密度函數為

式中

μX與μY分別表示變量X和Y的期望值，σX與σY分別表示變量X和Y的標準差，ρXY表示變量X和Y的相關系數。

圖1.6（a）為變量X和Y的相關系數設為0.5條件下，聯合概率密度函數z=f（x,y）的三維圖。圖1.6（b）為圖1.6（a）的俯視圖，每個橢圓曲線上的概率密度相等。當變量X和Y相互獨立（相關系數為0）時，等概率密度曲線為正圓曲線；當變量X和Y完全相關（相關系數為1）時，等概率密度曲線退化為一條直線（圖1.6（b）中的虛線）。二元正態分布是二元聯合概率分布中最重要的分布。

如果p維隨機變量X=（X1，X2，……，Xp）T服從p元正態分布，則聯合概率密度函數為

一般記為Np（μ，Σ），其中μ=（μ1，μ2，……，μp）T為p個變量的期望值向量，Σ表示p個隨機變量的協方差矩陣，且是p×p階正定對稱矩陣，Σ-1，｜Σ｜分別為Σ的逆矩陣與行列式值。

根據上面定義的多元正態分布密度函數，在一定的條件下我們可以求出各個部分變量的邊緣分布、多元變量的樣本平均值分布或者樣本協方差的分布等。

在許多關于多元統計分析的經典書籍里，上述的內容往往置于書本的第1章，因為這些知識是推導多元統計方法的基礎。但考慮到本書的使用對象主要是心理學、教育學等社會科學領域的學生或工作者，學習目的主要是為了正確應用多元統計方法。我們認為掌握了最基本的概念之后直接學習分析方法是可行的，相關的概率與統計理論知識可以在達到更高水平以后再繼續領會。因此本書中有關多元分布的知識不再展開，有需要的讀者可以參考相關的書籍（Anderson，2003）。