1.5　協(xié)方差矩陣與相關(guān)矩陣

1.5.1　協(xié)方差矩陣

兩個變量之間的樣本協(xié)方差，等于其對應(yīng)觀測值離均值乘積的平均，即

其與分別表示變量X1與X2的一組觀測數(shù)據(jù)的平均值，n為樣本量。

若有p（p≥2）個變量的話，其樣本協(xié)方差S可用下面的矩陣來表示：

式中Xc為（1.4）定義的離均值矩陣，p為變量個數(shù)。S矩陣是對稱矩陣，即

利用（1.6），我們可以算出表1.1（a）中三個變量的協(xié)方差矩陣（參見表1.5（a））。表1.5（a）中對角元素為各個變量的方差、非對角元素就是變量與其他變量間的協(xié)方差。顯然對角線兩邊的協(xié)方差對應(yīng)相等（例如，右上角語文與英語的協(xié)方差為24.25，左下角英語與語文的協(xié)方差同樣為24.25），故協(xié)方差矩陣常用下三角式表示（表1.5（b））。

表1.5（a）多元變量數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣

表1.5（b）三角式的協(xié)方差矩陣

但是統(tǒng)計軟件SPSS輸出協(xié)方差矩陣時，無偏協(xié)方差矩陣是其默認值。表1.1（a）中數(shù)據(jù)的無偏協(xié)方差矩陣如表1.6所示。樣本量較小時，方差（或協(xié)方差）與無偏方差（或無偏協(xié)方差）略有差異，當樣本量足夠大時，則基本一致。

表1.6　多元變量數(shù)據(jù)的（無偏）協(xié)方差矩陣

1.5.2　相關(guān)系數(shù)矩陣

兩個隨機變量X和Y的協(xié)方差可以反映這兩個變量相關(guān)變化的趨勢。但是協(xié)方差受到諸變量測量單位的影響，其數(shù)值無法比較大小。統(tǒng)計學中將樣本協(xié)方差除以兩個變量的標準差之積，稱為樣本的積差相關(guān)系數(shù)（product-moment coefficient of correlation，簡稱為相關(guān)系數(shù)），標記為rXY，即

相關(guān)系數(shù)是沒有單位的數(shù)（scale），下限為-1，上限為1。相關(guān)系數(shù)大于0時，常稱兩變量為正相關(guān)，反之則稱為負相關(guān)；相關(guān)系數(shù)為0時，稱兩變量無相關(guān)。

如果用x表示變量X的n個離均值構(gòu)成的向量，用y表示變量Y的n個離均值構(gòu)成的向量，則式（1.7）中各項可表示為

將式（1.8a, b，c）代入式（1.7），則

式中θXY為向量x與y之間的夾角。從而可知，對于中心化的數(shù)據(jù)，相關(guān)系數(shù)也可視為兩個隨機變量構(gòu)成的向量間夾角的余弦函數(shù)。

如果有p（p≥2）個標準化變量，則樣本相關(guān)系數(shù)矩陣R為

式中Z為式（1.5）定義的標準分矩陣。各變量自身的相關(guān)均為1。比較式（1.10）與（1.6）可知，相關(guān)系數(shù)矩陣與其標準化變量的協(xié)方差矩陣是一致的，即

相關(guān)系數(shù)=標準分的協(xié)方差。

例如，表1.1（a）的變量間相關(guān)系數(shù)如表1.7所示，這個表一般稱為相關(guān)系數(shù)矩陣。相關(guān)系數(shù)矩陣中元素是關(guān)于對角線對稱的，通常只標出下三角中的元素。

表1.7　多元變量數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣