浸潤式的數(shù)學(xué)

從根本上說，浸潤式的教學(xué)就是培養(yǎng)孩子的理性思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。培養(yǎng)理性思維能力，是培養(yǎng)學(xué)生社會(huì)責(zé)任感，使其學(xué)會(huì)批判思考的基本環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)思維能力在其中起著獨(dú)特的作用。

從教頭幾年，每天站在講臺(tái)上，面對(duì)著稚嫩的面孔，我能讀出孩子們眼中有對(duì)知識(shí)的渴望、有面對(duì)未知領(lǐng)域挑戰(zhàn)的勇氣，也有對(duì)現(xiàn)實(shí)中的枯燥訓(xùn)練的無奈和不解。作為一名數(shù)學(xué)老師，每一節(jié)課我都迫切地把我所有的知識(shí)毫無保留地傳授給孩子們，但是苦惱也隨之而來，越是用力教，越感覺孩子的學(xué)習(xí)效果給自己帶來的心理落差大。曾經(jīng)有相當(dāng)長的一段時(shí)間，我每天都會(huì)很苦惱，糾結(jié)著“有些知識(shí)方法明明在課堂上講了很多遍，可學(xué)生在解決問題時(shí)還是不能很好地完成”，總會(huì)有學(xué)生不停問我：“我都已經(jīng)很努力了，為什么成績還是提高不了。”時(shí)間長了，在每天的繁重工作中，我把這種情況當(dāng)作了常態(tài)，已經(jīng)習(xí)已為然。

前幾年，有幸進(jìn)入了素質(zhì)班任教數(shù)學(xué)，我開始靜下心來，認(rèn)真思考，應(yīng)當(dāng)教會(huì)孩子們什么？數(shù)量感覺與判斷、數(shù)據(jù)收集與分析、歸納猜想與合情推理、邏輯思考與嚴(yán)密證明、數(shù)學(xué)表示與數(shù)學(xué)交流等，都是其他科學(xué)所不能或者難以培養(yǎng)的思維品質(zhì)。但是，我國數(shù)學(xué)教學(xué)中常常可見“數(shù)學(xué)=邏輯”的觀點(diǎn)，使得數(shù)學(xué)成了干巴巴的邏輯鏈條。目前中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)突出問題是：人們?yōu)榱藨?yīng)試的需要，把數(shù)學(xué)教學(xué)異化為狹隘的解題教學(xué)。而20世紀(jì)下半葉以來，數(shù)學(xué)最大的發(fā)展是應(yīng)用。計(jì)算機(jī)技術(shù)的廣泛使用，使得“數(shù)學(xué)從社會(huì)的幕后走到臺(tái)前”，在某些方面直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值。因此，數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)實(shí)踐方面需要大力加強(qiáng)，數(shù)學(xué)課程要突出知識(shí)的“來龍去脈”。

基礎(chǔ)與創(chuàng)新是正確處理學(xué)習(xí)過程的不可或缺的兩個(gè)方面。既要打好基礎(chǔ)，又要發(fā)展創(chuàng)新的潛能。基礎(chǔ)需要“與時(shí)俱進(jìn)”，不斷整合；創(chuàng)新需要為學(xué)生提供提出問題、獨(dú)立思考和實(shí)踐的空間。形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一，但是數(shù)學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展表明，全盤形式化是不可能的。數(shù)學(xué)正在走出“布爾巴基”的形式化光圈。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項(xiàng)基本要求。但是，數(shù)學(xué)不能過度形式化，將生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維淹沒在形式化的海洋里。因此，應(yīng)該“返璞歸真”，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，“要推理，更要講道理”，通過典型例子的分析，理解數(shù)學(xué)概念和方法。追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把形式化的數(shù)學(xué)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)。

數(shù)學(xué)，帶給孩子們的更多的是理性的思維、有條理的分析，以及尋求問題解決的能力。因而每一節(jié)課把基本概念及原理分析透徹，引導(dǎo)學(xué)生建立正確研究問題的態(tài)度和方法，同時(shí)要適當(dāng)“留白”給學(xué)生思考的空間，讓課堂的熱度可以延續(xù)到課余的時(shí)間。下面以兩個(gè)我課堂上的實(shí)例來說明一下。

實(shí)例一

初一數(shù)學(xué)（人教版）第四章“圖形認(rèn)識(shí)初步”中，在學(xué)生學(xué)習(xí)完立體圖形及展開圖后，會(huì)在“直線、射線、線段”內(nèi)容中學(xué)習(xí)“線段的中點(diǎn)”這一概念。而這是學(xué)生進(jìn)入初中學(xué)習(xí)幾何以來第一個(gè)在幾何推理中經(jīng)常使用的幾何定義，這個(gè)定義的研究方法可以推廣到其他幾何定義中去，因而我設(shè)計(jì)了下面的幾個(gè)環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)1：小學(xué)學(xué)過線段中點(diǎn)嗎？誰能簡單描述一下。

環(huán)節(jié)2：打開教材，找到線段中點(diǎn)的定義：將線段分成兩個(gè)相等線段的點(diǎn)叫線段的中點(diǎn)。

環(huán)節(jié)3：分析定義。

問題1：一個(gè)點(diǎn)需要滿足幾個(gè)條件，才能夠保證它是某條線段的中點(diǎn)？

當(dāng)時(shí)學(xué)生的回答是“分成兩個(gè)相等的線段”，我說沒錯(cuò)。但接著我又提出：“什么叫分成？”引導(dǎo)學(xué)生挖掘出定義的潛臺(tái)詞“只有點(diǎn)在線段上，才可能叫作分成”。

問題2：你能不能畫出已知線段AB的中點(diǎn)C？

當(dāng)時(shí)學(xué)生很快畫完了，我問：“你是怎么畫的？”學(xué)生很干脆地回答用直尺的刻度量的，我回答說很好，接著又問：“剛才的畫圖過程中你的依據(jù)是什么，如何才能保證你所畫的一定是線段中點(diǎn)？”學(xué)生想了想說：“依據(jù)線段中點(diǎn)定義。”然后，我追問一句：“如果請(qǐng)你把剛才你的畫圖過程用數(shù)學(xué)符號(hào)語言來表示的話，比如用‘若……則……’，你會(huì)怎么寫？”

學(xué)生甲：若AC=CB，則C是AB中點(diǎn)。

學(xué)生乙：若AC=1/2AB，則C是AB中點(diǎn)。

我問道：“這兩句話對(duì)嗎？”學(xué)生回答：“對(duì)。”我不死心，追問：“真的嗎？”此時(shí)學(xué)生丙回答：“對(duì)，因?yàn)橛袌D啊。”我笑著說：“那如果沒有圖，這兩句話對(duì)嗎？請(qǐng)你畫圖試一試。”

此時(shí)我問學(xué)生：“為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況？”學(xué)生回答說：“沒有保證點(diǎn)在線段上。”如此引導(dǎo)學(xué)生研究幾何問題必須關(guān)注位置的要求及變化。

問題3：若AC=CB=1/2AB，則C是AB中點(diǎn)。這句話對(duì)嗎？

學(xué)生經(jīng)過動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)是正確的，此時(shí)我告誡學(xué)生：“研究數(shù)學(xué)不要僅憑經(jīng)驗(yàn)去判斷。定義是判斷是與非的途徑之一。”

環(huán)節(jié)4：如圖，已知點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，那么你會(huì)得出哪些結(jié)論？

引導(dǎo)學(xué)生從另一個(gè)角度認(rèn)識(shí)線段中點(diǎn)的定義，即定義除了當(dāng)作判定方法外，還可以當(dāng)作性質(zhì)用。

以上四個(gè)環(huán)節(jié)，只是課堂中的一個(gè)片斷，但卻讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到了該如何研究一個(gè)幾何定義，并且該運(yùn)用什么樣的工具，為學(xué)生后面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

實(shí)例二

按照我的課程設(shè)置，“因式分解”之后學(xué)習(xí)的是“一元二次方程”，但是對(duì)于因式分解到底的問題（尤其是二次三項(xiàng)式）沒有講透，因此在講完一元二次方程解法之后，我又回頭將二次三項(xiàng)式因式分解到底的問題提了出來。在講完這部分知識(shí)之后，有一個(gè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個(gè)因式分解的題不會(huì)解，于是在課堂上我們將這道題拿了出來，問題是這樣的：

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)將x⁵+x⁴+x²+x+2因式分解。

通常情況下可以先試根，但是這道題用這個(gè)方法不太適用，于是我將這個(gè)問題留給了學(xué)生，請(qǐng)他們自行分組研究。

某組學(xué)生（劉曦瑞、羅運(yùn)澤、邵一凡）成果展：

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解x⁵+x⁴+x²+x+2論文

一、因式分解常見方法

提取公因式法、乘法公式法、十字相乘法、分組分解法、拆項(xiàng)添項(xiàng)法等。

二、分析問題

直接運(yùn)用提取公因式法、乘法公式法以及十字相乘法、試根法是行不通的，因此要用分組分解法以及拆項(xiàng)添項(xiàng)法。因此，有三個(gè)方法。

方法一：拆項(xiàng)、添項(xiàng)后直接使用公式，分為兩種情況：

情況一：利用“楊輝三角”可以得到完全五次方和公式：

（x+1）⁵=x⁵+5x⁴+10x³+10x²+5x+1

得到原式=（x+1）⁵-4x⁴-10x³-9x²-4x+1，不便于計(jì)算，暫時(shí)舍去。

情況二：立方和公式：原式=x²（x³+1）+x（x³+1）+2，舍去。

方法二：添上負(fù)項(xiàng)后因式分解：又分為兩種情況：

情況一：完全五次方差公式，同方法一，暫時(shí)舍去。

情況二：立方差公式：

x⁵-x²+x⁴-x+2x²+2x+2

=x²（x³-1）+x（x³-1）+2（x²+x+1）

=x²（x-1）（x²+x+1）+x（x-1）（x²+x+1）+2（x²+x+1）

=（x²+x+1）（x³-x+2）

方法三：用待定系數(shù)法設(shè)出分解：

情況一：

（x³+ax+1）（x²+bx+2）

=x⁵+bx⁴+（2+a）x³+（ab+1）x²+（2a+b）x+2

情況二：

（x³+ax+2）（x²+bx+1）

=x⁵+bx⁴+（1+a）x³+（ab+2）x²+（a+2b）x+2

綜上，我們可以得到x⁵+x⁴+x²+x+2=（x²+x+1）（x³-x+2）。

三、驗(yàn)證是否分解到底

（1）驗(yàn)證x²+x+1是否因式分解到底：

Δ=1²-4=-3<0，所以x²+x+1已經(jīng)分解到底。

（2）x³-x+2不知道是否可以繼續(xù)分解，因此利用幾何畫板作函數(shù)圖像：

我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)三次項(xiàng)有一個(gè)根，但主要問題就是把它用根式的形式表現(xiàn)出來。

這時(shí)需要一元三次方程求根公式，所以我們在網(wǎng)上把一元三次方程的求根公式找出來，然后代入計(jì)算。因?yàn)樵教珡?fù)雜，而x3-x+2中又沒有二次項(xiàng)b=0，故將簡化后公式給出：

原式中a=1，c=-1，d=2，所以:

此時(shí)我們得到了方程x³-x-2=0的一個(gè)根，所以將它因式分解后其中一個(gè)因式是

。

接著用待定系數(shù)法來解決，方便起見，設(shè)為

=m，另一個(gè)二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為n。

經(jīng)過驗(yàn)證，將m=n代進(jìn)2/m-mn=-1中也成立。

綜上，因式分解x⁵+x⁴+x²+x+2的結(jié)果是：

雖然在過程中難免有小的紕漏和不嚴(yán)謹(jǐn)，但學(xué)生的學(xué)習(xí)能力讓我感到震撼。因?yàn)槲抑皇墙探o孩子們方程與代數(shù)式之間的基本關(guān)聯(lián)，教給孩子們可以設(shè)未知數(shù)解決問題，只是在他們研究不下去的時(shí)候給過一些建議，而他們并沒有學(xué)過函數(shù)的知識(shí)，全靠孩子們在課下自學(xué)，這不正是課堂學(xué)習(xí)的延續(xù)嗎？或許，數(shù)學(xué)的浸潤式教育也應(yīng)該體現(xiàn)在這里。

數(shù)學(xué)組
馮娜