§0.2　函數

1.函數的定義

定義1　設x和y為兩個變量，D為一個給定的數集，若對于每一個x∈D，按照一定的法則f，變量y總有唯一確定的數值與之對應，就稱y為x的函數，記為y=f（x）.數集D稱為該函數的定義域，x叫做自變量，y叫做因變量.

當x取數值x0∈D時，依法則f的對應值y0稱為函數y=f（x）在x=x0時的函數值，并記作f（x0）.所有函數值組成的集合W={y|y=f（x），x∈D}稱為函數y=f（x）的值域.

例1　確定下列函數的定義域.

解　（1）要使函數有意義，必須滿足4-x2≠0且x+2≥0，即x≠±2且x≥-2，因此函數的定義域為（-2，2）∪（2，+∞）.

（2）要使函數有意義，必須滿足，即-4≤x≤2，因此函數的定義域為[-4，2].

例2　函數，求其定義域和值域.

解　函數的定義域為（0，1]∪[-1，0）=[-1，1].

當x∈（0，1]時，y∈（0，1]；當x=0時；當x∈[-1，0）時，y∈（1，2]；所以函數y的值域是（0，2].

例3　設，求它的定義域和f（1），f（3），f（x-1）.

解　函數y=f（x）的定義域為[0，2]∪（2，+∞）=[0，+∞）；f（1）=1+2=3；

2.函數的表示法

表示函數關系的方法通常有三種：解析法、列表法和圖像法，三種表示函數的方法各有優缺點.

（1）解析法，即借助于數學表達式來表示兩個變量之間的函數關系.解析法簡單明了，但在求函數值有時較復雜，上面的例子和引例1均為解析法.

（2）列表法，即把函數自變量的取值和其相對應的函數值用一個表格來列出表示.引例2用的是列表法.這種表示函數的方法便于查詢函數值，但由于很多函數的自變量取值無法全部列出而導致函數值不完備，且從表中不能直接看出變量間的對應規律，所以局限性較大.

（3）圖像法。引例3用的是圖像法.圖像法形象直觀，易于研究函數的性態，但函數值不精確.

函數的三種表示方法各有其優缺點，高等應用數學中使用解析法較普遍.有時，根據不同的問題與需要，靈活地采用不同的方法.在實際中，經常把這三種方法結合起來使用，即由已知的函數解析式，列出自變量與對應的函數值的表格，再畫出它的圖像.

3.函數關系的建立

在實際中，很多問題都要用函數的知識來研究，人們要用函數的方法來表示工程技術、生產生活、經濟管理中的各種問題，也就是要建立起變量之間的函數關系.首先看以下幾個例題.

例4　銷售總收入與年產量的關系問題.

某工廠生產某種產品，年產量為x，每臺售價250元，當年產量為600臺以內時，可以全部售出，當年產量超過600臺時，經廣告宣傳又可再多售出200臺，每臺平均廣告費20元，如果再多生產，則本年度就售不出去了，建立本年的銷售總收入R與年產量x的函數關系.

解　（1）當0≤x≤600時，R=250x.

（2）當600<x≤800時，R=250x-20（x-600）=230x+1.2×104.

（3）當x>800時，R=800×250-20×200=1.96×105

例5　無蓋圓柱形鍋爐的總造價問題.

某工廠要生產一個容積為50m3的無蓋圓柱形鍋爐，鍋爐底部材料造價為周圍材料造價的兩倍，并知周圍材料造價為k元/m2，試求總造價S與鍋爐底半徑r的函數關系式.

解　因為無蓋圓柱形鍋爐容積V=50m3，設鍋爐的高為h（如圖0-3），則有V=πr2h=50，從而有.

已知鍋爐底部材料造價為周圍材料造價的兩倍，而周圍材料造價為k元/m2，則底部材料造價為2k元/m2，根據圓面積及圓柱側面積公式，總造價為

即 ，這就是總造價S與鍋爐底半徑r的函數關系式.

例6　防空洞的截面積與矩形底寬的關系.

某防空洞的截面是矩形加半圓，周長為l，試把截面積表示為矩形底寬x的函數.

解　如圖0-4，防空洞的截面積A由矩形和半圓兩部分組成，其面積分別為.

故防空洞的截面積A與矩形底寬x的函數關系式是　.

4.函數的幾種特性

（1）奇偶性

定義2　給定函數y=f（x）（x∈D），D為對稱于原點的數集.

若對任意x∈D，有f（-x）=f（x）恒成立，就稱f（x）為偶函數.

若對任意x∈D，有f（-x）=-f（x）恒成立，就稱f（x）為奇函數.

對于偶函數，由于f（-x）=f（x），因此，偶函數的圖形關于y軸對稱；同理，奇函數的圖形關于原點對稱.

（2）單調性

定義3　設函數f（x）在區間I上有定義，若對任意兩點x1，x2∈I，當x1<x2時總有：f（x1）<f（x2），就稱f（x）在I上單調遞增；f（x1）>f（x2），就稱f（x）在I上單調遞減.

（3）周期性

定義4　設函數f（x）的定義域為D，若存在l≠0，對于任意的x∈D，有x±l∈D，使得f（x+l）=f（x）恒成立，就稱f（x）為周期函數.滿足上述條件的l中最小的正數稱為函數的最小正周期，簡稱為周期.

例如，y=sinx是周期為2π的周期函數.函數tanx是以π為周期的周期函數.

（4）有界性

定義5　設函數（a，b）在區間（a，b）內有定義，若存在一個正數M，對任意的x∈（a，b），恒有|f（x）|≤M，則稱函數f（x）在區間（a，b）上有界，否則稱為無界.

例如，y=sinx在（-∞，+∞）上有界，因為對任何實數x，恒有|sinx|≤1；函數在（0，1）內是無界的，但在[1，+∞）上是有界的.由此可見，如果說某個函數是有界函數或無界函數必須指明所考慮的區間.

5.反函數

定義6　設有函數y=f（x），其定義域為D，值域為M，且函數y=f（x）中的f為一一對應.如果對于M中的每一個y值，都可從關系式y=f（x）中找到確定的x值（x∈D）與之對應，那么由此所確定的以y為自變量的新函數叫做y=f（x）的反函數，記為x=φ（y）或x=f-1（y），它的定義域為M，值域為D.這里指出

（1）函數x=φ（y）的定義域為M，值域為D.

（2）習慣上，函數的自變量都以x表示，所以，反函數一般都表示為y=f-1（x）.

（3）在同一直角坐標系中，函數y=f（x）的圖形與反函數y=f-1（x）的圖形關于直線y=x對稱（如圖0-5所示）.