第一節(jié)　檢測數(shù)據(jù)有效位數(shù)的合理性

數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性一般也包括合理性的內(nèi)容，但準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)不一定全合理，準(zhǔn)確性是對(duì)誤差而言，合理性是對(duì)符合實(shí)際要求和規(guī)定而言。

數(shù)據(jù)的合理性包括兩方面的內(nèi)容：一是數(shù)據(jù)有效位數(shù)的取舍要符合數(shù)字修約標(biāo)準(zhǔn)GB/T 8170的有關(guān)規(guī)定，運(yùn)算過程要符合有效位數(shù)運(yùn)算規(guī)則，正確取位；二是檢測過程所得數(shù)據(jù)的有效位數(shù)，一定要與試驗(yàn)的儀器、定量玻璃器具的精度（或量具的精度）所能達(dá)到的有效位數(shù)一致，而且測出的數(shù)據(jù)能夠滿足實(shí)際需要。

一、有效數(shù)字

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，這10個(gè)數(shù)碼稱為數(shù)字。

有效數(shù)字就是指在測量中所能得到的有實(shí)際意義的數(shù)字。即是指在一個(gè)近似數(shù)中，除最后一位是不確定的外，其他各位都是確定的。有效數(shù)字用于表示連續(xù)物理量的測定結(jié)果，指測量中實(shí)際能得到的數(shù)字，即表示數(shù)字的有效意義。有效數(shù)字一般是表示檢測儀器所能測量到的數(shù)字。它不僅表明了數(shù)量的大小，也反映了檢測方法和檢測儀器的準(zhǔn)確程度。在檢驗(yàn)檢測過程中，通過直接測量獲得的檢測數(shù)據(jù)，需要記錄其測量值；而通過間接測定獲得的檢測數(shù)據(jù)，需要對(duì)有關(guān)測量值進(jìn)行計(jì)算，最后得到檢驗(yàn)檢測結(jié)果。對(duì)于檢驗(yàn)檢測過程中獲得的數(shù)據(jù)，檢測人員會(huì)遇到要用幾位數(shù)字來表示這些測量值或檢測結(jié)果的問題。對(duì)于檢驗(yàn)檢測數(shù)據(jù)記錄的有效位數(shù)，必須依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的檢驗(yàn)檢測方法的規(guī)定，對(duì)使用的計(jì)量器具和檢測儀器設(shè)備能夠提供的有效位數(shù)等信息予以確定。

在記錄數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果時(shí)，所保留的有效數(shù)字中，只有最后一位是可疑的數(shù)字。如50mL滴定管的最小刻度是0.1mL，滴定后的體積，A可能讀23.43mL，B可能讀23.44mL，C可能讀23.42mL。這四位數(shù)字中，前三位（有刻度）是準(zhǔn)確的，第四位（沒有刻度）是不準(zhǔn)確的，所以第四位稱為可疑數(shù)字。但它又不是主觀臆造的，所以記錄時(shí)應(yīng)保留。在測量準(zhǔn)確度的范圍內(nèi)，有效數(shù)字的位數(shù)越多，測量也越準(zhǔn)確，但超過測量準(zhǔn)確度的范圍，再多的位數(shù)也是毫無意義的。

有效數(shù)字位數(shù)與量的使用單位無關(guān)。如稱得某物的質(zhì)量是12g，兩位有效數(shù)字。若以毫克（mg）為單位時(shí)，應(yīng)記為1.2×104mg，而不應(yīng)記為12000mg。若以千克（kg）為單位，可記為0.012kg或1.2×10-2kg。

二、有效位數(shù)與修約間隔

1.有效位數(shù)

有效位數(shù)即是指幾位有效數(shù)字。

對(duì)沒有小數(shù)位且以若干零結(jié)尾的數(shù)值，從非零數(shù)字最左一位向右數(shù)得到的位數(shù)減去無效零（即僅為定位用的零）的個(gè)數(shù)；對(duì)其他十進(jìn)位數(shù)，從非零數(shù)字最左一位向右數(shù)而得到的位數(shù)，就是有效位數(shù)。

例1-1　35000若有兩個(gè)無效零，非零數(shù)字最左一位“3”向右數(shù)共5位數(shù)減去2個(gè)無效零數(shù)得3，則為三位有效位數(shù)，應(yīng)寫為350×102；若有三個(gè)無效零，則為兩位有效位數(shù)，應(yīng)寫為35×103。注意有效位數(shù)應(yīng)在10n之前全部寫出。

例1-2　32，0.32，0.032，0.0032都為十進(jìn)位數(shù)，非零數(shù)字最左一位“3”向右數(shù)都是兩位數(shù)，則它們均為兩位有效位數(shù)。0.0320從非零數(shù)字最左一位向右數(shù)是3位數(shù)，所以它為三位有效位數(shù)。

例1-3　13.580為十進(jìn)位數(shù)，從最左非零數(shù)字“1”向右數(shù)為5位數(shù)，所以它是五位有效位數(shù)。同樣13.5800為六位有效位數(shù)。

有效位數(shù)也可以這樣來理解：如果數(shù)據(jù)極限誤差大于某一位的半個(gè)單位，該位就是有效數(shù)字的末位，且該位到其左邊的非零數(shù)字一共有n位，n就是該數(shù)據(jù)的有效數(shù)字的位數(shù)。

例1-4　某數(shù)據(jù)極限誤差為0.005。數(shù)據(jù)0.234的末位數(shù)應(yīng)是3，其有效數(shù)字位數(shù)（或有效位數(shù)）為2位。

例1-5　某數(shù)據(jù)極限誤差為0.5，數(shù)據(jù)8700.33的末位數(shù)應(yīng)是0，其有效數(shù)字位數(shù)（或有效位數(shù)）為4位。

2.“0”的不同位置，對(duì)有效數(shù)字位數(shù)的影響

（1） “0”在數(shù)字前，僅起定位作用，而它本身不是有效數(shù)字。如0.0382前面兩個(gè)“0”，均不是有效數(shù)字。因?yàn)檫@些“0”只與所取的單位有關(guān)，而與測量的精確度無關(guān)。若將單位縮小100倍，則變?yōu)?.82，有效位數(shù)只有三位，前邊的“0”就沒有了。類似123，12.3，0.123，0.0123，0.00123等數(shù)的有效位數(shù)都是三位。

（2） “0”在數(shù)字后面（帶有小數(shù)位的），則為有效數(shù)字。如：0.1000中前邊一個(gè)“0”不是有效數(shù)字， “1”后邊三個(gè)“0”均為有效數(shù)字，故0.1000為四位有效位數(shù)；0.0040為兩位有效位數(shù)。

（3）數(shù)字中間的“0”為有效數(shù)字。如1.0008為五位有效位數(shù)。

（4）以“0”結(jié)尾的正整數(shù)，有效位數(shù)不確定。如3600這樣的數(shù)字，有效位數(shù)不好定，可能是兩位、三位甚至四位有效位數(shù)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況確定有效數(shù)字位數(shù)，寫成3.6×103為兩位有效位數(shù)；寫成3.60×103為三位有效位數(shù)；寫成3.600×103為四位有效位數(shù)。因?yàn)楹艽蠡蚝苄〉臄?shù)字用“0”表示位數(shù)不方便，最好用10的乘方表示。即有效數(shù)字全部寫出，后面用10的乘方表示。有效數(shù)字用小數(shù)表示，習(xí)慣上在小數(shù)點(diǎn)前留一位整數(shù)，如0.00005300，可寫為5.300×10-5，表示四位有效位數(shù)。如15600表示為1.56×104，即三位有效位數(shù)，若表示為1.560×104，即表示為四位有效位數(shù)。因此應(yīng)采用科學(xué)的記數(shù)法，避免用無效零。

根據(jù)上面的規(guī)則，我們可以判斷下面各數(shù)有效數(shù)字的位數(shù)：

3.修約間隔

修約間隔系確定修約保留位數(shù)的一種方式。修約間隔的數(shù)值一經(jīng)確定，修約值應(yīng)為數(shù)值的整數(shù)倍。即擬將數(shù)據(jù)保留到那一位數(shù)。

例如，指定修約間隔為0.1，修約值應(yīng)在0.1的整數(shù)倍中選取，相當(dāng)于將數(shù)值修約到一位小數(shù)。又如指定修約間隔為100，修約值即應(yīng)在100的整數(shù)倍中選取，相當(dāng)于將數(shù)值修約到百數(shù)位。還有兩種修約間隔，在日常檢驗(yàn)中應(yīng)用較少，但有時(shí)也會(huì)遇到，即0.5單位修約和0.2單位修約。

0.5單位修約（半個(gè)單位修約）指修約間隔為指定數(shù)位的0.5單位，即修約到數(shù)位的0.5單位。

例如，將60.28修約到個(gè)數(shù)位的0.5單位，得60.5。又如煤炭檢驗(yàn)中的自由膨脹序數(shù)的測定的單位為0.5，對(duì)不足0.5的結(jié)果，小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字以“2舍3入”的辦法（即2舍為0，3入為5）修約到0.5報(bào)出。

0.2單位修約指修約間隔為指定數(shù)位的0.2單位，即修約到指定數(shù)位的0.2單位。

例如，將832修約到“百”數(shù)位的0.2單位，得840。

4.修約位數(shù)的表達(dá)方式

（1）指定數(shù)位　指定修約間隔為10-n（n為正整數(shù)，下同）或指明將數(shù)值修約到n位小數(shù)。

指定修約間隔為1，或指明將數(shù)值修約到個(gè)數(shù)位。

指定修約間隔為10n，或指明將數(shù)值修約到10n數(shù)位，或指明將數(shù)值修約到“十”“百”“千”等數(shù)位。

（2）指定數(shù)值修約成n位有效位數(shù)　修約間隔這一概念，是從法國標(biāo)準(zhǔn)NF×02-052-1979《數(shù)字修約規(guī)則》中借鑒來的，標(biāo)準(zhǔn)采用的最基本的修約間隔是10n，考慮到與指定修約數(shù)位正好相等，而以前我國標(biāo)準(zhǔn)中的提法都是指定修約數(shù)位，而且現(xiàn)在仍然普遍采用。為使標(biāo)準(zhǔn)具有連續(xù)性，因此在GB/T 8170《數(shù)值修約規(guī)則與極限數(shù)值的表示和判定》中既給出了修約間隔，又給出了與之等價(jià)的確定修約到某數(shù)位的提法，兩者通用，互不矛盾。

三、修約規(guī)則

1.數(shù)值修約進(jìn)舍規(guī)則

（1）擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字小于5時(shí)，則舍去，即保留的各位數(shù)字不變。例如：

將13.2476修約到一位小數(shù)，得13.2；

將13.2476修約成兩位有效位數(shù)，得13。

（2）擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字大于等于5，而且其后跟有并非全部為“0”的數(shù)字時(shí)則進(jìn)一，即保留的末位數(shù)字加1。例如：

將1167修約到“百”數(shù)位，得12×102（特定時(shí)可寫為1200）；

將1167修約成三位有效位數(shù)，得117×10（特定時(shí)可寫為1170）；

將10.502修約到個(gè)數(shù)位，得11。

（3）擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字為5，而其右面無數(shù)字或皆為0時(shí)，若所保留的末位數(shù)字為奇數(shù)（1，3，5，7，9）則進(jìn)一，為偶數(shù)（2，4，6，8，0）則舍棄。

例1-6　修約間隔為0.1（或10-1）。

例1-7　修約間隔為1000（或103）。

例1-8　將下列數(shù)字修約成兩位有效位數(shù)。

（4）負(fù)數(shù)修約時(shí)，先將它的絕對(duì)值按上述三條規(guī)定進(jìn)行修約，然后在修約值前加上負(fù)號(hào)。

例1-9　將下列數(shù)字修約至十?dāng)?shù)位。

例1-10　將下列數(shù)字修約成兩位有效位數(shù)。

（5）0.5單位修約：先將擬修約數(shù)值乘以2，按指定數(shù)位依進(jìn)舍規(guī)則修約，所得數(shù)值再除以2。

例1-11　將下列數(shù)字修約到個(gè)數(shù)位的0.5單位（或修約間隔為0.5）。見表1-1。

（6）0.2單位修約：先將擬修約數(shù)值乘以5，按指定數(shù)位依進(jìn)舍規(guī)則修約，所得數(shù)值再除以5。

例1-12　將下列數(shù)字修約到百數(shù)位的0.2單位（或修約間隔為20）。見表1-2。

以上的數(shù)值修約（除去后兩條外）規(guī)則，稱為“四舍六入五單雙”的原則。這種方法可以用五句話簡單來概括：四舍六入五單雙，五后非零則進(jìn)一，五后皆零視奇偶，五前為偶應(yīng)舍去，五前為奇則進(jìn)一。

2.數(shù)值修約時(shí)應(yīng)注意的事項(xiàng)

實(shí)行數(shù)值修約，應(yīng)在明確修約間隔（確定修約的位數(shù)）后一次完成，而不能連續(xù)修約，否則會(huì)導(dǎo)致不正確的結(jié)果。但實(shí)際工作中常有這種情況，有的部門先將原始數(shù)據(jù)按修約要求多一位或幾位報(bào)出，而后另一部門按此報(bào)出值再按規(guī)定位數(shù)修約和判定，這樣就有連續(xù)修約的錯(cuò)誤。國家標(biāo)準(zhǔn)《數(shù)值修約規(guī)則與極限數(shù)值的表示和判定》（GB/T 8170）對(duì)此做了以下具體規(guī)定：

（1）擬修約數(shù)字應(yīng)在明確修約位數(shù)后一次修約獲得結(jié)果，而不得多次按進(jìn)舍規(guī)則連續(xù)修約。

例1-13　修約15.4546，修約間隔為1。

正確的做法：15.4546→15；

不正確的做法：15.4546→15.455→15.46→15.5→16。

例1-14　1.23456，修約到兩位小數(shù)。

應(yīng)當(dāng)一步到位→1.23；

不正確的修約：1.23456→1.2346→1.235→1.24。

計(jì)算機(jī)是二進(jìn)制式四舍五入，所以應(yīng)多取一位。

（2）在實(shí)際工作中，有時(shí)測試與計(jì)算部門先將獲得的數(shù)值按指定的修約位數(shù)多一位或幾位報(bào)出，而后由其他部門判定。為避免產(chǎn)生連續(xù)修約的錯(cuò)誤，應(yīng)按下列步驟進(jìn)行。

①報(bào)出數(shù)值最右的非零數(shù)字為5時(shí)，應(yīng)在數(shù)字后面加“ （+）”或“ （-）”，或不加符號(hào)，以分別表明已進(jìn)行過舍進(jìn)或未舍未進(jìn)。

例1-15　15.50（+）表示實(shí)際值大于15.50，經(jīng)修約舍棄成為15.50；15.50（-）表示實(shí)際值小于15.50，經(jīng)修約進(jìn)一成為15.50。

②如果判定報(bào)出值需要進(jìn)行修約，當(dāng)擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字為5而后面無數(shù)字或皆為零時(shí)，數(shù)值后面有（+）號(hào)者進(jìn)一，數(shù)值后面有（-）號(hào)者舍去，其他仍按進(jìn)舍規(guī)則處理。

例1-16　將下列數(shù)字修約到個(gè)數(shù)位后進(jìn)行判定（報(bào)出值多留一位到一位小數(shù)）。見表1-3。

3.修約規(guī)則的理論依據(jù)

GB/T 8170《數(shù)值修約規(guī)則與極限數(shù)值的表示和判定》中的“四舍六入五單雙”修約規(guī)則充分地采用了國外先進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容。這也是我國改革開放與國際接軌的需要。但重要的還是它的科學(xué)性。因?yàn)橛谩八纳嵛迦搿狈▽?duì)數(shù)字進(jìn)行修約，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，從很多修約后的數(shù)值中得到的均值偏大，而用現(xiàn)在的修約規(guī)則，進(jìn)舍的狀況具有平衡性，進(jìn)舍誤差也具有平衡性，若干數(shù)值經(jīng)這樣修約后，修約值之和變大的可能性與變小的可能性是相當(dāng)?shù)摹?/p>

現(xiàn)以“擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字”為例說明：擬舍棄的數(shù)字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個(gè)數(shù)字在現(xiàn)實(shí)中出現(xiàn)的概率是相同的，都是10%。若采用“四舍五入”法，這10個(gè)數(shù)字中，0修約后的數(shù)值量不變（既不增大，也不變小）；1，2，3，4，這4個(gè)數(shù)字在修約后值減小；5，6，7，8，9這5個(gè)數(shù)字在修約后值增大。這樣在這10個(gè)擬舍棄的數(shù)字中修約后1個(gè)值不變，4個(gè)值減小，5個(gè)值增大。也就是說，對(duì)于總體數(shù)據(jù)而言，經(jīng)“四舍五入”法修約后，有10%的數(shù)值不增不減，有40%的數(shù)值減小，有50%的數(shù)值增大。所以總誤差不為零，從總體的數(shù)據(jù)來看，進(jìn)大于舍，所以修約后的值偏大。特別是對(duì)于大量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)工作而言，總體數(shù)值增大。

若采用“四舍六入五單雙”法，在這10個(gè)擬修約的數(shù)字中，其中是0的數(shù)，修約后值不變；擬修約數(shù)字為1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字時(shí)舍去；擬修約數(shù)字為6，7，8，9這4個(gè)數(shù)字時(shí)進(jìn)位；而在舍棄數(shù)字的最右一位是5的情況下，所保留的末位數(shù)字為奇數(shù)1，3，5，7，9這5個(gè)時(shí)進(jìn)位，所保留的末位數(shù)字為偶數(shù)0，2，4，6，8這5個(gè)時(shí)舍去。這樣經(jīng)“四舍六入五單雙”法修約后，有10%的數(shù)值不增不減，有45%的數(shù)值減小，有45%的數(shù)值增大，所以總誤差為零。這就是修約為什么要采用“四舍六入五單雙”法的統(tǒng)計(jì)理論依據(jù)。

還可以從舍入的具體誤差來解釋，即在對(duì)數(shù)字修約時(shí)，會(huì)帶來舍入誤差。設(shè)某一數(shù)值要保留n位有效位數(shù)，由第n+1位引入的誤差如表1-4所示。

而舍入誤差是人為引入的誤差，人們希望越小越好，最好是零。在過去采用“四舍五入”法修約時(shí)，假定要保留n位有效位數(shù)，當(dāng)?shù)?span id="bqjvo8a" class="italic">n+1位是5以外的其他數(shù)字時(shí)，其舍入誤差在極多次修改時(shí)相互抵消，但在第n+1位是5時(shí)，卻無法抵消。因此存在一正的誤差，使總體數(shù)值增大。而“四舍六入五單雙”法規(guī)定；當(dāng)?shù)?span id="caqexuy" class="italic">n位上的數(shù)是偶數(shù)時(shí)，第n+1位上的5舍去，此時(shí)舍入誤差為-5；當(dāng)?shù)?span id="hq7imjg" class="italic">n位為奇數(shù)時(shí)，第n+1位上的5進(jìn)入，此時(shí)的舍入誤差為+5，由于第n位上偶、奇數(shù)出現(xiàn)的概率各為50%，其相應(yīng)的舍入誤差-5和+5的概率也各為50%，在極多次修約中相互抵消，使舍入誤差趨近于零。因此，采用“四舍六入五單雙”法比“四舍五入”法更為科學(xué)合理。