第二節(jié)　兩組檢測結(jié)果的評定

對同一試樣，用兩種檢測方法，或用兩臺相同的儀器，或兩個檢測人員，或在兩個不同時間內(nèi)，得到兩組檢測數(shù)據(jù)，它們的平均值及之間往往有差異。現(xiàn)在的問題是如何來評定這一差異是否顯著，它們之間是否一致，能否將它們?nèi)∑骄祱蟪鰴z測結(jié)果。

一、兩組檢測數(shù)據(jù)的總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ1及σ2均為未知時的檢驗

F檢驗法

（1）選定顯著性水平a值。

（2）按式（2-4）或式（3-1）分別計算兩組檢測數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差S1及S2，它們的測定次數(shù)分別為n1和n2。

（3）根據(jù)式（4-5）計算F0值：

　　（4-5）

較大的方差（標(biāo)準(zhǔn)偏差的平方）值放于分子上，較小的方差放于分母上。

（4）查表4-2中相應(yīng)a值的雙側(cè)檢驗表，自由度為（n1-1，n2-1）時相應(yīng)的Fa值。

（5）結(jié)論：如果計算得到的F0值大于表中查得的Fa值，即F0>Fa，則認(rèn)為兩組檢測數(shù)據(jù)的精度在可信水平為100（1-a）%下，兩者不一致，它們之間存在顯著差異。

兩組檢測結(jié)果的精度不一致，也就是說第一組檢測數(shù)據(jù)的精度比第二組的要差。如果指定要檢驗S1是否比S2要大，或者指定要檢驗S1是否比S2要小，則檢驗時應(yīng)查表4-2中的單側(cè)檢驗表。

根據(jù)F檢驗的結(jié)論，分別選用以下方法做兩組檢測結(jié)果的評定。

1.兩組檢測數(shù)據(jù)的精度一致時（σ1≈σ2或S1≈S2）的檢驗

（1）選定顯著性水平a值。

（2）查表3-1中雙側(cè)檢驗一欄在顯著性水平為a時的相應(yīng)ta值，此時自由度為n1+n2-2，n1和n2分別為兩組檢驗測定的次數(shù)。

（3）按式（4-6）求兩組檢測數(shù)據(jù)中的單一測定的標(biāo)準(zhǔn)偏差：

　　（4-6）

（4）據(jù)下式計算u0值：

　　（4-7）

（5）結(jié)論：如果與之間的差的絕對值大于u0，即，則可認(rèn)為在100（1-a）%的可信水平下，與之間有顯著差異；反之，如，則沒有理由相信與之間有顯著差異。

如果我們假定這兩組的真實檢測結(jié)果為m1及m2（當(dāng)然它們是未知的），那么我們說這兩組真實檢測結(jié)果之差（m1-m2），在100（1-a）%的可信水平下，是落在（-）±u0的范圍內(nèi)。

例4-6　某檢測人員測定一溶液的濃度，第一次測定，得到一組數(shù)據(jù)。幾天后其用同樣的方法對此溶液再次進(jìn)行測定，獲得第二組數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)見表4-3。問：這兩次測定的結(jié)果（平均值）之間有無顯著差異？

解：

（1）由于兩組檢測結(jié)果的總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ1及σ2均未知，故先做F檢驗：

①選定顯著性水平a=0.05。

②按式（3-1）分別求兩組檢測數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差S1和S2，已知兩組的測定次數(shù)分別為：n1=5，n2=4，求得S1=0.000114，S2=0.0000816。

③按式（4-5）計算F0值：

④查表4-2中a=0.05的雙側(cè)檢驗表：自由度為（n1-1，n2-1）=（4，3），查得Fa=15.10。

⑤結(jié)論：由于F0<Fa，故認(rèn)為在可信水平95%下，兩組檢測結(jié)果的精度是一致的。

（2）由以上F檢驗得知，兩者精度一致，故再按σ1≈σ2的情況，檢驗兩組檢測數(shù)據(jù)的平均值之間有無顯著差異。

①選定顯著性水平a=0.05。

②查表3-1中雙側(cè)檢驗欄：自由度為n1+n2-2=5+4-2=7，查得ta=2.365。

③按式（4-6）計算S：

④按式（4-7）計算u0值：

⑤

由于，故認(rèn)為在95%的可信水平下，沒有理由相信與之間有顯著差異，即這兩次測定的結(jié)果之間沒有顯著差異。

如要討論這兩組數(shù)據(jù)的真實檢測結(jié)果m1和m2的關(guān)系，那么m1-m2在95%的可信水平下是落在（-）±u0范圍內(nèi)，（-）±u0=1.6×10-4±1.62×10-4，即落在-0.01×10-4～3.22×10-4范圍內(nèi)。

2.兩組檢測數(shù)據(jù)的精度不等時（σ1≠σ2或S1≠S2）的檢驗

（1）選定顯著性水平a值。

（2）用下式分別計算兩組檢測數(shù)據(jù)的方差S2：

　　（4-8a）

　　（4-8b）

（3）按下式分別計算V1及V2：

　　（4-9a）

　　（4-9b）

（4）計算有效自由度f'：

　　（4-10）

（5）查表3-1雙側(cè)檢驗一欄，此時由于計算得的f'值往往不是整數(shù)，故選用與f'最接近的整數(shù)值作為自由度f'值，顯著性水平為a所對應(yīng)的ta值。

（6）據(jù)下式計算u0值：

　　（4-11）

（7）結(jié)論：如果->u0，則可認(rèn)為與在可信水平為100（1-a）%下，兩者之間有顯著差異。反之，如果，則在可信水平為100（1-a）%下，沒有理由相信與之間有顯著差異。

如果我們假定這兩組的真實檢測結(jié)果為m1及m2（當(dāng)然，它們是未知的），那么我們說這兩組真實檢測結(jié)果之差（m1-m2），在100（1-a）%可信水平下，是落在（-）±u0的范圍內(nèi)。

例4-7　用國家標(biāo)準(zhǔn)方法和新制定的快速法測定某一試樣中的錳含量，結(jié)果見表4-4。

問：用快速法測得的平均值與用標(biāo)準(zhǔn)法測得的平均值之間是否存在顯著差異？

解：

（1）由于這里給出的兩組檢測結(jié)果的總體精度σ1及σ2是未知的，且又不能肯定它們之間是否一致，因此首先需做F檢驗。按前節(jié)所述的F檢驗步驟：

①選定顯著性水平a=0.05。

②按式（3-1）計算兩組檢測數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差S1和S2：

令標(biāo)準(zhǔn)法為方法1，則S1=2.915×10-2，快速法為方法2，則S2=8.12×10-2。

③據(jù)式（4-5）計算F0（方差大的放在分子上）：

④查表4-2中a=0.05的雙側(cè)檢驗表：自由度為（n2-1，n1-1）=（7，9），查得：Fa=4.20。

⑤結(jié)論：由于F0>Fa，故認(rèn)為在可信水平為95%的情況下，兩組檢測結(jié)果的精度不一致。

（2）根據(jù)以上F檢驗的結(jié)果，兩組檢測數(shù)據(jù)的精度不一致，以下按σ1≠σ2的情況，檢驗兩組檢測結(jié)果（平均值）之間是否有顯著差異。

①選定顯著性水平a=0.05。

②根據(jù)前面F檢驗中已得到的或據(jù)式（4-8）算出兩組檢測數(shù)據(jù)的方差：

③按式（4-9）計算V1和V2：

④按式（4-10）計算有效自由度f'：

⑤查表3-1中雙側(cè)檢驗欄：a=0.05，自由度f=9，查得：

⑥按式（4-11）計算u0值：

⑦

結(jié)論：由于，故認(rèn)為在可信水平為95%下，和之間有顯著差異。即分別用標(biāo)準(zhǔn)法與新制定的快速法測得的檢測結(jié)果（平均值）之間存在顯著差異。

二、兩組檢測數(shù)據(jù)的總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ1及σ2均為已知時的檢驗

（1）選定顯著性水平a值。

（2）查表4-1中相應(yīng)的uP值，由于它是單側(cè)檢驗表，故此時應(yīng)查相應(yīng)于的uP值。

（3）據(jù)式（4-12）計算u0值：

　　（4-12）

（4）結(jié)論：如果|-|>u0則可認(rèn)為在可信水平為100（1-a）%下，與兩者之間有顯著差異。反之，如果|-|≤u0則在可信水平為100（1-a）%下，沒有理由相信與之間有顯著差異。

如果我們假定這兩組的真實檢測結(jié)果為m1及m2（當(dāng)然，它們是未知的），那么，我們可以說這兩組真實檢測結(jié)果的差（m1-m2），在100（1-a）%可信水平下，是落在（-）±u0的范圍內(nèi)。

例4-8　有兩種不同的測銀方法，其中A方法的總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σA為0.080%，B法的總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σB=0.035%，現(xiàn)用這兩種方法同時測定某一樣品中銀的含量。用A法平行測定6次，測得樣品中銀含量的平均值為1.97%；用B法平行測定5次，測得樣品中銀含量的平均值為1.92%。問：這兩種不同方法測得的含銀量（平均值）之間有無顯著差異？

解：

（1）選定顯著性水平a=0.05。

（2）查表4-1：此時為雙側(cè)檢驗，故應(yīng)查所對應(yīng)的uP值，查得uP=1.960。

（3）按式（4-12）計算u0值：

（4）結(jié)論：由于|-|==0.05%<u0，故認(rèn)為在可信水平為95%下，沒有理由相信用A、B兩種不同的檢測方法測得的同一樣品中銀的含量（即平均值與）之間存在顯著差異。

以上三種方法都可在相應(yīng)條件下（σ1、σ2均未知，但σ1≈σ2；σ1、σ2均未知，但σ1≠σ2；σ1、σ2均已知），分別用來檢驗是否比大，或是否比小。此時計算步驟相同，只是查表3-1時要用單側(cè)檢驗一欄，同樣，做F檢驗時也要用單側(cè)檢驗表。查表4-1時，由于它是單側(cè)檢驗表，故P就等于（1-a）值。所得結(jié)論和前面所介紹的第二種情況中相應(yīng)所得的結(jié)論相同。只是在第二種情況中是將和比較，這里是將和比較。

例4-9　有甲、乙兩名檢測人員，同時采用同一檢測方法，測定一試樣中的乙酸含量（%），結(jié)果如表4-5所示。

問：乙測得的平均值是否比甲測得的平均值要大？

解：按式（3-1）計算出甲、乙兩人測得數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差：

（1）這兩組數(shù)據(jù)的總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ1和σ2均未知，且不知這兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差S2是否比S1大，故先做F檢驗。

①選定顯著性水平a=0.05。

②已計算得兩組檢測數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差分別是：

③按式（4-5）計算F0值：

④查表4-2中a=0.05的單側(cè)檢驗表：自由度為（n1-1，n2-1）=（7，5），查得Fa=4.88。

⑤結(jié)論：由于F0<Fa，故在可信水平為95%下，沒有理由相信乙測得的標(biāo)準(zhǔn)偏差（S2）比甲測得的標(biāo)準(zhǔn)偏差（S1）大。

（2）以上F檢驗結(jié)果表明，甲乙兩人測定的精度是一致的，故可按σ1=σ2的情況，檢驗乙測得的平均值（）是否比甲測得的平均值（）大。

①選定顯著性水平a=0.05。

②查表3-1單側(cè)檢驗一欄：a=0.05，自由度為n1+n2-2=6+8-2=12，查得ta=1.782。

③按式（4-6）計算兩組數(shù)據(jù)中單一測定的標(biāo)準(zhǔn)偏差S：

④按式（4-7）計算u0值：

⑤-=61.408-61.408=0.036

結(jié)論：由于->u0，故認(rèn)為在可信水平為95%下，大于，即乙測得的平均值要比甲測得的平均值大。

例4-10　甲乙兩個檢測人員同時測定一溶液中某物質(zhì)的物質(zhì)的量濃度，他們各平行測定了9次，甲測得的物質(zhì)的量濃度（平均值）為0.2036mol/L，標(biāo)準(zhǔn)偏差（S1）為0.00082；乙測得的物質(zhì)的量濃度（平均值）為0.2042mol/L，標(biāo)準(zhǔn)偏差（S2）為0.00043。問：甲測得的平均值是否比乙測得的平均值小？

解：

（1）兩組測定的總體標(biāo)準(zhǔn)偏差（σ1和σ2）均未知，且不知甲的標(biāo)準(zhǔn)偏差（S1）是否比乙的標(biāo)準(zhǔn)偏差（S2）大，故需先做F檢驗。

①選定顯著性水平a=0.05。

②已知S1=0.00082，S2=0.00043，按式（4-5）計算F0值：

③查表4-2中a=0.05的單側(cè)檢驗表：自由度為（n1-1，n2-1）=（8，8），查得Fa=3.44。

④由于F0>Fa，故甲的標(biāo)準(zhǔn)偏差（S1）要比乙的標(biāo)準(zhǔn)偏差（S2）大。

（2）根據(jù)以上F檢驗結(jié)論，兩組數(shù)據(jù)精度不等，即甲的標(biāo)準(zhǔn)偏差比乙的要大，以下按σ1≠σ2情況，檢驗甲測得的平均值（）是否比乙測得的平均值（）要小。

①選定顯著性水平a=0.05。

②按式（4-9）計算V1和V2：

③按式（4-10）計算有效自由度f'：

即f'=13。

④查表3-1中單側(cè)檢驗一欄：自由度為13，a=0.05，查得ta=1.771。

⑤按式（4-11）計算u0值：

⑥-=0.2042-0.2036=0.0006=6×10-4

結(jié)論：由于->u0，故在可信水平為95%下，甲測得的平均值比乙測得的平均值要小。

例4-11　用同一型號的儀器測定樣品中低含量的鈦，使用編號為001的儀器，其測定的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ1為0.0049%；使用編號為002的儀器，其測定的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ2為0.0057%。現(xiàn)有一檢測人員欲測定同一樣品中的鈦含量，他在001號儀器上平行測定四次，測得樣品中鈦含量為0.164%（平均值）；在002號儀器上，他平行測定五次，測得樣品中鈦含量為0.167%（平均值）。問：在編號為002儀器上測得的平均值（）是否比在編號為001的儀器上測得的平均值（）要大？

解：

（1）選定顯著性水平a=0.05。

（2）查表4-1：P=1-a=0.95，查得uP=1.645。

（3）按式（4-12）計算u0值：

（4）-=0.167-0.164=0.003（%）

結(jié)論：由于-<u0，故在可信水平為95%下，在編號為002儀器上測得的平均值并不比在編號為001儀器上測得的平均值大。

說明：在比較兩組檢測結(jié)果和時，還可以使用以下方法，其步驟如下：

（1）先按不同情況計算t值。

①在σ1及σ2均未知，但認(rèn)為σ1≈σ2時

　　（4-13）

其中S的計算方法見式（4-6）。

②在σ1及σ2均未知，但認(rèn)為σ1≠σ2時

　　（4-14）

其中V1及V2的計算方法見式（4-9a）及式（4-9b）。

③檢驗兩組成對數(shù)據(jù)所得的平均值及時

　　（4-15）

其中Sd的計算方法見式（4-17）。

（2）從表3-1，自由度為n1+n2-2一行中，查找與計算得的t值最接近的值。

（3）根據(jù)以上查得的值，得到它所對應(yīng)的a。

（4）結(jié)論：由a的大小可以看出與差異的顯著程度，如相應(yīng)的a值為0.05，則與的差異為顯著；如a為0.01，則與之間的差異為很顯著（參見表3-4）。

以上的檢驗方法可用于其他用t檢驗法做檢驗的情況。

例4-12　條件同例4-7，問：和之間的差異是否顯著？

解：

（1）做F檢驗（同例4-7），得到檢驗結(jié)果為σ1≠σ2。

（2）以下的t檢驗是在σ1及σ2未知，且σ1≠σ2的情況下進(jìn)行，故按式（4-14）計算t值：

（3）查表3-1中雙側(cè)檢驗欄：自由度為9，與計算得的t值最接近的值為ta=2.821，它與t=2.902最接近。

（4）查與ta對應(yīng)的a值，得a=0.02。

（5）由于a=0.02，故認(rèn)為與之間的差異顯著。