第一章　阻尼與振動

1.1　阻尼

阻尼是反映振動系統運動過程中能量耗散特征的參數，是系統耗損能量的能力，是材料或結構在承受周期應變時以熱量方式消耗機械能的本領。阻尼在振動系統中最直觀的表現就是能有效地將振動幅值逐漸減小，起到抑制振動、降低噪聲，以及避免系統因振動而產生結構疲勞損壞失效等作用。例如，對于橋梁來說，在外載荷（車輛快速通過、風激勵）作用下，如果沒有合適的阻尼控制，會使橋梁橫向振動幅度變化很大，甚至摧毀橋梁；高層建筑受風激勵后，產生低頻振動，通過設置阻尼器耗損振動能量，保證高層建筑安全；洗衣機、超聲波清洗機等設備，進行阻尼控制，大幅降低噪聲；航天飛行器在飛行過程中會受到各種激勵的作用，為了提高精密設備的可靠性，利用阻尼技術進行減振降噪控制。

導致能量損耗的因素很多：材料內部晶格的排列會使應力和應變產生一個相位差，從而導致交變應力下能量的損耗；結構各個部位的連接處的摩擦力也會導致能量的損耗；結構外部的黏性介質（氣體或液體）同樣會導致能量的損耗。此外，結構的邊界約束條件也會導致能量的損耗。

從工程應用的角度來說，阻尼是指一種工程結構如何將廣義振動的能量轉換成可以耗損的能量，從而抑制振動、沖擊、噪聲。阻尼應用包括兩個方面：一是由工程材料、工程結構及與其相耦合的流體介質因固有性質所產生的能耗或阻尼；二是經過設計，構成新的或擴大的耗能結構，用以產生或增大阻尼。例如，在各種車輛的門設計中應用阻尼，有效控制關門時產生的振動。

通常按照振動阻尼產生機理的物理現象進行分類，阻尼可分為黏彈性阻尼、結構阻尼、流體阻尼、其他阻尼，如圖1.1所示。

圖1.1　阻尼的分類

為了便于把握住阻尼的主要性質，根據阻尼作用的主要形式，提出了各種阻尼模型。到目前為止，對于每種阻尼模型，還存在提出阻尼模型描述得仍不夠全面準確，原因在于：阻尼力不像慣性力和彈性力，對應于相應的狀態變量（加速度和位移）。

在這些阻尼模型中具有共同特征：阻尼矩陣被表示為質量、剛度矩陣、振型和頻率的函數。這樣做的意義在于：阻尼可以表示為幾個變量的函數，從而使阻尼具有明顯的物理意義，更重要的是，通過試驗數據可以識別模型中的幾個待定系數，從而確定整體結構的阻尼矩陣。

從上述分析可知，阻尼的性質不同，所服從的規律也不一致，相應的模型也有差異。因此，表示各種阻尼規律的數學表達式比較復雜，不便于進行分析，需要對阻尼簡化模型進行研究，用能量等價的原則來簡化阻尼模型是一種有效的方法。常用的方法是將阻尼在振動一個周期內所耗散的能量折算為當量黏性阻尼。

1.1.1　黏彈性阻尼

1865年，Kelvin在預測一些簡單系統的自由振動衰減現象后，提出固體材料中存在內阻尼。為了描述這種內阻尼，借用了黏滯性模型，提出固體材料的內阻尼與黏滯流體中的黏滯阻尼相似，與變形速度有關。1892年，Vougt發展并完成了此理論，形成黏彈性阻尼模型。

黏彈性阻尼是振動系統所受力的大小與運動速度成正比而方向相反的阻力引起的能量損耗。黏彈性阻尼發生在材料內振動而產生形變的過程中。物體振動時，部分振動能量損耗在材料內部的黏性內摩擦作用上，并被轉換為熱能。采用線性阻尼的模型使得分析振動系統特性大為簡化。

在振動系統中,黏彈性阻尼是阻尼元件（或阻尼器）對于外力作用的響應,表現為阻尼元件端點的一定的移動速度。圖1.2（a）為阻尼器示意圖。它所受到的外力（或者其產生的阻尼力），是振動速度的函數，即

　　（1.1）

圖1.2　阻尼器示意圖

采用線性阻尼模型時，是的線性函數，如圖1.2（b）所示。

式（1.1）變為

　　（1.2）

式中，c稱為阻尼系數，其量綱為MT ^-¹，通常取單位為N·s/m、N·s/cm、N·s/mm。阻尼系數c是使阻尼器產生單位速度所需施加的力。

振動系統振動時阻尼力所耗散的功為

　　（1.3）

其他形式的阻尼，可用一個周期內所消耗的功來確定當量黏彈性阻尼系數，把它等效成為黏彈性阻尼。

1.1.2　結構阻尼

結構阻尼簡單的理解就是結構本身的、內部的阻尼，是引起能量損耗的原因，主要有以下幾個方面：①由于材料的內摩擦作用而使機械能逐漸轉化為熱能消失在周圍的介質中, 這是能量耗散的主要原因；②周圍介質對振動的阻尼；③節點、支座連接間的摩擦阻力, 主要是由構件之間或構件與支座間的相對運動所產生的；④通過支座基礎散失一部分能量。

1927年，Kimball和Lovell通過對18種不同的固體材料進行實驗測試，認為在彈性極限范圍內，以往假定的黏彈性液體阻尼力的數學模型不適用于描述固體材料的內阻尼。固體材料中阻尼力獨立于應變速度，與應變幅值相關。實驗測試中發現：每單位體積耗散的能量等于，即，其中為應力幅值，q為比例因子，并稱為摩擦常數。

Becker和Fopple等人對大量金屬合金材料進行實驗觀察，得出結論：結構在做簡諧振動時，結構阻尼力主要是振幅的函數，與頻率無關。1940年，T.Theodorsen和I.E.Garrick在分析飛機顫動問題時，根據Becker等人的實驗結論，提出做簡諧振動的結構，其阻尼力與速度同相，大小與恢復力成正比。這一模型被廣泛用于航空領域。后來，又被人們引入到一般工程結構分析中。由于此模型最初是針對實驗所用結構的阻尼提出來的，故此阻尼模型被稱為結構阻尼模型。

結構材料實際上不是完全彈性的，在振動過程中也就是處在加載、卸載過程中。每一個振動周期引起一次滯后回線，結構阻尼即由此產生。大量實驗指出，對于大多數結構金屬（如鋼和鋁）。結構阻尼在一個周期內所消耗的能量與振幅的平方成正比，而且在很大一個頻率范圍內與頻率無關。

根據能量等價原則，得出當量黏彈性阻尼系數為

　　（1.4）

式中，q為比例因子；ω為振動頻率。

1.1.3　流體阻尼

工程實際中，各種結構往往和流體介質接觸，如橋梁結構與河水相接觸、流體機械與油液相接觸、薄壁結構與空氣相接觸等。大部分流體具有黏滯性，在運動過程中會耗損能量。如圖1.3所示，流體在管道中流動，如果流體不具有黏滯性，那么流體在管道中按同等速度運動，如圖1.3（a）所示；否則，管內各處流體的流動速度是不等的，大多數情況下，管道軸線截面流體速度呈拋物面形，如圖1.3（b）所示。

圖1.3　流體在管道中流動

當物體以較大的速度在黏性較小的流體（如空氣、液體）中運動時，如圖1.3（b）所示，流體內部的速度梯度、流體和管壁的相對速度均會因流體黏滯性產生能耗及阻尼作用，這就是由流體介質所產生的阻尼。流體阻尼力始終與運動速度方向相反，而其大小與速度的平方成正比

　　（1.5）

式中，γ為常數；的方向與速度相反；sgn為符號函數，定義為。

流體阻尼力F_n在一個振動周期內所耗散的能量為

　　（1.6）

式中，ω為振動頻率；X為位移幅值。

根據能量等價原則：一個振動周期內由于流體阻尼力F_n所耗散的能量ΔE_c等于當量的黏彈性阻尼所耗散的能量ΔE。

而

　　（1.7）

即式（1.6）與式（1.7）相等，可得到流體阻尼的當量黏彈性阻尼系數為

　　（1.8）

1.1.4　其他阻尼

1.1.4.1　遲滯阻尼

在研究阻尼過程中，當采用黏彈性阻尼模型時，結構系統每周期消耗的能量隨著系統運動頻率的增加而線性增加。結果與實驗事實不一致。為了解釋實驗事實，一些學者建議采用頻率相關阻尼或遲滯阻尼假設：材料應力向量和應變向量之間存在相位差，從而在一個運動周期中有能耗發生。按照這種假設，阻尼力可以表示為

　　（1.9）

式中，h為材料遲滯阻尼常數；ω為振動頻率；h/ω看作一個與頻率相關的阻尼因子，總內力為

　　（1.10）

式中，k為彈簧剛度，從式（1.10）可以得到穩態簡諧振動中，相應的阻尼力的幅值與ω無關，而總內力在力-位移平面上構成的一個斜偏橢圓形滯后回線的面積也不再與ω有關，如圖1.4所示。從材料力學的材料加載、卸載曲線可以看出，對一種材料加載到超過彈性極限，然后卸載，并繼續往反方向加載，再卸載。一個循環過程中，應力應變曲線會形成一個滯后回線。滯后回線所包的陰影面積表示了材料在一個循環單位體積釋放的能量。這部分能量將變成熱能散失掉。

圖1.4　材料加載、卸載應力應變曲線

1.1.4.2　庫侖阻尼

在實際的振動系統中，除上述提到的阻尼外，還有其他能量損耗，如軸承內或零件接合處的摩擦作用，如圖1.5所示。庫侖阻尼又稱干摩擦阻尼，節點、支座連接間的摩擦阻尼是由構件與支座間的相對運動所產生的。質量m與摩擦系數為μ的表面間產生庫侖摩擦力F_c=μmg，F_c始終與運動速度的方向相反，而大小保持為常值，即

　　（1.11）

圖1.5　庫侖阻尼示意圖

sgn符號函數中，當時，庫侖阻尼力是不定的，它取決于外力的大小，而方向與之相反。

在一個振動周期中振動系統由于庫侖阻尼力而耗散的能量為

　　（1.12）

根據能量等價原則，式（1.7）與式（1.12）相等，可以得到庫侖阻尼的當量黏彈性阻尼系數為

　　（1.13）

1.1.4.3　比例及非比例阻尼

比例阻尼模型的出現完全是為了數學計算的方便。在求解多自由度系統運動方程時，由于質量和剛度矩陣均具有帶權正交性，故質量和剛度矩陣都可以對角化。但是，阻尼矩陣一般情況下都不具有這種正交性。因此，它不能對角化。在這種情況下，多自由度振動系統運動方程不能解耦成單自由度振動系統運動方程求解。為了使阻尼矩陣也可以解耦，Rayleigh首先提出了比例阻尼模型。Rayleigh阻尼理論認為，阻尼矩陣C可以表示為質量矩陣M和剛度矩陣K的線性組合。

　　（1.14）