第一章　阻尼與振動

1.1　阻尼

阻尼是反映振動系統(tǒng)運動過程中能量耗散特征的參數(shù)，是系統(tǒng)耗損能量的能力，是材料或結(jié)構(gòu)在承受周期應(yīng)變時以熱量方式消耗機(jī)械能的本領(lǐng)。阻尼在振動系統(tǒng)中最直觀的表現(xiàn)就是能有效地將振動幅值逐漸減小，起到抑制振動、降低噪聲，以及避免系統(tǒng)因振動而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)疲勞損壞失效等作用。例如，對于橋梁來說，在外載荷（車輛快速通過、風(fēng)激勵）作用下，如果沒有合適的阻尼控制，會使橋梁橫向振動幅度變化很大，甚至摧毀橋梁；高層建筑受風(fēng)激勵后，產(chǎn)生低頻振動，通過設(shè)置阻尼器耗損振動能量，保證高層建筑安全；洗衣機(jī)、超聲波清洗機(jī)等設(shè)備，進(jìn)行阻尼控制，大幅降低噪聲；航天飛行器在飛行過程中會受到各種激勵的作用，為了提高精密設(shè)備的可靠性，利用阻尼技術(shù)進(jìn)行減振降噪控制。

導(dǎo)致能量損耗的因素很多：材料內(nèi)部晶格的排列會使應(yīng)力和應(yīng)變產(chǎn)生一個相位差，從而導(dǎo)致交變應(yīng)力下能量的損耗；結(jié)構(gòu)各個部位的連接處的摩擦力也會導(dǎo)致能量的損耗；結(jié)構(gòu)外部的黏性介質(zhì)（氣體或液體）同樣會導(dǎo)致能量的損耗。此外，結(jié)構(gòu)的邊界約束條件也會導(dǎo)致能量的損耗。

從工程應(yīng)用的角度來說，阻尼是指一種工程結(jié)構(gòu)如何將廣義振動的能量轉(zhuǎn)換成可以耗損的能量，從而抑制振動、沖擊、噪聲。阻尼應(yīng)用包括兩個方面：一是由工程材料、工程結(jié)構(gòu)及與其相耦合的流體介質(zhì)因固有性質(zhì)所產(chǎn)生的能耗或阻尼；二是經(jīng)過設(shè)計，構(gòu)成新的或擴(kuò)大的耗能結(jié)構(gòu)，用以產(chǎn)生或增大阻尼。例如，在各種車輛的門設(shè)計中應(yīng)用阻尼，有效控制關(guān)門時產(chǎn)生的振動。

通常按照振動阻尼產(chǎn)生機(jī)理的物理現(xiàn)象進(jìn)行分類，阻尼可分為黏彈性阻尼、結(jié)構(gòu)阻尼、流體阻尼、其他阻尼，如圖1.1所示。

為了便于把握住阻尼的主要性質(zhì)，根據(jù)阻尼作用的主要形式，提出了各種阻尼模型。到目前為止，對于每種阻尼模型，還存在提出阻尼模型描述得仍不夠全面準(zhǔn)確，原因在于：阻尼力不像慣性力和彈性力，對應(yīng)于相應(yīng)的狀態(tài)變量（加速度和位移）。

在這些阻尼模型中具有共同特征：阻尼矩陣被表示為質(zhì)量、剛度矩陣、振型和頻率的函數(shù)。這樣做的意義在于：阻尼可以表示為幾個變量的函數(shù)，從而使阻尼具有明顯的物理意義，更重要的是，通過試驗數(shù)據(jù)可以識別模型中的幾個待定系數(shù)，從而確定整體結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣。

從上述分析可知，阻尼的性質(zhì)不同，所服從的規(guī)律也不一致，相應(yīng)的模型也有差異。因此，表示各種阻尼規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式比較復(fù)雜，不便于進(jìn)行分析，需要對阻尼簡化模型進(jìn)行研究，用能量等價的原則來簡化阻尼模型是一種有效的方法。常用的方法是將阻尼在振動一個周期內(nèi)所耗散的能量折算為當(dāng)量黏性阻尼。

1.1.1　黏彈性阻尼

1865年，Kelvin在預(yù)測一些簡單系統(tǒng)的自由振動衰減現(xiàn)象后，提出固體材料中存在內(nèi)阻尼。為了描述這種內(nèi)阻尼，借用了黏滯性模型，提出固體材料的內(nèi)阻尼與黏滯流體中的黏滯阻尼相似，與變形速度有關(guān)。1892年，Vougt發(fā)展并完成了此理論，形成黏彈性阻尼模型。

黏彈性阻尼是振動系統(tǒng)所受力的大小與運動速度成正比而方向相反的阻力引起的能量損耗。黏彈性阻尼發(fā)生在材料內(nèi)振動而產(chǎn)生形變的過程中。物體振動時，部分振動能量損耗在材料內(nèi)部的黏性內(nèi)摩擦作用上，并被轉(zhuǎn)換為熱能。采用線性阻尼的模型使得分析振動系統(tǒng)特性大為簡化。

在振動系統(tǒng)中,黏彈性阻尼是阻尼元件（或阻尼器）對于外力作用的響應(yīng),表現(xiàn)為阻尼元件端點的一定的移動速度。圖1.2（a）為阻尼器示意圖。它所受到的外力（或者其產(chǎn)生的阻尼力），是振動速度的函數(shù)，即

　　（1.1）

采用線性阻尼模型時，是的線性函數(shù)，如圖1.2（b）所示。

式（1.1）變?yōu)?/p>

　　（1.2）

式中，c稱為阻尼系數(shù)，其量綱為MT ^-1，通常取單位為N·s/m、N·s/cm、N·s/mm。阻尼系數(shù)c是使阻尼器產(chǎn)生單位速度所需施加的力。

振動系統(tǒng)振動時阻尼力所耗散的功為

　　（1.3）

其他形式的阻尼，可用一個周期內(nèi)所消耗的功來確定當(dāng)量黏彈性阻尼系數(shù)，把它等效成為黏彈性阻尼。

1.1.2　結(jié)構(gòu)阻尼

結(jié)構(gòu)阻尼簡單的理解就是結(jié)構(gòu)本身的、內(nèi)部的阻尼，是引起能量損耗的原因，主要有以下幾個方面：①由于材料的內(nèi)摩擦作用而使機(jī)械能逐漸轉(zhuǎn)化為熱能消失在周圍的介質(zhì)中, 這是能量耗散的主要原因；②周圍介質(zhì)對振動的阻尼；③節(jié)點、支座連接間的摩擦阻力, 主要是由構(gòu)件之間或構(gòu)件與支座間的相對運動所產(chǎn)生的；④通過支座基礎(chǔ)散失一部分能量。

1927年，Kimball和Lovell通過對18種不同的固體材料進(jìn)行實驗測試，認(rèn)為在彈性極限范圍內(nèi)，以往假定的黏彈性液體阻尼力的數(shù)學(xué)模型不適用于描述固體材料的內(nèi)阻尼。固體材料中阻尼力獨立于應(yīng)變速度，與應(yīng)變幅值相關(guān)。實驗測試中發(fā)現(xiàn)：每單位體積耗散的能量等于，即，其中為應(yīng)力幅值，q為比例因子，并稱為摩擦常數(shù)。

Becker和Fopple等人對大量金屬合金材料進(jìn)行實驗觀察，得出結(jié)論：結(jié)構(gòu)在做簡諧振動時，結(jié)構(gòu)阻尼力主要是振幅的函數(shù)，與頻率無關(guān)。1940年，T.Theodorsen和I.E.Garrick在分析飛機(jī)顫動問題時，根據(jù)Becker等人的實驗結(jié)論，提出做簡諧振動的結(jié)構(gòu)，其阻尼力與速度同相，大小與恢復(fù)力成正比。這一模型被廣泛用于航空領(lǐng)域。后來，又被人們引入到一般工程結(jié)構(gòu)分析中。由于此模型最初是針對實驗所用結(jié)構(gòu)的阻尼提出來的，故此阻尼模型被稱為結(jié)構(gòu)阻尼模型。

結(jié)構(gòu)材料實際上不是完全彈性的，在振動過程中也就是處在加載、卸載過程中。每一個振動周期引起一次滯后回線，結(jié)構(gòu)阻尼即由此產(chǎn)生。大量實驗指出，對于大多數(shù)結(jié)構(gòu)金屬（如鋼和鋁）。結(jié)構(gòu)阻尼在一個周期內(nèi)所消耗的能量與振幅的平方成正比，而且在很大一個頻率范圍內(nèi)與頻率無關(guān)。

根據(jù)能量等價原則，得出當(dāng)量黏彈性阻尼系數(shù)為

　　（1.4）

式中，q為比例因子；ω為振動頻率。

1.1.3　流體阻尼

工程實際中，各種結(jié)構(gòu)往往和流體介質(zhì)接觸，如橋梁結(jié)構(gòu)與河水相接觸、流體機(jī)械與油液相接觸、薄壁結(jié)構(gòu)與空氣相接觸等。大部分流體具有黏滯性，在運動過程中會耗損能量。如圖1.3所示，流體在管道中流動，如果流體不具有黏滯性，那么流體在管道中按同等速度運動，如圖1.3（a）所示；否則，管內(nèi)各處流體的流動速度是不等的，大多數(shù)情況下，管道軸線截面流體速度呈拋物面形，如圖1.3（b）所示。

當(dāng)物體以較大的速度在黏性較小的流體（如空氣、液體）中運動時，如圖1.3（b）所示，流體內(nèi)部的速度梯度、流體和管壁的相對速度均會因流體黏滯性產(chǎn)生能耗及阻尼作用，這就是由流體介質(zhì)所產(chǎn)生的阻尼。流體阻尼力始終與運動速度方向相反，而其大小與速度的平方成正比

　　（1.5）

式中，γ為常數(shù)；的方向與速度相反；sgn為符號函數(shù)，定義為。

流體阻尼力F_n在一個振動周期內(nèi)所耗散的能量為

　　（1.6）

式中，ω為振動頻率；X為位移幅值。

根據(jù)能量等價原則：一個振動周期內(nèi)由于流體阻尼力F_n所耗散的能量ΔE_c等于當(dāng)量的黏彈性阻尼所耗散的能量ΔE。

而

　　（1.7）

即式（1.6）與式（1.7）相等，可得到流體阻尼的當(dāng)量黏彈性阻尼系數(shù)為

　　（1.8）

1.1.4　其他阻尼

1.1.4.1　遲滯阻尼

在研究阻尼過程中，當(dāng)采用黏彈性阻尼模型時，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)每周期消耗的能量隨著系統(tǒng)運動頻率的增加而線性增加。結(jié)果與實驗事實不一致。為了解釋實驗事實，一些學(xué)者建議采用頻率相關(guān)阻尼或遲滯阻尼假設(shè)：材料應(yīng)力向量和應(yīng)變向量之間存在相位差，從而在一個運動周期中有能耗發(fā)生。按照這種假設(shè)，阻尼力可以表示為

　　（1.9）

式中，h為材料遲滯阻尼常數(shù)；ω為振動頻率；h/ω看作一個與頻率相關(guān)的阻尼因子，總內(nèi)力為

　　（1.10）

式中，k為彈簧剛度，從式（1.10）可以得到穩(wěn)態(tài)簡諧振動中，相應(yīng)的阻尼力的幅值與ω無關(guān)，而總內(nèi)力在力-位移平面上構(gòu)成的一個斜偏橢圓形滯后回線的面積也不再與ω有關(guān)，如圖1.4所示。從材料力學(xué)的材料加載、卸載曲線可以看出，對一種材料加載到超過彈性極限，然后卸載，并繼續(xù)往反方向加載，再卸載。一個循環(huán)過程中，應(yīng)力應(yīng)變曲線會形成一個滯后回線。滯后回線所包的陰影面積表示了材料在一個循環(huán)單位體積釋放的能量。這部分能量將變成熱能散失掉。

1.1.4.2　庫侖阻尼

在實際的振動系統(tǒng)中，除上述提到的阻尼外，還有其他能量損耗，如軸承內(nèi)或零件接合處的摩擦作用，如圖1.5所示。庫侖阻尼又稱干摩擦阻尼，節(jié)點、支座連接間的摩擦阻尼是由構(gòu)件與支座間的相對運動所產(chǎn)生的。質(zhì)量m與摩擦系數(shù)為μ的表面間產(chǎn)生庫侖摩擦力F_c=μmg，F_c始終與運動速度的方向相反，而大小保持為常值，即

　　（1.11）

sgn符號函數(shù)中，當(dāng)時，庫侖阻尼力是不定的，它取決于外力的大小，而方向與之相反。

在一個振動周期中振動系統(tǒng)由于庫侖阻尼力而耗散的能量為

　　（1.12）

根據(jù)能量等價原則，式（1.7）與式（1.12）相等，可以得到庫侖阻尼的當(dāng)量黏彈性阻尼系數(shù)為

　　（1.13）

1.1.4.3　比例及非比例阻尼

比例阻尼模型的出現(xiàn)完全是為了數(shù)學(xué)計算的方便。在求解多自由度系統(tǒng)運動方程時，由于質(zhì)量和剛度矩陣均具有帶權(quán)正交性，故質(zhì)量和剛度矩陣都可以對角化。但是，阻尼矩陣一般情況下都不具有這種正交性。因此，它不能對角化。在這種情況下，多自由度振動系統(tǒng)運動方程不能解耦成單自由度振動系統(tǒng)運動方程求解。為了使阻尼矩陣也可以解耦，Rayleigh首先提出了比例阻尼模型。Rayleigh阻尼理論認(rèn)為，阻尼矩陣C可以表示為質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的線性組合。

　　（1.14）

式中，、都是比例常數(shù)。

當(dāng)時，阻尼矩陣為剛度比例阻尼；當(dāng)時，阻尼矩陣為質(zhì)量比例阻尼。

由于給多自由度振動系統(tǒng)的計算帶來很大方便，Rayleigh阻尼模型至今仍被廣泛用于實際工程結(jié)構(gòu)的多自由度振動系統(tǒng)振動反應(yīng)分析中。然而，只有一少部分阻尼現(xiàn)象符合這種阻尼模型。大量試驗表明這種模型與結(jié)構(gòu)的阻尼比例測量結(jié)果在許多情況下不符。

Caughey等人在Rayleigh阻尼研究的基礎(chǔ)上，首先提出比例阻尼的精確定義，并給出比例阻尼系數(shù)判定準(zhǔn)則。若阻尼矩陣可以正交化為對角矩陣，該阻尼為正交阻尼或比例阻尼，否則稱為非比例阻尼。

考慮到本書在工程應(yīng)用中的特色，主要涉及黏彈性阻尼原理、材料、結(jié)構(gòu)、測量等，本書偏重黏彈性阻尼相關(guān)內(nèi)容。