1.2　振動

振動系統存在一定的內部或外部的阻力（內部阻尼或外部阻尼），以及具有一定的質量（或慣性）和彈性（或剛性）。與阻尼力相比，慣性力和彈性力在數值上較大。

描述振動系統的數學表達式能反映其振動特性，如振動的快慢、振動的大小等。描述振動特性的物理量（如位移、速度、加速度等）是隨時間變化的，振動過程是指振動的位移、速度、加速度、力和應變等物理量隨時間變化的歷程。振動過程有多種不同的分類方法：按照振動的規律分類，可分為確定性振動和隨機振動；按照產生振動的原因分類，可分為自由振動、強迫振動和自激振動；按照振動位移的特征分類，可分為縱向振動、彎曲振動/橫向振動和扭轉振動；按照振動系統的自由度分類，可分為單自由度系統的振動、多自由度系統的振動和彈性體振動；按照振動系統結構參數的特性分類，可分為線性振動和非線性振動等。

對于確定性振動可以表示成式（1.15）的函數形式，在任一給定瞬時t，都可以得到確定的物理量，也就是說振動是確定的或可以預測的。

　　（1.15）

在相等的時間間隔內做往復運動的振動，稱為周期振動。往復一次所需的時間間隔稱為周期，單位一般以秒（s）計。每經過一個周期后，運動便重復前一周期中的全部過程。周期振動可用時間的周期性函數表達：

（n=1，2，…） （1.16）

最簡單的周期振動是簡諧振動。周期振動可以看成各階簡諧振動的疊加。不能用式（1.16）表達的振動稱為非周期振動。周期振動是以一定的周期持續進行的等幅振動，因此也稱為穩態振動。而非周期性振動往往是經過一定時間后便逐漸消失，因此也稱為瞬態振動。

實際的振動系統往往是一個非線性振動系統，對于非線性振動系統必須用非線性方程來描述。為了便于把握問題的主要矛盾，往往運用線性振動系統來等效實際振動系統，運用相對完善成熟的線性振動理論解決實際機械振動系統的振動問題。同時，復雜的線性振動系統還可以通過疊加研究其特性。目前，基于非線性微小振動問題通過級數形式的近似解來解決，對于另一些非線性振動問題難以解決。隨著非線性理論的發展，非線性振動系統問題將逐步得到解決。本書主要討論線性振動系統，涉及非線性系統時另作說明。

對于線性振動系統,建模時常常按照自由度由少到多分類，即單自由度系統振動、多自由度系統振動和彈性體振動分類進行研究。單自由度系統振動是用一個獨立坐標就能確定的系統振動；多自由度系統振動是用多個獨立坐標才能確定的系統振動；彈性體振動是需要用無限多個獨立坐標（位移函數）才能確定的系統振動。彈性體振動也稱為無限自由度系統振動，而單自由度系統振動和多自由度系統振動都是有限自由度系統振動。另一種建模是按激勵、系統、響應三個方面進行，有利于研究非線性振動問題。

1.2.1　單自由度系統振動

單自由度系統振動是線性振動系統中最簡單的振動系統。單自由度振動系統不但具有一般振動系統的一些基本特性，同時，它是分析多自由度系統振動、彈性體振動，乃至非線性系統振動的基礎。

1）振動系統簡化。為了研究實際振動系統的振動特性，用簡化的物理模型來表征實際的振動系統，這個簡化的物理模型由3種理想化的元件組成：質量塊、阻尼器和彈簧，這3種理想化元件組成的單自由度振動系統如圖1.6所示。圖1.6（a）中，m表示質量塊，c表示阻尼器，k表示彈簧。單自由度振動系統中的質量塊、阻尼器、彈簧的意義分別為：質量塊對于外力作用的響應表現為一定的加速度；阻尼器對于外力作用的響應表現為其端點的一定的移動速度；彈簧對于外力作用的響應表現為一定的位移或變形。由于單自由度振動系統用一個獨立坐標就能確定系統振動，所以單自由度振動系統簡化的物理模型如圖1.6（b）所示。

2）單自由度振動系統的運動微分方程。圖1.6（a）是一個典型的單自由度振動系統，質量塊m直接受到外界激勵力F(t)的作用。對質量塊m水平方向進行受力分析，如圖1.6（b）所示，以x(t)表示以質量塊m的靜平衡位置為起點的位移，F_a(t)表示彈簧作用在質量塊m上的彈簧恢復力，F_d(t)則表示阻尼器作用在質量塊m上的阻尼力，按牛頓定律有

　　（1.17）

式中，m為質量塊的質量，其量綱為［質量］，通常取單位為kg或g。

由于彈簧所受外力F_a(t)是時間t的函數，對于線性系統，位移x可由時間t線性表示成x(t)，因此，彈簧所受外力可以用位移x表示，且F_a(t)是x(t)的線性函數，即

　　（1.18）

式中，k稱為彈簧剛度，其量綱為［力/長度］，通常取單位為N/m、N/cm或N/mm。

阻尼器作用在質量塊m上的阻尼力F_d(t)是振動速度的函數，即

　　（1.19）

式中，c稱為阻尼系數，其量綱為[力/速度]，通常取單位為N·s/m或N·s/mm。

當圖1.6所示系統在外界激勵力F(t) 作用下時，式（1.17）為

　　（1.20）

從數學上看，式（1.20）是一個二階常系數、非齊次線性常微分方程。系統參數m、c與k反映振動系統本身的固有特性，方程的右邊則是外界激勵力F(t)。

1.2.1.1　單自由度自由振動

圖1.6所示單自由度振動系統的外界激勵力F(t)為零時，稱為單自由度自由振動，其運動微分方程為

　　（1.21）

式（1.21）可以記成：

　　（1.22）

式（1.22）中

，，　　（1.23）

式中，ω₀為單自由度振動系統的角頻率；m、c、k分別為單自由度系統的質量、阻尼系數和剛度參數；ξ稱為阻尼比，為無量綱量，c₀為臨界阻尼系數。

　　（1.24）

f₀稱為單自由度振動系統的固有頻率，其單位為Hz或1/s，其周期為

　　（1.25）

設式（1.22）的解為

　　（1.26）

式中，X、s為待定常數，這里將X視為實數（振幅），而s為復數。

將式（1.26）代入式（1.22）中，得

　　（1.27）

由式（1.27）可解得兩個特征根

　　（1.28）

由式（1.28）可見，特征根s₁、s₂與ξ、ω₀有關，但其性質主要取決于ξ。

（1）當ξ = 0時，為等幅振動

此時，式（1.28）為

　　（1.29）

式（1.26）的兩個解為和。由于式（1.27）是齊次的，因此，利用疊加原理，得到式（1.22）兩個非復數線性無關解可表示為

　　（1.30）

　　（1.31）

式（1.22）的通解為

　　（1.32）

由式（1.32）整理，得

　　（1.33）

式中，X稱為振幅，φ稱為初相角。如圖1.7（a）所示。

（2）當0＜ξ＜1時，為欠阻尼情形

此時，式（1.28）為

　　（1.34）

記，則有

　　（1.35）

稱ω_d為阻尼自然頻率。

將式（1.35）代入式（1.26），得到

　　（1.36）

根據式（1.32），式（1.36）寫成

　　（1.37）

式中，X稱為振幅，φ稱為初相角。

式（1.37）用時域圖表示，如圖1.7（b）所示，單自由度有阻尼系統的振動是一種減幅振動，其振幅按指數規律衰減，阻尼比ξ值越大，振幅衰減越快；圖1.7（b）中振動的周期為，ω_d為阻尼自然頻率，而ω_d＜ω₀，即阻尼自然頻率低于無阻尼自然頻率。

對于單自由度振動系統，從衰減曲線［圖1.7（b）］上可以看出，其按指數規律衰減，任意兩個相鄰振幅之比稱為減幅系數，即為，減幅系數可以通過實驗測試，而阻尼比ξ難以確定。可以通過減幅系數與阻尼比之間的關系，由減幅系數確定阻尼比。

為便于計算，得到減幅系數的自然對數，稱為對數衰減率，記為δ：

　　（1.38）

即通過減幅系數計算得到對數衰減率，再由式（1.38）計算得到阻尼比ξ。（注：式（1.38）不適用于非線性系統的響應曲線）

（3）當ξ＞1時，為過阻尼情形，即振不起來

此時，式（1.28）為

　　（1.39）

將式（1.39）代入式（1.26），得到

　　（1.40）

式中，X₁、X₂為由初始條件確定的常數。式（1.40）用時域圖表示，如圖1.7（c）所示，此時系統不產生振動，很快就趨近到平衡位置。

（4）當ξ=1時，為臨界阻尼情形，也是振不起來

此時，式（1.23）有

　　（1.41）

c₀為臨界阻尼系數，由系統參數m、k確定，系統不產生振動，應用減振技術時，必須分清欠阻尼、過阻尼，情況不同，對策和概念完全不一樣。

1.2.1.2　單自由度強迫振動

圖1.6所示單自由度振動系統的外界激勵力F(t)不為零時，稱為單自由度強迫振動。強迫振動是指系統對于過程激勵的響應。實際的過程激勵往往復雜，為了掌握解決問題的方法，先研究一種最簡單的過程激勵——諧波激勵。諧波激勵的響應仍然是頻率相同的諧波，線性系統的諧波激勵還滿足疊加原理，因此，常常把復雜實際的過程激勵分解為一系列諧波激勵。

式（1.20）單自由度線性系統強迫振動的運動微分方程為

　　（1.42）

式中，f(t)應具有位移量綱，激勵函數f(t)與系統的響應x(t)均具有位移量綱。F為簡諧激勵力的力幅，有

　　（1.43）

式（1.43）表示與簡諧激勵力的力幅相等的恒力作用在系統上所引起的靜位移。

從另一種振動模型看m、c、k為系統物理參數，為位移響應。單自由度強迫振動系統的響應與振動系統固有頻率相同。

設式（1.42）的解為

　　（1.44）

將式（1.44）代入式（1.42）得

上式對于任意時刻t都成立，因此等號兩邊的系數必須相等，即有

　　（1.45）

式（1.45）的解為

　　（1.46）

　　（1.47）

從式（1.46）可以看出，振幅X與激勵的振幅A成比例，即

　　（1.48）

式中，是無量綱的，表示動態振動的振幅X較靜態位移A放大了多少倍，故稱為放大系數。

　　（1.49）

從式（1.49）中可以看出，對于不同的阻尼比ξ，與ω/ω₀之間存在一定的函數關系，ω/ω₀稱為頻率比，如圖1.8所示。

1）從式（1.49）可知，當ω=0時，，不同的ξ值的幅頻特性曲線從開始。當激勵頻率很低，即時，接近于1，這說明低頻激勵時的振動幅值接近于靜態位移。

2）當激勵頻率很高，即時，，且當時，，這說明在高頻激勵下，由于慣性的影響，系統來不及對高頻激勵作出響應，因而振幅很小。

3）在激勵頻率ω與固有頻率ω₀相近的范圍內，ω/ω₀≈1，曲線出現峰值，這說明此時動態效應很大，振動幅值高出靜態位移多倍。在這一頻率范圍內，曲線隨阻尼比ξ值的不同有很大差異。當ξ值較大時，峰值較低；當ξ值較小時，峰值較高。

4）將式（1.49）對ω求導并令其等于0，得的極大值點為

　　（1.50）

當激勵頻率等于ω_r時，取極大值，這種情況下的強迫振動稱為共振（一種強烈的振動），ω_r為共振頻率，為共振振幅。

在振動系統中，多數情況下應該防止或采取控制措施。例如，隔振系統和回轉軸系統中，工作頻率和工作轉速在各階固有頻率和各階臨界轉速的一定范圍之外。對于工作轉速超過臨界轉速的振動系統，振動系統在啟動和停機過程中，仍然要通過共振區，仍有可能產生較強烈的振動，必要時需采取抑制共振的減振、消振措施。而對于需要在近共振狀態下工作的振動系統，就是利用彈性力和慣性力基本接近于平衡及外部激振力主要用來平衡阻尼力的原理工作，因而所需激振力和功率較非共振類振動系統顯著減小。

根據、可知，共振頻率ω_r小于阻尼頻率ω_d，阻尼頻率ω_d小于無阻尼頻率ω₀，即

　　（1.51）

因此，共振并不發生在ω₀處，而是發生在略低于ω₀處，的峰值點隨ξ的增大向低頻方向移動。由式（1.50）可知，當時，即，系統不出現共振。

5）當ξ = 0時，共振頻率ω_r等于無阻尼頻率ω₀，此時，即振幅趨于無窮大。

6）幅頻特性曲線在共振區的形狀與阻尼比ξ的關系：ξ越小，共振峰越尖。因此，可以根據共振峰的形狀估算阻尼比ξ（詳見“第四章材料與結構阻尼性能的測量方法”中半功率帶寬法）。

當ξ很小，如ξ＜0.05時，，，記，Q稱為品質因數，則有

　　（1.52）

在峰值兩邊，等于的頻率ω₁、ω₂稱為半功率點，如圖1.9所示，ω₁與ω₂之間的頻率范圍(ω₂-ω₁)稱為系統的半功率帶寬。

根據半功率點特性，式（1.49）為

　　（1.53）

由于式（1.52）成立的條件為ξ很小，因此，有

或 　　（1.54）

從圖1.9可以看出，當ξ很小時，，則有，由式（1.54）可得，。

　　（1.55）

因此，通過激振實驗得到曲線后，獲得共振頻率和半功率帶寬，就可以計算得到系統的阻尼比ξ。

1.2.1.3　單自由度扭轉振動

前面研究的主要是質量塊、阻尼、彈簧組成的直線運動系統。在工程實踐中還有許多其他形式的振動系統，如內燃機的曲軸、輪船的傳動軸等。在運轉過程中常常產生扭轉振動。如圖1.10所示，圓盤在軸的彈性恢復力矩作用下在平衡位置附近做扭轉振動，其中OA為一鉛直圓軸，上端A固定，下端O固結一水平圓盤，圓盤對中心軸OA的轉動慣量為J。如果在圓盤的水平面內加一力偶，然后突然撤去，圓軸就會帶著圓盤做自由扭振。研究圓盤的運動規律，假設圓軸的質量可以略去不計，圓盤的位置可由圓盤上相對靜平衡位置轉過的角度θ決定，假定圓軸的扭轉剛度為k_r，扭轉剛度表示使圓盤產生單位轉角所需施加的力矩。根據剛體轉動特點和牛頓定律有

　　（1.56）

式（1.56）為單自由度系統扭轉振動的運動微分方程，其中，J、c_r、k_r分別為單自由度系統的轉動慣量、扭轉阻尼和扭轉剛度參數，其量綱分別為[轉動慣量]、[力/角速度]、[力/角度]，通常取單位分別為kg·m²、N·m·s/rad、N·m/rad。單自由度系統扭轉振動系統的角頻率為。

1.2.2　多自由度系統振動

振動系統的“自由度”定義為描述振動系統的位置或形狀所需要的獨立坐標的個數。例如，單自由度振動用一個獨立坐標就能確定系統振動，多自由度振動用多個獨立坐標才能確定其運動。

單自由度自由振動、強迫振動和扭轉振動模型是理想化振動系統模型。實際工程中大量的復雜振動系統往往需要簡化成多自由度系統才能反映實際問題的物理本質。兩自由度系統是多自由度系統的一個最簡單的特例。單自由度系統用質量塊、阻尼器和彈簧3種理想化的元件表示，而兩自由度系統或者多自由度系統用質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣3種理想化的元件矩陣表示。多自由度系統與兩自由度系統主要是自由度的擴充，在實際問題的等效處理、等效模型的求解、振動特性分析等沒有本質的區別。

1.2.2.1　兩自由度振動

圖1.11（a）是一個典型的兩自由度阻尼振動系統力學模型，質量塊m₁與m₂在水平方向分別用兩個剛度為k₁與k₃、阻尼為c₁與c₃的彈簧連接于左、右兩側的支承點，中間再用剛度為k₂、阻尼為c₂的彈簧相互連接，并只限于沿水平光滑平面做往復直線運動。m₁與m₂在任何時刻的位置由獨立坐標x₁(t)、x₂(t)完全確定。

以m₁與m₂的靜平衡位置為坐標原點。在振動過程中任一瞬時t，m₁與m₂的位置分別為x₁與x₂。在質量塊m₁的水平方向作用有彈性恢復力k₁x₁、k₂(x₂-x₁)，阻尼力、，外界激勵力F₁；質量塊m₂的水平方向則受到彈性恢復力-k₂(x₂-x₁)、k₃x₂，阻尼力、，外界激勵力F₂，方向如圖1.11（b）所示。取加速度和力的正方向與坐標正方向一致。根據牛頓運動定律可分別得到質量塊m₁與m₂的振動微分方程：

　　（1.57）

對式（1.57）進行移項得

　　（1.58）

式（1.58）中m₁與m₂的運動通過耦合項c₂與k₂相互影響。

根據質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣知識，將式（1.58）記成

　　（1.59）

式中，，，，，。

以上可以看出，質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣都是對稱矩陣，當且僅當它們都是對角矩陣時，式（1.59）才是無耦合的。位移向量和激勵力向量都是二維向量。

1.2.2.2　多自由度振動

確定振動系統的位置或形狀所需的獨立坐標稱為廣義坐標。廣義坐標的數目和自由度相等。一個振動系統的廣義坐標不是唯一的，可以用不同組廣義坐標來確定某振動系統，但不同組坐標寫出的運動方程的繁簡及其耦合方式并不相同。選擇廣義坐標確定振動系統的位置和形狀時，根據工程實際需要選擇合適的。

多自由度無阻尼系統與兩自由度無阻尼系統的建模、運動微分方程的求解、特性分析并沒有本質的差別，只是由于自由度數目的增加，在運動微分方程的求解、特性分析方面需要更有效的處理。多自由度系統的振動方程一般是一組相互耦合的常微分方程組。在系統微幅振動的情況下，這組微分方程式都是線性常系數的。

多自由度無阻尼系統運動微分方程建模時將以矩陣的形式表示振動方程式，對于建立的相互耦合的二階常微分方程組，可以采用直接求其分析解或數值解的方法進行研究，也可以采用另外一種便于分析的解法——振型疊加法。從計算的角度，振型疊加法的要點在于用振型矩陣進行一組坐標變換，將描寫系統的原有的坐標用一組特定的新的坐標來替代，這組新的坐標就是主坐標或正則坐標。采用主坐標或正則坐標就使系統的振動方程式變成一組相互獨立的二階常微分方程組，其中每一個方程式都可以獨立求解，就像一個單自由度系統的振動方程式一樣，這樣將多自由度系統的運動分析化簡成若干單自由度系統的運動分析。

如圖1.12所示彈簧質量系統的質點m₁、m₂、m₃受力情況，x₁、x₂、x₃分別為質點m₁、m₂、m₃偏離其各自平衡位置的位移，、、分別為各質量的加速度，F₁、F₂、F₃分別為作用于各質點上的外力，k₁x₁、k₂(x₂-x₁)、k₃(x₃-x₂)分別為彈簧k₁、k₂、k₃作用于各質點的恢復力，其符號由恢復力方向是否與各質點位移正方向一致或相反所決定。

根據牛頓運動定律可分別得到質點m₁、m₂、m₃的振動微分方程為

　　（1.60）

式（1.60）用矩陣形式表示為

　　（1.61）

式中，、、分別為位移、加速度、外力的列陣；、分別為質量矩陣、剛度矩陣；外力F₁、F₂、F₃可以是隨時間變化的任意函數。式（1.60）是系統在激振外力作用下的強迫振動微分方程。當外力為零時，式（1.60）變成三自由度無阻尼自由振動方程。

根據式（1.61）可以寫出n自由度無阻尼的自由振動微分方程式

　　（1.62）

式中，，，。

設式（1.62）的解為

　　（1.63）

式（1.63）為式（1.62）的解，表示系統偏離平衡位置做自由振動時，存在各x_i值均按同一頻率ω、同一相位角φ做簡諧振動。將式（1.63）代入式（1.62）中得

　　（1.64）

式（1.64）有非零解的條件是系數行列式等于零，即

　　（1.65）

式（1.65）稱為式（1.64）的特征方程式，將其展開后得到ω²的n次代數方程式

　　（1.66）

對于正定系統來說，系統只可能在穩定平衡位置附近做微小振動，不能遠移。式（1.66）有n個根均為正實根，它們對應于系統的n個自然頻率。假設各根互不相等，即沒有重根，因而可由小到大按次序排列為

其中，最低的頻率ω₁成為基頻，在工程應用中它是最重要的一個自然頻率。將各特征根分別代入式（1.64）便得到相應的解，其為系統模態向量或振型向量。自然頻率ω_i和模態向量構成了系統的第i階自然模態，它表征了系統的一種基本運動模式，即一種同步運動。n自由度系統一般有n種同步運動，每一種均為簡諧運動，但頻率ω_i不同，而且其振幅在各自由度上的分配方式，即模態向量也不相同。每一種同步運動可寫為

　　（1.67）

由于式（1.64）是齊次方程，式（1.67）n個解的線性組合仍為式（1.64）的解，因此,n自由度無阻尼的自由振動微分方程的通解為

　　（1.68）

式中，ω_i、由系統參數決定；φ_i、D_i(i = 1，2，…，n)為待定常數，由初始條件決定。

式（1.64）定義了一個n維廣義特征值問題，由它確定的特征值與特征向量分別與運動方程式（1.62）所描述的n自由度系統的n個自然頻率及模態向量相對應。

一個特征值只能確定特征向量的方向，不能確定其絕對長度。式（1.64）是齊次代數方程組，因此，如果是它的一個解，那么也必為其解，D_i是任意實數。

對于振動系統而言，模態向量的方向（即模態的各分量的比值）是由系統的參數與特征所確定的，即振動系統的振型是確定的，而振型向量的“長度”卻不能由特征值問題本身給出唯一的答案。這時，可以人為地選取模態向量的長度，這一過程稱為模態向量的“正規化”。正規化的方法之一是令模態向量的某一分量取值為1。

設ω_i、ω_j及、分別是多自由度系統的某兩個模態的自然頻率和模態分量，且ω_i≠ω_j，它們都滿足系統的特征值方程式（1.64），即有

　　（1.69）

　　（1.70）

將式（1.69）等號兩邊左乘并取轉置，式（1.70）等號兩邊左乘，對處理后的式子進行相減得

　　（1.71）

由于ω_i≠ω_j，必有

　　（1.72）

同理可得

　　（1.73）

式（1.72）與式（1.73）分別稱為模態向量對于質量矩陣、剛度矩陣的正交性。這就是對于通常意義下的正交性的一種自然推廣，即分別以[m]、[k]作為權矩陣的一種正交性。當[m]、[k]為單位矩陣時，式（1.72）與式（1.73）就退化為

　　（1.74）

設

　　（1.75）

由于[m]是正定的，故為一個正實數，稱M_i為第i階模態質量。

同理，設

　　（1.76）

由于[k]是正定的，故為一個正實數，稱K_i為第i階模態剛度。

將式（1.69）兩端左乘，得

　　（1.77）

由式（1.77）得

　　（1.78）

即第i階自然頻率平方值等于K_i除以M_i，這與單自由度系統情況類似。

模態向量的長度其實是不定的，因此可以對模態向量進行正規化，即將之除以對應的模態質量的平方根。對于經過正規化后的模態向量，有

　　（1.79）

由式（1.77）得

　　（1.80）

式（1.79）和式（1.80）稱為模態向量的一種正規化條件。

假定振動系統的n個自然頻率各不相等，對于模態向量的正交性與正規化條件可歸納為

　　（1.81）

　　（1.82）

將n個正規化的模態向量順序排列成一個方陣，就構成了n×n模態矩陣[A]，即

　　（1.83）

引入模態矩陣[A]以后，可以將式（1.81）及式（1.82）的2n²個等式歸納成兩個矩陣等式，即

　　（1.84）

　　（1.85）

式（1.85）中

稱為系統的特征值矩陣，而特征值問題可綜合成

　　（1.86）

工程實際中的多自由度系統具有阻尼，對于n自由度有阻尼系統的運動微分方程也可以用式（1.59）表示。此時式（1.59）中各質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣為

，，。

位移向量和激勵力向量為

，

從多自由度無阻尼系統的振動方程求解可知，方程的解為模態向量的線性組合，、經過運算可以變成對角矩陣,但阻尼矩陣一般不能變成對角矩陣。如果將阻尼矩陣近似地表示為質量矩陣與剛度矩陣的線性組合，即將阻尼近似為比例阻尼，此時，阻尼矩陣也可以變成對角矩陣。

工程中的振動系統在阻尼非常小的情況下，盡管阻尼矩陣不是對角矩陣，但在工程問題處理過程中，可以用一個對角矩陣形式的阻尼矩陣來近似等效，即將阻尼矩陣中的非對角元素改為零值。

1.2.2.3　連續系統振動

工程實際中的振動系統都是連續彈性體，其質量與剛度具有分布的性質，對連續彈性體上所有點的瞬時運行情況都掌握后，才能描述該連續彈性體。

為了把握工程實際中的主要問題，往往需要對連續彈性體進行適當簡化，用有限多個自由度的模型來進行等效分析，即將連續彈性體抽象為由一些集中質量塊和彈性元件組成的模型，得到連續彈性體主要的、即較低頻率的一些振動特性和規律，滿足工程實際需要。

具有分布物理參數（質量、剛度、阻尼）的連續彈性體是由無數個質點借彈性聯系組成的連續系統。它具有無限多個自由度，相應地具有無限多個固有頻率（特征根）與振型（模態向量）。研究連續彈性體的振動需用偏微分方程式來描述，提出3個假設：①連續彈性體均勻連續；②連續彈性體各向同性；③連續彈性體服從胡克定律。

連續彈性體包括弦、桿、梁、矩形平板等。下面介紹這些連續彈性體橫向振動和縱向振動。

（1）弦的振動

假設一根長為l、單位長度質量密度為ρ的繞性弦在張力T作用下被張緊，則弦的振動頻率及其振型為

　　（1.87）

式中，n表示第n階；，為沿弦傳播的波速。

　　（1.88）

式中，x表示離坐標原點的距離；B_n表示第n階振型的振幅最大值；Y_n(x)表示x處的振幅。

弦自由振動前三階振型示意圖如圖1.13所示。

（2）桿的縱向自由振動

假設一根細長的、沿長度勻質的桿l縱向自由振動，則桿的縱向振動頻率及其振型為

　　（1.89）

式中，n表示第n階；E為桿材料的楊氏模量；為桿單位體積的質量密度；為桿中波的傳播波速。

1）當桿兩端固定時。振動頻率參考式（1.89），兩端固定桿縱向自由振動前三階振型示意圖如圖1.14所示。

2）當桿左端固定、右端自由時：

　　（1.90）

左端固定、右端自由桿的縱向自由振動前三階振型示意圖如圖1.15所示。

3）當桿兩端自由時：

　　（1.91）

兩端自由桿的縱向自由振動前三階振型示意圖如圖1.16所示。

（3）梁的橫向振動

假設伯努利-歐拉梁在t時刻離坐標原點x處的截面上作用外力f(x,t)，單位長度的梁的質量為m(x)，梁橫截面抗彎剛度為EI(x)，則梁的橫向振動頻率及其振型為

1）兩端鉸支梁：

　　（1.92）

　　（1.93）

式中，l表示梁的長度；n表示第n階。

兩端鉸支梁前三階振型與圖1.13相似。

2）一端固支一端自由梁：

　　（1.94）

式中，當時，，；時，。

　　（1.95）

式中，；A₁為待定系數。

一端固支、一端自由梁自由振動前三階振型示意圖如圖1.17所示。

（4）平板的橫向振動

假設矩形平板（見圖1.18），在橫向靜載荷作用下橫向自由振動，對于不同的邊界條件（固定邊、簡支邊、自由邊），矩形平板有不同的固有頻率及振型，但只有四邊簡支的矩形板才能得到自由振動的精確解，如果矩形平板有一對簡支邊，問題也能簡化；如果矩形平板中沒有一邊簡支，只能得到自由振動的近似解。矩形平板自由振動的頻率及其振型如下。

1）四周簡支的矩形板：

　　（1.96）

式中，，其中E為矩形板材料的楊氏模量，μ為泊松比，h為板的厚度；a、b分別為板的長和寬；為單位體積矩形板的質量。

　　（1.97）

式中，為初始條件決定的常數。

四周簡支矩形板做主振動時，板上有若干條在任意時間t時撓度恒為零的線——節線。m和n分別表示矩形板振動時在x方向及y方向所形成的正弦半波的波數，如圖1.19所示四周簡支矩形板最初3個振型圖，m=1、n=1，矩形板在x方向和y方向各形成一個半波；m=1、n=2，矩形板在x方向形成一個半波，在y方向形成兩個半波。而(m-1)和(n-1)分別是x軸及y軸相平行的節線數。圖1.20為最初4個諧調的矩形板的節線圖，圖中虛線為振動的節線。

2）一對簡支邊，另一對邊任意的矩形板：

當另一對邊為自由邊時，矩形平板相當于簡支梁，矩形平板自由振動的頻率為

　　（1.98）

當另一對邊不全是自由邊時，矩形平板因剛度增加，矩形平板自由振動的頻率為

　　（1.99）

簡化的系統模型中有幾個集中質量，就需要幾個自由度，需要幾個獨立坐標來描述它們的運動，系統的運動方程是幾個二階相互耦合的常微分方程。除了這種將分布質量聚縮成集中質量的離散化方法以外，還可以采用其他一些近似方法（如瑞雷-李慈法、伽遼金法）將無限多自由度的連續彈性體簡化為多自由度系統。近幾十年來，隨著計算機的廣泛應用，又發展了一種高效的離散化處理方法——有限單元法。運用有限單元法，任何復雜的彈性結構的振動問題都可以離散化成為近似的多自由度系統的振動問題。

一個實際的振動系統，什么情況下可抽象化為離散系統，什么情況下應采用連續振動系統，取多少個自由度，都需要根據振動系統的具體結構、求解問題的性質、精度要求、解題的時間要求和所花的費用、解題者個人的經驗和習慣，以及所掌握的計算方法和計算工具等情況決定。