第2章　線性與非線性方程（組）的應用

2.1　線性方程組

【例2-1】求解三元一次方程組：

在命令行窗口輸入：

>>A=[2,1,-1;3,2,1;2,-1,2];  
B=[1,8,5]’;
x=A\B

按Enter鍵，得到：

x =  
　　0.9231  
　　1.4615
  　2.307

也可以是“B=[1;8;5];”。

2.1.1　細胞反應的元素衡算

【例2-2】以葡萄糖為基質進行面包酵母（S.cerevisiae）培養，培養的反應式可用下式表達：C6H12O6+3O2+aNH3→bC6H10NO3(面包酵母)+cH2O+dCO2，求計量關系中的系數a、b、c和d。

據平衡方程式可以得到4個線性方程式：

C: 6=6b+d

H: 12+3a=10b+2c

O: 6+2×3=3b+c+2d

N: a=b

寫成矩陣式：Ax=B

即　　　

當方程組有唯一解時應有x=A?1B。

調用線性方程組命令，在命令行窗口輸入：

>>A=[0 6 0 1;3 -10 -2 0;0 3 1 2;1 -1 0 0];  
B=[6;-12;6+2*3; 0];
x=A\B

按Enter鍵，并得到：

x =  
　　0.4800  
　　0.4800  
　　4.3200
  　3.1200

則方程聯立求解為a=b=0.48, c=4.32, d=3.12。上述反應計量關系式為C6H12O6+3O2+ 0.48NH3→0.48C6H10NO3(面包酵母)+4.32H2O+3.12CO2。

2.1.2　細菌共存數的確定

【例2-3】某實驗室有3種細菌，這些細菌需要3種食物飼養。每種細菌每天消耗不同食物情況見表2-1。若該實驗室每天能提供5500單位的食物Ⅰ、4600單位的食物Ⅱ、6600單位的食物Ⅲ。試確定每天3種細菌共存數量分別為多少？

表2-1　每種細菌每天消耗不同食物情況

設每天3種細菌共存數量分別為x1、x2和x3。可以得到3個線性方程式：

寫成矩陣式：Ax=B

即　

當方程組有唯一解時應有x=A?1B。

調用線性方程組命令，在命令行窗口輸入：

>>A=[2 3 4;0 5 3;5 3 3];　  
B=[5500;4600;6600];
x=A\B

按Enter鍵，運行結果：

x =  
　　600.0000  
　　500.0000
  　700.0000

意味著每天可以飼養600個細菌A、500個細菌B以及700個細菌C。

2.1.3　多級逆流萃取理論級數的確定

多級逆流萃取流程如圖2-1所示。原料液F從第n級進入，依次經過各級萃取，成為各級的萃余相，其溶質組成逐級降低；溶劑S從第1級進入系統，依次通過各級與萃余相逆向接觸，進行萃取，使得萃取相中的溶質組成逐級提高，最終獲得的萃取相溶質組成yn和萃余相溶質組成x1。

圖2-1　多級逆流萃取流程

【例2-4】以130kg/h的純乙酸戊酯為溶劑，從280kg/h的發酵液中萃取青霉素。欲通過多級逆流萃取，使原料液中的青霉素由0.030降至0.005（均為質量分數），分配系數K為2.0，試求理論級數。

由題意可知，F=280kg/h，S=130kg/h，xF =0.030kg青霉素/kg發酵液，x1=0.005kg青霉素/kg發酵液，yS=0，K=2.0。

根據圖2-1，對各級進行物料衡算：

第1級：，分配系數K=y/x，即

第i級：，即

第n級：，即

該問題是求解矩陣方程Ax=B。其中：

假設理論級數的初始值為3，進行計算，根據計算的x1值，試著增加或減少理論級數，再進行計算，直至期望值x1的實現。在命令行窗口輸入：

>>%3級萃取  
　　S=130;K=2;F=280;ys=0;xF=0.03;  
　　A=[-(S*K+F),F,0;  
　　　 S*K, -(S*K+F),F;  
　　　 0, S*K, -(S*K+F)];  
　　B=[-S*ys;0;-F*xF];
 　 x=A\B

按Enter鍵，運行結果：

x =  
　　0.0084  
　　0.0161
  　0.0233

可見，理論級數為3時，x1=0.0084（>0.005）,沒有滿足要求。在命令行窗口輸入：

>>% 6級逆流萃取  
A=[-(S*K+F),F,0,0,0,0;  
　S*K, -(S*K+F),F,0,0,0;  
　0, S*K, -(S*K+F),F,0,0;  
　0,0, S*K, -(S*K+F),F,0;  
　0,0,0, S*K, -(S*K+F),F;  
　0,0,0,0, S*K, -(S*K+F)];  
B=[-S*ys;0;0;0;0; -F*xF];
x=A\B

按Enter鍵，運行結果：

x =  
　　0.0053  
　　0.0102  
　　0.0148  
　　0.0190  
　　0.0230
 　 0.0266

可見，理論級數為6時，x1=0.0053（>0.005）,仍沒有滿足要求。

在命令行窗口輸入：

>> % 7級逆流萃取  
A=[-(S*K+F),F,0,0,0,0,0;  
　S*K,-(S*K+F),F,0,0,0,0;  
　 0,S*K,-(S*K+F),F,0,0,0;  
　0,0,S*K,-(S*K+F),F,0,0;  
　0,0,0, S*K, -(S*K+F),F,0;  
　0,0,0,0, S*K, -(S*K+F),F;  
　0,0,0,0,0, S*K, -(S*K+F)];  
B=[-S*ys;0;0;0;0;0; -F*xF];
x=A\B

按Enter鍵，運行結果：

x =  
　　0.0048  
　　0.0092  
　　0.0134  
　　0.0172  
　　0.0208  
　　0.0241
  　0.0271

由此可見，理論級數為7時，x1=0.0048（<0.005）,滿足要求。