第五節 直線與平面、平面與平面的相對位置
直線與平面、平面與平面的位置只有兩種可能：平行與相交，在相交中還包含著一種特殊情況——垂直。本教材分平行、相交、垂直三種情況進行討論。
一、直線與平面的位置
（一）直線與平面平行
如果直線與平面上的某一直線平行，則此直線與該平面互相平行。根據幾何條件及兩直線平行的投影性質，我們就能解決其作圖問題。
例2-6 如圖2-29所示，已知△CEF和直線AB，判斷直線AB和△CEF是否平行。
圖2-29 直線與平面平行的判斷
分析與作圖：根據能否在△CEF上作出與AB平行的直線，即可進行判斷。作圖步驟如下所示。
（1）在△CEF上作一輔助線CD // AB。先作出cd // ab，再作出CD的正面投影c'd'；
（2）判斷c'd'與a'b'是否平行。因為c'd'與a'b'不平行，則CD與AB不平行，所以直線AB與△CEF不平行。
例2-7 已知直線AB及點C，過點C作平面平行于AB（見圖2-30）。
圖2-30 過點作平行于直線的平面
分析與作圖：過C作直線CD // AB，則包含CD所作的平面均與AB平行，本題有多解。作圖步驟如下所示。
（1）過C作直線CD // AB；
（2）過C作直線CE，則DCE為所求平面。
（二）直線與平面相交
直線與平面如不平行，則一定相交，且直線與平面只能交于一點。該點是直線和平面的共有點，即該點既在直線上，又在平面內。因此，在求交點的作圖過程中，將涉及平面內的直線與點。
（1）直線與特殊位置平面相交
特殊位置平面總有一個投影有積聚性，因此當直線與它相交時，就可以利用積聚性從圖上直接得出其交點或交線。
如圖2-31所示，直線EF與水平面△ABC相交。e'f'與a'b'c'的交點k'便是交點K的正面投影。根據k'，可在ef上找出其水平投影k。點K即為直線EF與水平面△ABC的交點。
圖2-31 直線與平面交線的投影
如果直線與平面相交，則在投影圖中需判斷直線的可見性。投影圖中用粗實線和虛線來區別可見和不可見部分的投影，并利用重影點來判別其可見性。
以圖2-31中的水平投影為例。顯然，ef與△abc相重合的部分將產生可見性的問題，并且點k是可見與不可見部分的分界點。這里只有兩種可能：FK在△ABC上方而KE在下方，或者相反。圖中EF和BC是交叉兩直線，而ef與bc交叉重影于點1（2），在e'f'及b'c'上分別求出1'和2'，Ⅰ、Ⅱ即是位于同一條投射線上的一對重影點?？梢钥闯觯挥?span id="fhjzd4t" class="italic">EF上的點Ⅰ比BC上的點Ⅱ的Z坐標值要大些。因此，對水平投影而言，FK可見，而KE上被△ABC遮住的部分不可見。
因為正面投影與水平投影的可見性不一定相同，所以在判別了直線的水平投影的可見性之后，還得另行判別正面投影的可見性。
（2）直線與一般位置平面相交
當直線與平面均處于一般位置時，我們就不能利用積聚性來求交點，這就需要利用輔助平面。
例2-8 如圖2-32所示，直線AB與一般位置平面△DEF相交，求兩者交點投影。
分析與作圖：為求出其交點，總可找到一個包含AB直線的垂直面（如垂面R）。直線MN就是平面△DEF與輔助平面R的交線。交線MN與已知直線AB的交點K，即為直線AB與平面△DEF的交點。
根據以上分析，我們可以按照如下步驟求出線面交點。
首先，包含直線AB作一輔助平面（鉛垂面R），如圖2-32（c）所示；
其次，求出輔助平面R和平面DEF的交線MN，如圖2-32（d）所示；
再次，求出直線MN與直線AB的交點K，分別作出該點的兩面投影，如圖2-32（e）所示；
最后，利用重影點，判別直線AB正面及水平投影的可見性，如圖2-32（f）所示。
圖2-32 直線與一般位置平面的交點
（三）直線與平面垂直
若一直線垂直于平面內的任意兩條相交直線，則該直線垂直于此平面，同時垂直于平面內的一切直線。由此可知，一直線垂直于一平面，則該直線的正面投影必定垂直于該平面上正平線的正面投影，直線的水平投影必定垂直于平面上水平線的水平投影。反之，直線的正面投影和水平投影分別垂直于平面上正平線的正面投影和水平線的水平投影，則直線一定垂直該平面。
如圖2-33所示，直線AK是垂直于平面P的，那么它一定也垂直于該平面內過垂足的水平線CD。因此，可得依據直角投影定理可知AK⊥CD。由于同一平面內的一切水平線都互相平行，例如CD//EF//PH，故得AK⊥EF、AK⊥PH。因此可得下列結論：如果一直線垂直于一平面，即該直線的水平投影一定垂直于該平面內水平線的水平投影。同理，可得結論：如果一直線垂直于一平面，則該直線的正面投影一定垂直于該平面內正平線的正面投影。
圖2-33 直線垂直于平面的投影
例2-9 如圖2-34（a）所示，求點K到△ABC的距離。
圖2-34 點到平面的距離的投影
分析：距離問題其實是垂直問題。先過K作ABC的垂線，再求出垂足，最后利用直角三角形法求出垂線的實長。具體作圖步驟如下所示。
（1）在△ABC內引一條正平線AF，即過a作af∥XO，交bc于f，根據點的投影規律，作出F的正面投影f'，連接a'f'；在△ABC內引一條水平線AG，過a'作a'g'∥XO，交b'c'與g'，同樣根據點的投影規律，作出G的水平投影g，連接ag；
（2）過d'作d'e'⊥a'f'，過d作de⊥ag；
（3）使用輔助平面法，找出垂線與平面ABC的交點K；
（4）利用直角三角形法求得DK的實長，即為所求點D到平面距離。
二、平面與平面的位置
（一）平面與平面平行
如果一個平面內的相交兩直線對應地平行于另一個平面內的相交兩直線，則這兩個平面互相平行（見圖2-35）。根據上述的幾何條件和兩直線平行的作圖方法，就可解決平行兩平面的作圖問題。
圖2-35 平面與平面平行的投影
（二）平面與平面相交
平面與平面若不平行，則一定相交。兩平面的交線一定是一條直線，這條直線為兩平面所共有。因此，如果能設法求出兩平面的兩個共有點，或一個共有點和交線的方向，就可求出兩平面的交線。
（1）平面與特殊位置平面相交
特殊位置平面總有一個投影有積聚性，因此當平面與它相交時，就可以從圖上直接得出其交點或交線。圖2-36表示一個正垂面DEFG與一個水平面△ABC相交?？梢源_定其交線為正垂線，且正面投影積聚為一點，水平投影為mn。圖中的虛線表示了不可見部分。
圖2-36 水平面與一般位置平面投影（1）
圖2-37表示一般位置平面DEFG與一個水平面△ABC相交。因為△ABC的正面投影有積聚性，所以可直接求出DEFG的兩個邊DG和EF與△ABC的交點M和N，直線MN即為兩平面的交線。
圖2-37 水平面與一般位置平面交線投影（2）
（2）一般位置平面相交
求兩個一般位置平面相交，可利用求直線與一般位置平面交點的方法求兩平面的交線。圖2-38表示了求兩個三角形平面ABC與DEF交線的方法。我們取△DEF的邊DE和DF，分別求出它們與△ABC的交點。這兩個交點即兩平面的兩個共有點，然后連接兩點的同面投影就得兩平面的交線，并判斷可見性。
圖2-38 一般位置平面的交線投影
（三）平面與平面垂直
兩平面垂直相交是兩平面相交的一種特殊情形。如果一直線垂直于一平面，則包含此直線的所有平面都垂直于該平面，如圖2-39所示。反之，如果兩平面互相垂直，則從第一平面的任意一點向第二平面所做的垂線，必定在第一平面上。應用此幾何特性即可作圖，具體不再贅述。
圖2-39 平面與平面垂直