第四節　平面的投影

一、平面的表示法

投影在空間位置可用兩種方法來表示：一是幾何元素表示法，二是跡線表示法。各表示方法如下所述。

（一）幾何元素表示法

由幾何知識可知，不在同一直線上的三點可以確定一個平面。因此，在投影上可以用下列任一組幾何元素的投影表示平面：①不屬于同一直線的三點，如圖2-22（a）所示；②一直線和直線外一點，如圖2-22（b）所示；③相交兩直線，如圖2-22（c）所示；④平行兩直線，如圖2-22（d）所示；⑤任意平面圖形，如三角形、四邊形、圓形等，如圖2-22（e）所示。以上幾種確定平面的方法是可以相互轉化的，他們之間只是形式上的變化，表示的仍然是空間的同一個平面，并且以平面圖形表示平面最為常見。

（二）跡線表示法

平面與投影面的交線稱為平面的跡線。如圖2-23中的平面P，它與H面的交線稱為水平跡線，用PH表示；與V面的交線稱為正面跡線，用PV表示；與W面的交線稱為側面跡線，用PW表示。

跡線具有雙重性。跡線既是投影面內的一條直線，也是某個平面上的一直線。如圖2-23（a）中的PH既是H面上又是P平面上的一條直線，由于跡線在投影面內，便有一個投影和它本身重合，另外兩個重影與相應的投影軸重合。如圖2-23中的PH，其水平投影與PH重合，正面投影和側面投影分別與X軸和Y軸重合，一般不再標記。在投影圖上，通常只將跡線與自身重合的那個投影畫出，并用符號標記。這種跡線表示的平面稱為跡線平面。

一、各種位置平面及投影特性

在三投影面體系中，平面對投影面的相對位置分為三類：一般位置平面，對H、V、W投影面均傾斜；投影面垂直面，只垂直于一個投影面的平面；投影面平行面，只平行于一個投影面的平面。后兩類平面又叫特殊位置平面。

（一）一般位置平面

對三個投影面既不垂直也不平行的平面稱為一般位置平面，投影圖如圖2-24所示。一般位置平面在三個投影面上的投影既不反映實形，也不反映平面對投影面的傾角。

（二）投影面垂直面

垂直于某一個投影而傾斜于另外兩個投影面的平面稱為投影面垂直面。投影面垂直面根據他們所垂直的某一投影面的位置來命名。與正面垂直的平面叫正垂面，與水平面垂直的平面叫鉛垂面，與側面垂直的平面叫側垂面，如表2-3所示。

投影面垂直平面的投影特性有如下兩點。

（1）在所垂直的投影面上的投影積聚成一條直線，且與該投影面的兩個投影軸都傾斜，在另外兩個投影面上的投影反映類似形。

（2）在所垂直的投影面上的投影直線與該投影面上兩個投影軸的夾角，分別反映該平面對相應投影面的夾角。

（三）投影面平行面

平行于某一個投影面而垂直于其他兩個投影面稱為投影面平行面。投影面平行面根據他們所平行的某一投影面的位置來命名。平行于正面投影的平面叫做正平面，平行于水平面投影的平面叫做水平面，平行于側面投影的平面叫側平面。如表2-4所示，投影面平行平面的投影特性有如下兩點。

（1）在所平行的投影面上反應實形。

（2）在另外兩個投影面上分別積聚成一條直線，并且平行于相應的投影軸。

三、平面上的直線和點

（一）平面上的直線

如果直線在平面上，則該直線必經過平面上的兩個點，或者通過平面上一點，且平行平面上的一條直線。

如圖2-25所示，相交直線AB與BC構成一平面，在AB、BC上各取一點M和N，則過M、N兩點的直線一定在該平面內。其投影圖作法如圖2-25（b）所示。

（二）平面內取點

點在直線上，則該點必在平面內的某一直線上。因此，若在平面內取點，可先在平面上取一條直線，然后在直線上取點。如圖2-26所示，點L既在直線AB上，又在直線LK上，因此點L必在該相交直線確定的平面內。

例2-4　已知點K在平面ABC上，且知其正面投影k'，求它的水平投影k（見圖2-27）。

分析與作圖：因為K點在平面ABC上，所以過K點連接平面上點A，則點M必在平面ABC上。作圖步驟如下：

（1）連接a'k'，與b'c'相交于m'；過m'作XO的垂線，交bc于m點；

（2）連am并延長，依投影關系求出k。

例2-5　已知四邊形ABCD為平面圖形，按圖2-28所給條件，補全其正面投影。

分析與作圖：四邊形ABCD與△ABC屬同一平面，點D可看作是該面內一點，用上例所示方法，即可求得d'，進而作出四邊形ABCD的正面投影。作圖步驟如下。

（1）連AC的同面投影a'c'、ac；

（2）連接bd得到與ac的交點k，依據點的投影關系作出k'；

（3）連b'k'并延長，依投影關系求出d'；

（4）連a'b'c'd'，即得到平面ABCD的投影。