第三節(jié)　直線的投影

一、直線的投影

一般情況下，直線的投影仍然為直線，特殊情況下，它的投影可積聚為一點(diǎn)，如圖2-11所示。對(duì)于直線的投影，一般都是作出它的兩個(gè)端點(diǎn)的投影，然后連接兩點(diǎn)的同面投影，即得直線的投影。

（一）一般位置直線

所謂一般位置直線，是指直線既不是投影面的平行線，也不是其垂線；反之，則稱為特殊位置直線，即包括投影面平行線和垂線。圖2-12表示一般位置直線AB的三面投影。由于一般位置直線對(duì)三個(gè)投影面都傾斜，所以具有下列投影特性：三個(gè)投影都傾斜于投影軸且都小于實(shí)長(zhǎng)，三個(gè)投影與投影軸的夾角不反映直線對(duì)投影面的傾角。α、β、γ分別表示直線AB與H面、V面和W面的傾角，則直線AB的三面投影長(zhǎng)度與傾角的關(guān)系為：

ab=ABcosα，a'b'=ABcosβ，a″b″=ABcosγ。

（二）投影面平行線

平行于某個(gè)投影面，同時(shí)傾斜于另外兩個(gè)投影面的直線，統(tǒng)稱為投影面的平行線。按所平行的投影面不同，它又可以分為三種。

正平線——平行于V面，并與H、W面傾斜的直線。

水平線——平行于H面，并與V、W面傾斜的直線。

側(cè)平面——平行于W面，并與H、V面傾斜的直線。

投影面平行線見表2-1所示。

投影面的平行線投影特性如下所示。

（1）直線在所平行的投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，并且它與兩投影軸的夾角就是直線與相應(yīng)投影面的傾角。

（2）直線在另外兩個(gè)投影面的投影都小于空間線段的實(shí)長(zhǎng)，并且平行或垂直于相應(yīng)的投影軸。

（三）投影面垂直線

垂直于某個(gè)投影面的直線，并且與其他兩個(gè)投影面平行，稱為投影面垂直線。按所垂直的投影面不同，它又可以分為以下三種。

正垂線——垂直于V面，并與H、W面平行的直線。

鉛垂線——垂直于H面，并與V、W面平行的直線。

側(cè)垂線——垂直于W面，并與H、V面平行的直線。

投影面的垂直線投影圖見表2-2。

投影面垂直線投影特性如下所示。

（1）直線在所垂直的投影面上的投影，積聚為一個(gè)點(diǎn)。

（2）直線平行于另外兩個(gè)投影面上的投影，垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映實(shí)長(zhǎng)。

實(shí)際上，投影面垂直線是特殊的投影面平行線。

（四）求一般位置線段的實(shí)長(zhǎng)和傾角

一般位置線段的投影既不反映線段的實(shí)長(zhǎng)，也不反映線段對(duì)投影面的傾角。若要求一般位置線段的實(shí)長(zhǎng)及傾角，可采用直角三角形法。

分析與作圖：圖2-13空間直線AB和其水平投影ab構(gòu)成一個(gè)垂直于H面的平面ABba，過B作Bb⊥ba，AC⊥BC，則得直角三角形ABC，其中斜邊AB為實(shí)長(zhǎng)，直角三角形BC⊥ab，則另一直角邊BC=ZB-ZA，即AB兩點(diǎn)的Z坐標(biāo)差，斜邊與直角邊AC的夾角即為直線對(duì)H面的傾角。這種利用直線的某一投影及坐標(biāo)差構(gòu)成的直角三角形求線段實(shí)長(zhǎng)的方法統(tǒng)稱為直角三角形法。作圖過程如下所示。

以水平投影ab為一直角邊，以AB直線的Z坐標(biāo)差為另一直角邊，則斜邊即為直線的實(shí)長(zhǎng)，斜邊（實(shí)長(zhǎng)）與投影長(zhǎng)（ab）的夾角又為直線對(duì)H面的傾角。

二、直線上點(diǎn)的投影

直線與點(diǎn)的相對(duì)關(guān)系有兩種情況：點(diǎn)在直線上和點(diǎn)不在直線上。

如果點(diǎn)在直線上，則其投影必在該直線的同面投影上，且符合點(diǎn)的投影規(guī)律。如圖2-14點(diǎn)C在直線AB上，則點(diǎn)C的三面投影c、c'、c″符合點(diǎn)的投影規(guī)律。

直線上的點(diǎn)分割直線之比，在投影后保持不變。如圖2-14所示，投射線Aa'//Cc'//Bb'，Aa//Cc//Bb，Aa″//Cc″//Bb″，即：

AC∶CB=ac∶cb=a'c'∶c'b'=a″c″∶c″b″。

由此可見，如果點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線的同面投影上，且點(diǎn)分線段之比等于點(diǎn)的投影分線段投影之比。反之，如果點(diǎn)的各投影均在直線的同面投影上，且分直線各投影長(zhǎng)度成相同之比，則該點(diǎn)必在此直線上。該特性也稱為線段上的點(diǎn)分割該線段的定比性。

例2-1　如圖2-15所示，求作線段AB上點(diǎn)C，使ac∶cb=1∶2。

分析與作圖：根據(jù)定比性，ac∶cb=a'b'∶c'b'=1∶2，只要將ab或a'b'分成3（即1+2）等份即可求出c和c'。作圖步驟如下所示。

（1）自a引輔助線aB0；

（2）在aB0上截取三等份；

（3）連3、b，過1作3b的平行線得c=1c∩ab；

（4）由c求出c'。

三、兩直線的相對(duì)位置

空間兩直線的相對(duì)位置有三種情況：平行，相交和交叉（異面直線）。下面分別闡述兩直線平行、交叉和相交的投影特性。

（一）平行兩直線

如圖2-16所示，空間兩直線AB、CD相互平行，由于將兩直線向H面投影時(shí)所形成的兩平面ABab、CDdc是相互平行的，則ab//cd。同理，a'b'//c'd'，a″b″//c″d″。因此，可得出平行兩直線的投影特性：若空間兩直線相互平行，則其同面投影仍平行；反之，若兩直線的同面投影均平行，則兩直線在空間平行。若要在投影圖上判斷兩條直線是否平行，需要看它們的其他兩個(gè)同面投影是否平行。

互相平行的兩直線，如果垂直于同一投影面，則它們?cè)谂c之垂直的投影面上的投影積聚為兩點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的距離反映兩直線在空間的真實(shí)距離。

（二）相交兩直線

相交兩直線有如下投影特性：兩相交直線的同面投影必相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。交點(diǎn)將兩直線分別分成定比線段，在各自的投影上也分成相應(yīng)的同定比線段。反之，如果兩直線的各同面投影都相交，且各投影的交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則此兩直線在空間必相交，如圖2-17所示。

例2-2　如圖2-18所示，已知K為直線AB和CD的交點(diǎn)，求AB的正面投影a'b'。

分析與作圖：交點(diǎn)為兩直線所共有，且符合點(diǎn)的投影規(guī)律，據(jù)此可求得k'；B、K、A同屬一條直線，據(jù)此可求出b'，從而求得a'b'。具體作圖步驟如下：

（1）過k作OX軸的垂線，交c'd'于k'；

（2）連接a'k'并延長(zhǎng)；

（3）過b作OX軸的垂線并延長(zhǎng)，交a'k'延長(zhǎng)線于b'，a'b'即為所求。

（三）交叉兩直線

在空間中既不平行也不相交的兩直線成為交叉兩直線，即異面兩直線。如圖2-19所示。交叉直線有如下投影特性：交叉兩直線的投影可能會(huì)有一組或兩組互相平行，但是交叉兩直線的三組同面投影絕不會(huì)同時(shí)平行。若一組直線的一面投影為平行線，則一定要檢查所有投影面上的投影是否相互平行；如果其他兩組都平行，則該組直線為平行直線，反之如果不平行，則一定為交叉直線。

交叉兩直線的投影可以相交，但是投影的交點(diǎn)絕不會(huì)符合空間同一點(diǎn)的投影規(guī)律，兩交叉直線投影的交點(diǎn)實(shí)際上是兩直線對(duì)投影面的重影點(diǎn)。由圖2-19可以看出，Ⅰ、Ⅱ?yàn)閷?duì)H面的重影點(diǎn)，H面投影2比1靠上，所以屬于CD直線的Ⅱ點(diǎn)是可見的，屬于AB直線Ⅰ點(diǎn)是不可見的；Ⅲ、Ⅳ為對(duì)V面的重影點(diǎn)，因其V面投影3'比4'靠前，所以Ⅲ點(diǎn)可見，Ⅳ點(diǎn)不可見。

如何判別兩條直線是交叉直線呢？只要空間中兩直線既不平行也不相交，則必定為交叉兩直線。據(jù)此，可分別作出兩條直線的三面投影，判別是其是否既不平行也不相交，即可判斷是否為交叉直線。

（四）垂直兩直線

若兩直線垂直相交（交叉），其中有一條直線平行于某一投影面時(shí)，則此兩直線在該投影面上的投影互相垂直。反之，若相交（交叉）兩直線在某一投影面上的投影互相垂直，有一條直線平行于某一投影面時(shí)，則此兩直線在空間也一定互相垂直。如圖2-20所示，BC為平行于H面的直線，AB為一般位置直線，AB⊥BC，則ab⊥bc。

例2-3　如圖2-21所示，求點(diǎn)A到正平線BC的距離AD及其投影。

分析與作圖：點(diǎn)A到AB的距離AD⊥BC，因?yàn)?span id="o7cy9ri" class="italic">BC為正平線，所以在正面投影上能反映直角關(guān)系。作圖步驟如下：

（1）由a'作a'd'⊥b'c'，d'為垂足；過d'作XO的垂線交bc于d點(diǎn)，連接ad；

（2）使用直角三角形法求出AD的實(shí)長(zhǎng)。