第二節　點的投影

點是最基本的幾何元素，是確定直線和平面的基本要素。要掌握線、面和形體的投影的畫法，應首先掌握點的三面投影規律。

一、三投影面體系的建立

如圖2-4所示，相互垂直的三個平面組成三投影面體系，他們分別是：

（1）正面投影面——簡稱正面或V面；

（2）水平投影面——簡稱水平面或H面；

（3）側面投影面——簡稱側面或W面。

三投影面之間的交線稱為投影軸，分別是：

（1）OX軸——V面與H面的交線；

（2）OY軸——H面與W面的交線；

（3）OZ軸——V面與W面的交線。

三投影軸的交點稱為原點，一般用字母O表示。

二、點的三面投影

空間點A位于V面、H面和W面構成的三投影面體系中。由點A分別向V、H、W面作正投影，依次得點A的正面投影a'，水平投影a，側面投影a″，如圖2-5所示。

為使三個投影面展到同一平面上，現保持V面不動，使H面繞OX軸向下旋轉到與V面“共面”，使W面繞OZ軸向右旋轉到與V面“共面”，這樣得到點的三面投影圖［見圖2-5（b）］。在實際畫圖時，不畫出投影面的邊框［見圖2-5（c）］。在這里值得注意的是：在三面體系展開的過程中，Y軸被一分為二。Y軸一方面隨著H面旋轉到YH的位置，另一方面又隨W面旋轉到YW的位置。

三、點的投影規律

分析圖2-5（a），以A為頂點的平行六面體的幾何關系可以得出，點A的三個投影之間有如下投影規律。

點的投影連線必定垂直于相應的投影軸，即

a'a⊥OX；　a'a″⊥OZ　；　a″a⊥OY。

點的投影到投影軸的距離，等于該空間點到相應投影面的距離，即

a'ax=a″ay=A點到H面的距離Aa；

aax=a″az=A點到V面的距離Aa'；

aay=a'az=A點到W面的距離Aa″。

四、點的三面投影與直線坐標的關系

如圖2-6所示，點的投影可以用直角坐標表示，如果將三投影面體系看作是直角坐標系，那么三個投影面就相當于三個坐標面，三個投影軸就相當于三個坐標軸，投影原點就相當于坐標原點，則空間點A到三個坐標面的距離，等于空間點A到三個投影面的距離，也就是點A的三個坐標。

X坐標=點A到W面的距離，即有aza'=aya=a″A=x；

Y坐標=點A到V面的距離，即有axa=aza″=a'A=y；

Z坐標=點A到H面的距離，即有axa'=aya″=aA=z。

由于每個投影可反映點的兩個坐標，那么，點的兩個投影就可以反映該點的三個坐標。因此，若已知點的兩個投影，就可以利用投影規律求出第三個投影。

五、投影面上及投影軸上點的投影

因為每個投影面都可看作坐標面，而每個坐標面都是由兩個坐標軸決定的，所以空間點在任一個投影面上的投影，只能反映其兩個坐標，即：

V面投影反映點的X、Z坐標；

H面投影反映點的X、Y坐標；

W面投影反映點的Y、Z坐標。

投影面上的點的投影如圖2-7和圖2-8所示，點A在V面上，點B在H面上。他們反映的共同特點就是有一個坐標值為零，其投影特點為在該投影面上的投影與該點重合，在另外兩個面上的投影分別在相應的投影軸上。

投影軸上的點的投影如圖2-8所示，點C在X軸上，其特點是兩個坐標值為零。其投影特點為在該軸所屬的投影面上的投影與該點重合，另外一個面上的投影在原點。

六、兩點的相對位置

空間兩點的左右、前后和上下位置關系可以用它們的坐標大小來判斷。具體關系如下：

X坐標大者為左，反之為右；

Y坐標大者為前，反之為后；

Z坐標大者為上，反之為下。

由此可知圖2-9中的點A與點B相比，A在左、前、下的位置，而B則在點A的右、后、上方。

七、重影點的投影

如圖2-10所示，A、B兩點位于垂直于V面的同一投射線上，這時a'、b'重合，A、B稱之為對V面的重影點。同理可知對H面及對W面的重影點。

對V面的一對重影點是正前、正后方的關系；

對H面的一對重影點是正上、正下方的關系；

對W面的一對重影點是正左、正右方的關系。

其可見性的判斷依據其坐標值。X坐標值大者遮住X坐標值小者；Y坐標值大者遮住Y坐標值小者；Z坐標值大者遮住Z坐標值小者。被遮的點一般要在同面投影符號上加圓括號，以區別其可見性，如（b'）。