第三節 切 割 體
在物體上經常出現平面與平面立體表面相交或與回轉體表面相交的情況。交線是平面與立體表面的共有線。繪圖時，為了清楚地表達物體的形狀，必須正確地畫出其交線的投影。平面與立體表面的交線在一般情況下是不能直接畫出來的，因此必須先設法求出屬于交線上的若干個點，然后把這些點連接起來。
當平面切割立體時，與立體表面所形成的交線稱為截交線；切割立體的平面稱為截平面；因截平面的截切在立體表面上被截交線圍成的平面稱為截斷面。
一、平面切割平面立體
平面立體被截切產生的截交線是由直線組成的平面多邊形。多邊形的邊是立體表面與截平面的交線，而多邊形的頂點則是立體棱線與截平面的交點。截交線既在立體表面上，又在截平面上，所以它是立體表面和截平面的共有線，截交線上的每一點都是它們的共有點。因此，求截交線實際上是求截平面與平面立體棱線的交點，或求截平面與平面立體表面的交線。
（1）截交線的性質 平面立體被平面截切時，立體表面形狀的不同和截平面相對于立體的位置不同， 所形成截交線的形狀也不同，但任何截交線均具有以下兩個性質：
①封閉性——截交線是封閉的平面多邊形；
②共有性——截交線是截平面與立體表面的共有線。
（2）畫截交線的一般方法
①空間分析。分析截平面與立體的相對位置，確定截交線的形狀；分析截平面與投影面的相對位置，確定截交線的投影特征。
②畫投影圖。求出平面立體上被截斷的各棱線與截平面的交點，然后順次連接各點成封閉的平面圖形。求各棱線與截平面的交點的方法叫做棱線法。
1.平面切割棱柱
【例3-6】 如圖3-17（a）所示，已知正五棱柱被正垂面截切掉左上方的一塊，被切割掉的部分用雙點畫線表示，完成立體被截切后的三面投影。
圖3-17 平面切割正五棱柱的三視圖
解：
（1）分析 由圖可知，正五棱柱被正垂面截切，截交線的正面投影積聚為一條直線。水平投影除頂面上的截交線外，其余各段截交線都積聚在正五邊形上。
（2）作圖步驟 畫出正五棱柱輪廓線的側面投影，由截交線的正面投影可得截平面的各個頂點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ的正面投影1'、2'、3'、4'、5'，在水平面和側面相應的棱線上求得Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ的水平投影1、2、3、4、5，側面投影1″、2″、3″、4″、5″，依水平投影的順序連接側面投影各交點，可得截交線的投影。正五棱柱輪廓線的側面投影被截去的部分用雙點畫線表示。
（3）判別可見性 俯視圖、左視圖上截交線的投影均為可見，在左視圖中右后棱線的投影不可見，應畫成虛線。作圖步驟如圖3-17（b）所示。
2.平面切割棱錐
【例3-7】 如圖3-18（a）所示，已知正三棱錐被正垂面截切，求截切后的水平投影和側面投影。
圖3-18 平面切割正三棱錐的三視圖
解：
（1）分析 截平面為正垂面，截交線的正面投影積聚為直線。截平面與三條棱線相交，從正面可以直接找出交點，交點的另外兩面投影必在各棱線的同面投影上。
（2）作圖步驟 在正面投影中相應的棱線上求出截平面與棱線的交點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1'、2'、3'，在側面相應的棱線上求得Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的側面投影1″、2″、3″，根據點的投影規律，可以作出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的水平投影1、2、3，判斷可見性后，依次連接各點的同面投影，即得截交線的三面投影。作圖步驟如圖3-18（b）所示。
二、平面切割回轉體
平面與回轉體相交，截交線通常是一條封閉的平面曲線。截交線的形狀與回轉體的幾何性質及其與截平面的相對位置有關。
（1）截交線的性質 平面切割回轉體產生的截交線有如下性質：
①截交線是截平面和回轉體表面的共有線，截交線上有點是它們的共有點；
②截交線是封閉的平面圖形；
③截交線的形狀，取決于回轉體的幾何性質及截平面對回轉體軸線的相對位置。
（2）求截平面的方法和步驟 截交線上有一些能確定其形狀和范圍的特殊點，包括轉向輪廓線上的點（可見與不可見的分界點）和極限位置點（最高、最低、最左、最右、最前、最后點）等，其他的點為一般點。求截交線時，通常先作出這些特殊點，然后按需要再求作若干一般點，最后依次光滑連接各點的同面投影，并判別可見性。當截平面為特殊位置平面時，截交線的投影就積聚在截平面具有積聚性的同面投影上，可利用在回轉體表面上取點的方法求作截交線。
具體步驟如下：
①分析回轉體的幾何性質、截平面與投影面的相對位置、截平面與回轉體軸線的相對位置，初步判斷截交線的形狀及其投影；
②求出截交線上的點，首先找特殊點，然后按需要再補充若干一般點；
③補全輪廓線，光滑地連接各點并判別可見性，求得截交線的投影。
1.平面切割圓柱體
平面與圓柱體相交，截交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對位置。平面截切圓柱體截交線的形式有三種，見表3-1。
表3-1 平面與圓柱體相交
【例3-8】 如圖3-19（a）、（b）所示，已知斜切圓柱體的水平投影和側面投影，求作其正面投影。
解：
（1）分析 圓柱的軸線是鉛垂線，截平面為側垂面，斜切圓柱體的截交線為橢圓。
截交線的側面投影積聚為直線，水平投影積聚在圓周上，正面投影為橢圓。
（2）作圖步驟
①求特殊點。截交線最前素線上的點Ⅰ和最后素線上的點Ⅲ 分別是截交線的最低點和最高點。截交線最右點Ⅱ和最左點Ⅳ分別是最右素線和最左素線與截平面的交點。作出點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的側面投影1″、2″、3″、4″，根據從屬關系求出點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的水平投影1、2、3、4和正面投影1'、2'、3'、4'。如圖3-19（c）所示。
②求一般點。從側面投影上選取點A、B、C、D的側面投影a″、b″、c″、d″，然后根據俯、左視圖寬相等，前后對應的原則，求得點A、B、C、D的水平投影a、b、c、d，根據點的投影規律，求出點A、B、C、D的正面投影a'、b'、c'、d'。如圖3-19（d）所示。
③按截交線的順序，光滑地連接各點的正面投影。正面投影的輪廓線畫到2、4為止，并與橢圓相切，如圖3-19（e）所示。
圖3-19 斜切圓柱體的截交線
【例3-9】 如圖3-20（a）所示，已知帶切口圓柱體的正面投影和水平投影，求作其側面投影。
解：
（1）分析 圓柱體上部被四個截平面截切，下部被三個截平面截切，為左右對稱的圖形。其中豎直的四個面是平行于圓柱軸線的側平面，它們與圓柱面的截交線為兩條鉛垂線，與頂面的截交線為正垂線。其余三個截平面是垂直與圓柱軸線的水平面，它們與圓柱面的截交線為圓弧。側平面與水平面間產生的交線均為正垂線。
（2）作圖步驟 在正面和水平面上找出點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ的正面投影和水平投影1'、2'、3'、4'、5'、6'、7' 和1、2、3、4、5、6、7，根據點的投影規律作出點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ的側面投影1″、2″、3″、4″、5″、6″、7″，按順序依次連接各點，如圖3-20（b）所示。
（3）判別可見性 圓柱下部截平面交線的側面投影為不可見，應畫成虛線。擦去不必要的圖線，校核加深，如圖3-20（c）所示。
圖3-20 帶切口圓柱體的投影
【例3-10】 如圖3-21（a）所示，已知圓柱體被三個平面截切后的正面和側面投影，求其水平投影。
解：
（1）分析 圓柱的軸線是側垂線，截斷體分別被側平面、正垂面、水平面截切圓柱體而成。側平面與圓柱軸線相垂直，截交線為圓弧，其正面投影、水平投影均為直線，側面投影為圓弧。正垂面與圓柱軸線相傾斜，截交線為部分橢圓，正面投影為直線，側面投影與圓重合，水平投影為橢圓弧。水平面與圓柱軸線相平行，截交線為矩形，水平投影為矩形，正面投影、側面投影均為直線。
（2）作圖步驟
①求特殊點。側平面截切圓柱所形成截交圓弧的最高點Ⅰ和前后兩端點Ⅱ、Ⅲ的側面投影1″、2″、3″和正面投影1'、2'、3' 可直接求出，并根據兩面投影求出其水平投影1、2、3。Ⅱ、Ⅲ點也是部分橢圓的兩個端點，另外兩個端點Ⅳ、Ⅴ正面投影4'、5' 和側面投影4″、5″可直接求出，并根據兩面投影求出其水平投影4、5。點Ⅵ、Ⅶ是部分橢圓短軸的端點，也是截交線的最前點和最后點。其正面投影6'、7' 和側面投影6″、7″可直接求出，根據兩面投影求出其水平投影6、7。水平面與圓柱的截交線是矩形，點Ⅳ、Ⅴ是矩形截交線的兩個端點，另外兩個端點Ⅷ、Ⅸ的正面和側面的投影也可以直接求出，并根據兩面投影求出水平投影，如圖3-21（b）所示。
②求一般點。圓弧和矩形的截交線不需要一般點。在截交線的橢圓部分選A、B、C、D四點，可直接求出其正面和側面的投影a'、b'、c'、d' 和a″、b″、c″、d″，并根據其兩面投影求出水平投影a、b、c、d，如圖3-21（c）所示。
（3） 用光滑的曲線連接各點的水平面投影，并補全輪廓線。水平投影轉向輪廓線畫到6、7為止，并與橢圓相切，如圖3-21（d）所示。
圖3-21 截切圓柱體的投影
2.平面切割圓錐體
根據截平面與圓錐體的截切位置和與軸線傾角的不同，截交線有五種不同的情況，見表3-2。
表3-2 平面與圓錐的交線
【例3-11】 如圖3-22（a）所示，已知圓錐體的正面投影和部分水平面投影，補全平面截切圓錐體的水平投影和側面投影。
解：
（1）分析 圓錐體的軸線為鉛垂線，截平面與圓錐軸線的傾角大于圓錐母線與軸線的夾角，所以截交線為橢圓。由于截平面是正垂面，截交線的正面投影為直線，水平投影和側面投影均為橢圓。
（2）作圖步驟
①求特殊點。截交線的最低點Ⅰ和最高點Ⅱ，是橢圓長軸的兩個端點，它們的正面投影1'、2' 可以直接求出，水平投影1、2和側面投影1″、2″按點從屬于線的關系求出。截交線的最前點Ⅴ和最后點Ⅵ，是橢圓短軸的兩個端點，它們的正面投影為1'2'的中點，利用“緯圓法”可以求出它們的水平投影5、6和側面投影5″、6″。圓錐體最前、最后素線與正面投影的交點3'、4' 可以直接求出，水平投影3、4和側面投影3″、4″可按點從屬于線的關系求出，如圖3-22（b）所示。
②求一般點。在正面投影中，選擇適當的位置作截平面上的點a'、b'，利用“輔助緯圓法”可以求出它們的水平投影a、b和側面投影a″、b″，如圖3-22（c）所示。
③用光滑的曲線連接各點同面投影，求出截斷體的水平投影和側面投影，并補全輪廓線，側面投影輪廓線畫到3″、4″，并與橢圓相切，如圖3-22（d）所示。
圖3-22 斜切圓錐體的截交線
【例3-12】 如圖3-23（a）所示，已知圓錐體的側面投影和部分正面投影，補全平面截切圓錐體的水平投影和正面投影。
解：
（1）分析 截平面為不過錐頂而平行于圓錐軸線的正平面，截交線為雙曲線，其側面和水平投影積聚為直線，正面投影為雙曲線。
（2）作圖步驟
①求特殊點。在側面投影上找出截平面與圓錐最前素線的交點1″及雙曲線與圓錐底面的交點2″、3″，由它們的側面投影可以直接求出其水平投影1、2、3和正面投影1'、2'、3'， 如圖3-23（b）所示。
②求一般點。在側面投影中取一般點a″、b″，利用“緯圓法”可以求出它們的水平投影a、b和正面投影a'、b'，如圖3-23（c）所示。
③用光滑的曲線連接各點的同面投影，求出截交線的水平和正面投影， 如圖3-23（d）所示。
圖3-23 被截切圓錐體的截交線
3.平面切割球體
平面與圓球相交，不論截平面處于什么位置，其截交線都是圓。當截平面平行于某一投影面時，截交線在該投影面上的投影為圓，在另外兩個投影面上的投影積聚為直線。當截平面垂直于某一投影面時，截交線在該投影面上的投影積聚為直線，在另外兩個投影面上的投影為橢圓。
【例3-13】 如圖3-24（a）所示，已知圓球體被截切后的正面投影，求作其水平投影。
解：
（1）分析 截平面為正垂面，截交線的正面投影積聚為直線，水平投影為橢圓。
（2）作圖步驟 截交線的最低點Ⅰ和最高點Ⅱ是截交線的最左點和最右點，也是截交線水平投影橢圓短軸的兩個端點，水平投影1、2在正平面大圓的水平投影上。1' 2' 的中點3' （4'）是截交線水平投影橢圓長軸兩個端點的正面投影，其水平投影3、4可利用“輔助緯圓法”求出。Ⅴ、Ⅵ為截平面與圓球側平面大圓的交點，其水平投影5、6可利用“輔助緯圓法”求出。Ⅶ、Ⅷ為截平面與圓球水平大圓的交點，可直接作出其水平投影，如圖3-24（b）所示。
用光滑的曲線連接各點的同面投影，得到截交線的水平投影，補全外形輪廓線，其輪廓線大圓畫到7、8兩點為止，如圖3-24（c）所示。
此題由于特殊點較為勻稱的出現在了圖形上，可不作一般點。
圖3-24 斜切圓球的截交線
【例3-14】 如圖3-25（a）所示，已知帶通槽半球的側面投影，完成其水平投影和正面投影。
解：
（1）分析 半球被三個平面截切，分別為一個水平面和兩個正平面。正平面與球面的截交線為一段圓弧，正面投影反映實形，與水平截平面的交線為側垂線。水平截平面與球面的截交線為兩段圓弧，水平投影反映實形，截交線圓弧的半徑可以根據截平面位置來確定。
（2）作圖步驟 正平面截切圓球所形成截交圓弧的最高點Ⅰ和前后兩端點Ⅱ、Ⅲ的側面投影1″、2″、3″可直接求出，利用“輔助緯圓法”和點的投影特性可以求出其水平投影1、2、3和正面投影1'、2'、3'。水平截平面的最前和最后點Ⅳ、Ⅴ的側面投影4″、5″可直接求出，根據點的投影特性可以求出其水平投影4、5和正面投影4'、5'，如圖3-25（b）所示。
由于此圖形前后對稱，所以只作出圖形的后半部分就可得出整個圖形的三面投影。正面投影中2' 3' 線不可見，球的輪廓大圓只畫到4'、5' 處，如圖3-25（c）所示。
圖3-25 帶通槽半球的三面投影