*§4　條件數(shù)學(xué)期望

現(xiàn)將兩個(gè)球隨機(jī)地投入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，Xi表示第i個(gè)盒子內(nèi)球的個(gè)數(shù)（i=1，2）。試求，在第2個(gè)盒子中有一個(gè)球的條件下第1個(gè)盒子內(nèi)球的個(gè)數(shù)的平均值。

首先，可以求出（X1，X2）的聯(lián)合分布及其關(guān)于X2的邊緣分布，見下表

再者，求出在X2=1條件下關(guān)于X1的條件分布

這樣，可以求出在X2=1條件下，關(guān)于X1的平均值，記為E（X1｜X2=1），即

一般地，設(shè)（X，Y）是二維離散型隨機(jī)變量，P{X=xk｜Y=y}是在Y=y條件下隨機(jī)變量X的條件分布律，X在條件分布律P{X=xk｜Y=y}下的數(shù)學(xué)期望，稱為隨機(jī)變量X在條件Y=y下的期望，記作E（X｜Y=y），即

同樣，對二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y），若fX｜Y（x｜y）是在Y=y條件下隨機(jī)變量X的條件概率密度，X在條件密度fX｜Y（x｜y）下的數(shù)學(xué)期望，稱為隨機(jī)變量X在條件Y=y下的期望，記作E（X｜y），即

顯然，無論是離散型還是連續(xù)型隨機(jī)變量，E（X｜Y=y）是Y的函數(shù)，記作ψ（Y），它是隨機(jī)變量Y的函數(shù)。所以，ψ（Y）也是隨機(jī)變量。

定義4.1　設(shè)（X，Y）是二維離散型隨機(jī)變量，P{X=xk｜Y=y}（k=1，2，…）是在Y=y條件下隨機(jī)變量X的條件分布律，若級(jí)數(shù)絕對收斂，則稱隨機(jī)變量ψ（Y）是X關(guān)于Y的條件期望，記作E（X｜Y），即

　　 （4.1） 　　

定義4.1'　設(shè)（X，Y）是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，fX｜Y（x｜y）是在Y=y條件下隨機(jī)變量X的條件概率密度，若積分絕對收斂，則稱隨機(jī)變量ψ（Y）是X關(guān)于Y的條件期望，記作E（X｜Y），即

　　 （4.2） 　　

注　當(dāng)Y=y時(shí)，ψ（y）是X在Y=y條件下的條件期望值，是X關(guān)于Y的條件期望這一隨機(jī)變量ψ（Y）的取值。

同樣可以定義Y關(guān)于X的條件期望φ（X），記作E（Y｜X），其中φ（x）=E（Y｜X=x）。

【例1】　設(shè)X～P（λ1），Y～P（λ2），且X與Y相互獨(dú)立，求在X+Y=k（k為非負(fù)整數(shù)）下X的條件數(shù)學(xué)期望。

　　 解　因?yàn)?nbsp;

【例2】　設(shè)，求E（Y｜X）。

解　由第二章§3例9知，在X=x下Y的條件密度函數(shù)為

所以 　　

從而，這是X的線性函數(shù)，故E（Y｜X）是隨機(jī)變量，類似可得

條件數(shù)學(xué)期望有下列性質(zhì)：

設(shè)X，Y，Z均為同一樣本空間上的隨機(jī)變量，g（x）為連續(xù)函數(shù)，且E（X），E（Y），E（Z）與E［g（Y）X］均存在，則

（1）當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí)，E（X｜Y）=E（X）；

（2）E［E（X｜Y）］=E（X）；

（3）E［g（Y）·X｜Y］=g（Y）·E（X｜Y）；

（4）E［g（Y）·X］=E［g（Y）·E（X｜Y）］；

（5）E（C｜Y）=C，C為常數(shù)；

（6）E［g（Y）｜Y］=g（Y）；

（7）E［aX+bY｜Z］=aE（X｜Z）+bE（Y｜Z）；

（8）E［X-E（X｜Y）］2≤E［X-g（Y）］2。

證?。?）僅就（X，Y）為連續(xù)型時(shí)給以證明。

由于X與Y相互獨(dú)立，故，所以對任意實(shí)數(shù)y

（2）當(dāng)（X，Y）為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)

　　 即 　　 　　 （4.3）

當(dāng)（X，Y）為離散型隨機(jī)變量且Y只取有限個(gè)值yj（j=1，2，…，n）時(shí)

如果記事件{Y=yj}為Aj，則

　　 （4.4） 　　

稱式（4.3）、式（4.4）為全數(shù)學(xué)期望公式（類似于全概率公式）。

（3）只需證，對任意固定的y，有

E［g（y）·X｜y］=g（y）E（X｜y）

成立即可。僅就（X，Y）為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)給以證明。事實(shí)上，由定義有

（4）由（2）和（3）得

E［g（Y）·X］=E{E［g（Y）·X｜Y］}=E［g（Y）E（X｜Y）］

（5）由（1）即得。

（6）由（3）和（5）即得。

（7）由定義直接可得。

（8）即要證，對任意固定的y，當(dāng)g（y）=E（X｜y）時(shí)，E［X-g（y）］2為最小。今就連續(xù)型的情形證明如下

由第三章習(xí)題第10題知，當(dāng)g（y）=E（X｜Y=y）時(shí)，積分fX｜Y（x｜y）dx達(dá)到最小，因而E［x-g（Y）］2為最小。

【例3】?。ǖV工脫險(xiǎn)問題）一礦工在有三扇門的礦井中迷了路，第一扇門通到一坑道走3小時(shí)可使他到達(dá)安全地點(diǎn)；第二扇門通向使他走5小時(shí)后又回到原地點(diǎn)的坑道；第三扇門通向使他走了7小時(shí)后又回到原地點(diǎn)的坑道。如果他在任何時(shí)刻都等可能地選定其中一扇門。試問他到達(dá)安全地點(diǎn)平均要花多少時(shí)間？

解　設(shè)X表示他到達(dá)安全地點(diǎn)所需要的時(shí)數(shù)，Y表示他最初選定門的號(hào)數(shù)，則

由全數(shù)學(xué)期望公式，所求平均時(shí)數(shù)為

而E（X｜Y=1）=3，E（X｜Y=2）=5+E（X），E（X｜Y=3）=7+E（X），所以

解之得　　E（X）=15（小時(shí)）