習(xí)題三

1.設(shè)X的分布律為求EX，E（-X+1），E（X2）。

2.銀行抽獎(jiǎng)共有三種獎(jiǎng)，頭獎(jiǎng)250元，二獎(jiǎng)100元，三獎(jiǎng)50元；頭獎(jiǎng)1個(gè)，二獎(jiǎng)2個(gè)，三獎(jiǎng)5個(gè)。共有1000個(gè)儲(chǔ)戶，每戶各有一個(gè)號(hào)碼。問(wèn)每戶得到獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望是多少？

3.設(shè)X表示10次重復(fù)獨(dú)立射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射中目標(biāo)的概率為0.4，求E（X2）。

4.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n，p），且E（X）=1.6，var（X）=1.28，求n和p。

5.設(shè)X的分布密度為，求E（X），E（X2），var（X）。

6.對(duì)球的直徑作近似測(cè)量，設(shè)其值均勻地分布在區(qū)間［a，b］內(nèi)，求球的體積的平均值。

7.某產(chǎn)品的次品率為0.1，檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)4次，每次隨機(jī)地取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，如發(fā)現(xiàn)其中的次品數(shù)多于1，就去調(diào)整設(shè)備。以X表示一天中調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，試求E（X）（設(shè)產(chǎn)品是否為次品是相互獨(dú)立的）。

8.輪船橫向搖擺的隨機(jī)振幅X的分布密度為

求（1）A；（2）E（X）；（3）遇到大于其振幅均值的概率；（4）var（X）。

9.對(duì)某一目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到擊中為止，如果每次命中率為p，求（1）射擊次數(shù)的分布律；（2）射擊次數(shù)的期望與方差。

10.證明：當(dāng)k=E（X）時(shí)，E（X-k）2的值最小，最小值為var（X）。

11.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

求E（2X），E（e-2X）。

12.設(shè)（X，Y）服從在A上的均勻分布，其中A為x軸、y軸及直線x+y+1=0所圍成的區(qū)域，求E（X），E（-3X+2Y），E（XY）。

13.設(shè)（X，Y）的密度函數(shù)

求的均值。

14.設(shè)X，Y相互獨(dú)立，分布密度分別為

求E（XY）。

15.若隨機(jī)變量X和Y不相關(guān)，證明var（X+Y）=var（X）+var（Y）。

16.設(shè)（X，Y）的密度函數(shù)為

求E（X），E（Y），var（X），var（Y）及協(xié)方差Cov（X，Y）和相關(guān)系數(shù)ρXY。

17.設(shè)（X，Y）服從區(qū)域D={（x，y）｜0≤x≤1，0≤y≤x}上的均勻分布，求協(xié)方差Cov（X，Y）和相關(guān)系數(shù)ρXY。

18.設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布律為

（1）求E（X），E（Y）；（2）設(shè)Z=Y/X，求E（Z）；（3）設(shè)Z=（X-Y）2，求E（Z）；（4）討論X和Y的獨(dú)立性。

19.假設(shè)（X，Y）在閉圓域x2+y2≤r2上服從均勻分布，（1）求X和Y的相關(guān)系數(shù)ρXY；（2）問(wèn)X和Y是否獨(dú)立？

20.假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作，若一周內(nèi)5個(gè)工作日無(wú)故障，可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元；發(fā)生一次故障仍可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元；發(fā)生兩次故障所獲利潤(rùn)0元；發(fā)生三次以上（包括三次）故障就要虧損2萬(wàn)元。求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少？