§1　數學期望

隨機變量是定義在樣本空間上的函數，對應于不同的樣本點，隨機變量的值可能不同。有時，人們希望知道隨機變量的大多數取值集中在哪里，能夠粗略滿足這一要求的是隨機變量的平均值。例如，一射手進行打靶練習，規定射入區域e2（圖3-1）得2分，射入區域e1得1分，脫靶，即射入區域e0，得0分。射手每次射擊的得分數X是一個隨機變量，設X的分布律為

P{X=k}=pk（k=0，1，2）

現在射擊X次，其中得k分的有ak次（k=0，1，2），a0+a1+a2=N。他射擊N次得分總和為a0×0+a1×1+a2×2。于是每次射擊的平均得分數為

這個數值是表示得分數X的大多數取值的集中位置。這里的ak/N是事件{X=k}的頻率，當N很大時，ak/N接近于事件{X=k}的概率pk，由此引出隨機變量數學期望或均值的概念。

一、離散型隨機變量的數學期望

定義1.1　設離散型隨機變量X的分布律為

P{X=xk}=pk　（k=1，2，…）

若級數絕對收斂 ，則稱級數的和為隨機變量X的數學期望（expectation），也稱為X的分布的數學期望，記為E（X），即

　　 （1.1） 　　

在不致引起誤會時，可把E（X）簡寫成EX。

數學期望簡稱期望，又稱為均值。

期望是隨機變量取值的一個代表性位置，它表示隨機變量的大多數取值都集中在期望周圍。

下面推導幾種重要隨機變量的數學期望。

【例1】　設X～（0—1）分布，求EX。

解　X的分布律：P{X=k}=pk（1-p）1-k（k=0，1；0<p<1）

所以 　　

【例2】　設X～B（n，p），求E（X）。

解　由于（k=0，1，2，…，n）

所以 

【例3】　設X～P（λ），求E（X）。

　　解　

可見泊松分布的參數λ就是X的數學期望。 >

【例4】　設隨機變量X服從參數為p的幾何分布，求EX。

解　X的分布律：P{X=k}=p（1-p）k-1　（k=1，2，3，…）

所以 　

二、連續型隨機變量的數學期望

定義1.2　設連續型隨機變量X的密度函數為f（x），如果積分絕對收斂，則稱其值為X的數學期望，記作E（X），即

　　 （1.2） 　　

【例5】　設X服從［a，b］上的均勻分布，求E（X）。

解　X的概率密度函數為

它恰是區間［a，b］的中點。

【例6】　設X～N（μ，σ2），求E（X）。

解　X的分布密度為

令，則得

可見，正態分布的參數μ就是相應隨機變量X的數學期望。

【例7】　有5個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命Xk（k=1，2，3，4，5）服從同一指數分布，其分布密度為

（1）若將這5個電子裝置串聯工作組成整機，求整機壽命N的數學期望；

（2）若將這5個電子裝置并聯工作組成整機，求整機壽命M的數學期望。

解　（1）為求整機壽命N的數學期望，應先求出其分布密度。為此，要求出N的分布函數。由于整機是串聯的，那么

FN（z）=P{N≤z}=P{min{X1，X2，…，X5}≤z}

由第二章§4式（4.12）

　　 又 　　

所以 　　

（2）由于整機是并聯時，整機M的壽命應為

M=max{X1，X2，X3，X4，X5}

　　　FM（z）=P{M≤z}=P{X1≤z，X2≤z，X3≤z，X4≤z，X5≤z}

　　　　　　=［P{X1≤z}］5（z>0）

由此可知

這就是說，5個電子裝置并聯聯接工作的平均壽命是串聯聯接工作平均壽命的11.4倍。

【例8】　按規定，某車站每天8:00～9:00，9:00～10:00都恰有一輛客車到站，但到站的時刻是隨機的，且兩者到站的時間相互獨立。其規律為

（1）一旅客8:00到車站，求他候車時間的數學期望；

（2）一旅客8:20到車站，求他候車時間的數學期望。

解　設旅客的候車時間為X（以分計）。

（1）X的分布律為

候車時間的數學期望為

（2）X的分布律為

在上表中，例如，設A為事件“第一班車在8:10到站”，設B為事件“第二班車在9:30到站”

則候車時間的數學期望為

需要指出的是，有的隨機變量的數學期望就不存在，如以

為分布密度的隨機變量X的數學期望就不存在，這是因為積分發散的緣故。

數學期望有一個力學解釋：設質量為1的物質分布在Ox軸上，其線密度為f（x），由于

所以，數學期望E（X）表示質量中心的坐標，它是質量系統的集中位置。

三、隨機變量函數的數學期望的計算公式

實際問題中也往往需要求隨機變量的函數的數學期望。

定理1.1　設Y是隨機變量X的函數：Y=g（X）（g是連續函數）。

（1）若X是離散型隨機變量，它的分布律為pk=P{X=xk}（k=1，2，…），且絕對收斂，則有

　　 （1.3） 　　

（2）若X是連續型隨機變量，它的分布密度為f（x），且絕對收斂，則有

　　 （1.4） 　　

定理的重要意義在于求E（Y）時，不必先求Y的分布而只需知道X的分布就可以了。定理的證明超出了本書的范圍。

上述定理還可以推廣到兩個或兩個以上隨機變量的函數的情況。例如，設Z是隨機變量X，Y的函數Z=g（X，Y）（g是連續函數），那么，Z也是一個隨機變量。

（1）設（X，Y）為二維離散型隨機變量，且P{X=xi，Y=yj}=pij（i，j=1，2，…），如果絕對收斂，則有

　　 （1.5） 　　

（2）設二維連續型隨機變量（X，Y）的分布密度為f（x，y），如果

絕對收斂，則有

　　 （1.6） 　　

【例9】　設隨機變量X的分布律為

求E（X），E（X2），E（3X-1）。

解　列出下表

顯然　　　　　　E（X）=-1×0.2+0×0.7+3×0.1=0.1

　　　　　　E（X2）=1×0.2+0×0.7+9×0.1=1.1

　　　　　　E（3X-1）=-4×（0.2）+（-1）×0.7+8×0.1=-0.7

【例10】　設隨機變量的分布密度為

求。

　　解　　　

【例11】　設（X，Y）的聯合分布為

當Z=（X-Y）2時，求E（Z）。

解　先列出下表

【例12】　設（X，Y）的分布密度為

求E（X2+Y2）。

解　f（x，y）不等于0的區域為右圖3-2劃虛線的三角域，則

四、數學期望的性質

下面介紹數學期望的幾個重要性質（以下都假設數學期望存在）。

（1）設C是常數，則有E（C）=C。

（2）設X是一個隨機變量，C是常數，則有

E（CX）=CE（X）

（3）設X、Y是兩個隨機變量，則有

E（X+Y）=E（X）+E（Y）

（4）設X，Y是相互獨立的隨機變量，則有

E（XY）=E（X）E（Y）

性質（3）（4）可以推廣到有限個相互獨立的隨機變量的情況。

證　僅對連續型隨機變量情況，證明（3）和（4） ：設二維隨機變量（X，Y）的聯合概率密度函數為f（x，y），其邊緣密度為fX（x），fY（y），由本節式（1.6）可知

又若X和Y相互獨立，此時

f（x，y）=fX（x）fY（y）

則 　

【例13】　兩臺同樣自動記錄儀，每臺無故障工作的時間服從參數為5的指數分布，首先開動其中一臺，當其發生故障時停用而另一臺自行開動，試求兩臺記錄儀無故障工作的總時間T的數學期望。

解　設第一、二臺無故障工作的時間分別為T1，T2，總的無故障工作時間為T，則T=T1+T2，且E（T）=E（T1+T2）=E（T1）+E（T2）。我們知道

則 　　

【例14】　一民航送客車載有20位旅客自機場開出，旅客有10個車站可以下車。如到達一個車站沒有旅客下車就不停車。以X表示停車的次數，求E（X）（設每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設各旅客是否下車相互獨立）。

解　這里隨機變量X較復雜。引入隨機變量

則有　　X=X1+X2+…+X10

按題意，任一旅客在第i站不下車的概率為9/10，因此20位旅客都不在第i站下車的概率為，在第i站有人下車的概率為，也就是

所以 　　

則