§2　方差

一、方差的定義

有兩批鋼筋，每批各10根，它們的抗拉強度指標如下：

第一批　115，120，120，120，120，125，130，130，135，135；

第二批　90，100，105，120，125，135，135，135，145，160。

它們的平均抗拉強度都是125。但是，質量要求抗拉強度指標不低于115。那么，第二批鋼筋的抗拉強度指標較差：其一取值較分散，抗拉強度指標有的較大，有的較小，與其均值偏差較大；其二，不合格的根數較多，實用價值差。

可見，只靠期望值（平均值）還不足以說明隨機變量的分布特征，還必須研究隨機變量取值與其平均值的偏離程度。

定義2.1　設X是一個隨機變量，若E［X-E（X）］2存在，則稱E［X-E（X）］2為X的方差（variance，dispersion），記為var（X）（或σ2（X）），即

var（X）=E［X-E（X）］2　?。?.1）

在應用上還需要引入與隨機變量X具有相同量綱的量（或σ（X）），稱其為標準差。

關于隨機變量的數學期望（平均值）有一重要結果：設k為任一實數，隨機變量X關于k的平方誤差的均值E（X-k）2可視為k的函數，記作f（k），即f（k）=E（X-k）2，可以證明，當k=EX時，f（k）達到最小值f（EX）=E（X-EX）2，這個最小值恰好是X的方差，證明過程由讀者自行完成。

這個極值等式的概率意義是，若欲用一個實數集中代表一個隨機變量，則隨機變量的數學期望是最理想的。這再一次說明了數學期望表示了隨機變量取值的集中位置，而方差，則表示了隨機變量的取值相對于它的數學期望的集中程度。具體而言，若隨機變量的取值比較集中在其數學期望附近，則它的方差較?。环粗?，若取值相對于數學期望比較分散，則方差較大。

二、方差的計算公式

由定義知，方差實際上就是隨機變量X的函數g（X）=［X-E（X）］2的數學期望，于是對于離散型隨機變量X，設其分布律為

P{X=xk}=pk?。?span id="zfpu1lh" class="italic">k=1，2，3，…）

則 　　 　　 （2.2）

對于連續型隨機變量X，設其分布密度為f（x），則

　　 （2.3） 　　

計算方差，往往使用下面公式

var（X）=E（X2）-［E（X）］2　?。?.4）

證明　由方差的定義及數學期望的性質有

下面推導幾種重要的隨機變量的方差。

【例1】　設X～P（λ），求var（X）。

解　（k=0，1，2，…；λ>0）

我們已知E（X）=λ，下面計算E（X2）

由此可知，對于服從泊松分布的隨機變量的期望與方差都等于參數λ，因為泊松分布只含有一個參數λ，因此只要知道它的數學期望或方差就能完全確定它的分布了。

【例2】　設X在（a，b）上服從均勻分布，求var（X）。

解　因為X的分布密度為

我們已知，利用方差的計算公式，則有

【例3】　設X～N（μ，σ2），求var（X）。

解　X的概率密度為

令，得

由本章§1例4知，若X～N（μ，σ2），則E（X）=μ，現又推得var（X）=σ2，這說明正態分布的隨機變量完全由它的數學期望和方差所確定。

設隨機變量X存在數學期望E（X）與方差var（X），則隨機變量

　　 （2.5） 　　

稱為隨機變量X的標準化，顯然它滿足

E（X*）=0，var（X*）=1

例如，若X～N（μ，σ2），則（0，1）。

在實際應用中，一般隨機變量都具有度量的單位，為了擺脫度量單位對處理過程及其結果的影響，可以通過式（2.5）標準化，得到無量綱的標準化隨機變量X*。

為了使方差能夠更準確地描述隨機變量的取值相對于它的數學期望（均值）的分散程度（集中程度的對立面），應該考慮單位均值上的標準差，即，它與隨機變量X的單位無關。

定義2.2　設X是一個隨機變量，若E（X）和var（X）存在，則稱為X的變異系數（coefficient of variation），記作CV（X），即

　　 （2.6） 　　

三、方差的性質

下面介紹方差的幾個重要性質（以下假設隨機變量方差存在）。

（1）設C是常數，則var（C）=0。

（2）設X是隨機變量，C是常數，則有var（CX）=C2var（X）。

（3）設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，則

var（X+Y）=var（X）+var（Y）

（4）var（X）=0的充分必要條件是X以概率1取常數C，即

P{X=C}=1

顯然，這里C=E（X）。證略。

下面只證明（3）。

由于X，Y相互獨立，X-E（X）與Y-E（Y）也相互獨立，由數學期望的性質知

所以　　var（X+Y）=var（X）+var（Y）

這一性質可以推廣到有限個相互獨立的隨機變量的情況。

需要指出的是，相互獨立的隨機變量之和的方差，等于各隨機變量方差之和這一結論，是方差的一條極為重要的性質，稱為方差的可加性。與均值的可加性（隨機變量之和的均值，等于各隨機變量均值之和）相比較，方差的可加性要求各隨機變量相互獨立，而均值的可加性不需要任何獨立性條件。

【例4】　設X～B（n，p），求var（X）

解　設Xi的分布律為

且X1，X2，…，Xn相互獨立。由第二章§4例5知，二項分布可看成n個相互獨立的且服從同一（0—1）分布的隨機變量之和，即，則