第五節(jié)　隨機變量的數(shù)字特征

隨機變量的分布是對隨機變量統(tǒng)計規(guī)律的完整描述，但在實際問題中，某些隨機變量的概率分布很難確定，有時也不需要全面考察一個隨機變量的分布情況，只需要知道隨機變量在某些方面的特征即可.例如，考察某種大批量生產(chǎn)的元件壽命時，有時想了解元件的平均使用壽命，有時只需要分析這種元件的壽命與平均壽命的偏離程度.因為平均壽命達(dá)到一定要求并且這種偏離程度較小時，元件的質(zhì)量就好.

實際上，描述隨機變量取值的平均程度和偏離程度的某些數(shù)字特征在理論和實踐上都具有更重要的意義，它們對于隨機變量的本質(zhì)描述的更為直接和實用.

一、數(shù)學(xué)期望

1.離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望

［定義1］　設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為P{X=xk}=pk（k=1，2，…），若級數(shù)絕對收斂，則稱級數(shù)為X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值，記為E（X），即

若級數(shù)發(fā)散，則X的數(shù)學(xué)期望不存在.

若X為有限點分布，則

【例2-5-1】　甲、乙兩個工人生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，日產(chǎn)量相等，在一天中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別為X和Y，其分布列各為

試比較這兩個工人的技術(shù)情況.

解：E（X）=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1

　　E（Y）=0×0.5+1×0.1+2×0.2+3×0.1+4×0.1=1.2

這表明：平均而言，乙每天出現(xiàn)的廢品數(shù)比甲多，從這個意義上說，甲的技術(shù)比乙好些.

【例2-5-2】　在有N個人的團(tuán)體中普查某種疾病需要逐個驗血，若血樣呈陽性，則有此種疾病；呈陰性，則無此種疾病.逐個驗血需檢驗N次，若N很大，那驗血的工作量也很大.為了減少工作量，一位統(tǒng)計學(xué)家提出一個想法：把k個人（k≥2）的血樣混合后再檢驗，若呈陰性則k個人都無此疾病，此時k個人只需要檢驗一次；若呈陽性，則對k個人再逐一檢驗，此時需要檢驗k+1次.若該團(tuán)體中得此疾病的概率為p，且得此疾病相互獨立.試問此種驗血辦法能否減少驗血次數(shù)？若能減少，能減少多少工作量.

解：令X表示該團(tuán)體中每人需要驗血的次數(shù)，則X是僅取兩個值的隨機變量，其概率分布為

則每人平均驗血次數(shù)為

新的驗血方法比逐一驗血方法平均能較少驗血次數(shù)為

若E（X）<1，則新方法能減少驗血次數(shù).

例如，當(dāng)p=0.1、k=2時，1-E（X）=1-0.69=0.31，即平均每人減少0.31次.若該團(tuán)體有10000人，則可減少3100次，即減少31％的工作量.對k的其他值，也可類似計算，計算結(jié)果見表2-5-1.

從該表可以看出，當(dāng)p=0.1已知時，可選出一個k0=4使得E（X）最小，此時把4個人的血樣混合用新的方法檢驗，可使平均驗血次數(shù)最少.而當(dāng)k≥34時，反而要增加平均驗血次數(shù).

隨機變量的數(shù)學(xué)期望由其概率分布唯一確定，因此，我們常把具有相同概率分布的隨機變量的數(shù)學(xué)期望稱為其分布的數(shù)學(xué)期望.

下面來計算一些常用的離散型分布的數(shù)學(xué)期望.

（1）伯努利分布（0—1分布）

伯努利分布的概率分布為

則

E（X）=1×p+0×（1-p）=p

即伯努利分布的數(shù)學(xué)期望為隨機變量X取值為1的概率.

（2）二項分布

設(shè)X～B（n，p），則X的概率分布為

于是

（3）泊松分布

設(shè)X～P（λ），則有

于是

2.連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望

［定義2］　設(shè)隨機變量X的概率密度為f（x），若積分絕對收斂，則稱為X的數(shù)學(xué)期望，即

若積分發(fā)散，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在.

【例2-5-3】　（柯西分布）設(shè)隨機變量X的概率密度為

由于

所以E（X）不存在.

【例2-5-4】　設(shè)隨機變量X的概率密度為

求X的數(shù)學(xué)期望.

解：根據(jù)連續(xù)型隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義，有

下面來計算一些常用的連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望.

（1）均勻分布

設(shè)X～U［a，b］，則X的概率密度為

于是

由此可見，均勻分布［a，b］的數(shù)學(xué)期望恰是區(qū)間［a，b］的中點，這直觀表示了數(shù)學(xué)期望的意義.

（2）指數(shù)分布

設(shè)X～e（λ），則X的概率密度為

其中λ>0為常數(shù).

于是

由此可見，如果一個電子元件的壽命X服從參數(shù)為λ（λ>0）的指數(shù)分布，則這種元件的平均壽命為.

（3）正態(tài)分布

設(shè)X～N（μ，σ2），則X的概率密度為

在E（X）的積分表達(dá)式中作變量代換，則

3.隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

①設(shè)X是離散型的隨機變量，其分布列為P{X=xk}=pk（k=1，2，…），又設(shè)y=g（x）為連續(xù)實函數(shù)，且絕對收斂，Y=g（X），則

②設(shè)X是連續(xù)型的隨機變量，其密度函數(shù)為f（x），又設(shè)y=g（x）為連續(xù)實函數(shù)，且絕對收斂，Y=g（X），則

【例2-5-5】　設(shè)X的概率分布如下所示，求E［X-E（X）］2.

解：先求E（X）

E（X）=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2

則

E［X-E（X）］2=（0-1.2）2×0.1+（1-1.2）2×0.6+（2-1.2）2×0.3=0.36

【例2-5-6】　設(shè)X服從［0，π］上的均勻分布，求E（X2）和E（sinX）.

解：由題可知X的概率密度為

于是

4.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

性質(zhì)1　若c為常數(shù)，則E（c）=c

性質(zhì)2　若a為常數(shù)，則E（aX）=aE（X）

性質(zhì)3　線性性質(zhì)：若a、b為常數(shù)，則E（aX+b）=aE（X）+b

性質(zhì)4　可加性：E（X+Y）=E（X）+E（Y）

性質(zhì)4的推廣：E（X1+X2+…+Xn）=E（X1）+E（X2）+…+E（Xn）

【例2-5-7】　設(shè)X的分布列為

求E（X）和E（2X-1）.

　　解：　

二、方差

數(shù)學(xué)期望E（X）描述的是隨機變量X取值的平均程度，是分布的位置特征數(shù)，它總位于分布的中心，X的取值總在其左右波動.方差是度量此種波動大小的特征數(shù).

稱X-E（X）為偏差，為隨機變量.偏差可大可小，可正可負(fù)，為了使這種偏差能累積起來不至于正負(fù)抵消，可取絕對偏差的數(shù)學(xué)期望E｜X-E（X）｜來表示隨機變量取值的波動大小.但由于絕對值在數(shù)學(xué)上處理不方便，因此改用偏差平方來消去符號，然后用期望E［X-E（X）］2來描述隨機變量取值波動的大小（取值的分散程度）.

1.方差的定義

［定義3］　設(shè)X為隨機變量，若E［X-E（X）］2存在，則稱其為隨機變量X的方差，記作D（X），即

D（X）=E［X-E（X）］2

稱為隨機變量X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差.

由定義可知，隨機變量X描述了它取值與其期望的偏離程度.D（X）越小，則該隨機變量的取值越集中，反之，D（X）越大，該隨機變量取值越分散.

方差是隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，若已知X為離散型隨機變量，其概率分布為

P{X=xk}=pk（k=1，2，…），

則

若X為連續(xù)型隨機變量，已知X的概率密度為f（x），則

由此可見，隨機變量的方差是一個非負(fù)數(shù)，它由隨機變量的概率分布完全確定.因此也把隨機變量的方差稱為分布的方差.

根據(jù)方差的定義D（X）=E［X-E（X）］2，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，有

　　　　　　　　　　D（X）=E［X-E（X）］2

　　　　　　　　　　　　　=E［X2-2XE（X）+［E（X）］2］

　　　　　　　　　　　　　=E（X2）-2［E（X）］2+［E（X）］2

　　　　　　　　　　　　　=E（X2）-［E（X）］2

即得到方差的常用計算公式：

D（X）=E（X2）-［E（X）］2

【例2-5-8】　某人有一筆資金，可投入兩個項目：房地產(chǎn)和開商店，其收益都與市場狀態(tài)有關(guān).若把未來市場劃分為好、中、差三個等級，其發(fā)生的概率分別為0.2、0.7、0.1，通過調(diào)查，該人認(rèn)為購置房地產(chǎn)的收益X（萬元）和開商店的收益Y（萬元）的概率分布分別為

試問該人選擇哪種投資較好？

解：首先考察數(shù)學(xué)期望，即平均收益

E（X）=-3×0.1+3×0.7+11×0.2=4（萬元）

E（Y）=-1×0.1+4×0.7+6×0.2=3.9（萬元）

從平均收益看，購置房地產(chǎn)較為有利，平均收益多0.1萬元，再來考察方差，首先計算

E（X2）=（-3）2×0.1+32×0.7+112×0.2=31.4

E（Y2）=（-1）2×0.1+42×0.7+62×0.2=18.5

根據(jù)公式D（X）=E（X2）-［E（X）］2，得

D（X）=15.4，D（Y）=3.29

得到標(biāo)準(zhǔn)差萬元，萬元.

方差越大，收益的波動就越大，從而風(fēng)險也大，從標(biāo)準(zhǔn)差可見購置房地產(chǎn)的風(fēng)險要比開商店的風(fēng)險高一倍多，因此投資商店較好.

下面來計算一些常用分布的方差.

（1）伯努利分布（0-1分布）

伯努利分布的概率分布為

并已求得E（X）=p，則

E（X2）=12×p+00×（1-p）=p

因此　　　　　　D（X）=E（X2）-［E（X）］2=p-p2=p（1-p）

（2）二項分布

設(shè)X～B（n，p），則X的概率分布為

且E（X）=np

則　　　　D（X）=E（X2）-［E（X）］2=np（1-p）

（3）泊松分布

設(shè)X～P（λ），則有

且E（X）=λ，則

則　　D（X）=E（X2）-［E（X）］2=λ

（4）均勻分布

設(shè)X～U［a，b］，則X的概率密度為

且

則 　

（5）指數(shù)分布

設(shè)X～e（λ），則X的概率密度為

其中λ>0為常數(shù)，且.則

（6）正態(tài)分布

設(shè)X～N（μ，σ2），則X的概率密度為

且E（X）=μ.則

做變換，可得

利用變換，上述積分可化為伽瑪函數(shù)，即

代回原式即得D（X）=σ2，可見σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.

2.方差的性質(zhì)

性質(zhì)1　若c為常數(shù)，則D（c）=0

性質(zhì)2　若b為常數(shù)，則D（X+b）=D（X）

性質(zhì)3　若a為常數(shù)，則D（aX）=a2D（X）

性質(zhì)4　若a、b為常數(shù)，則D（aX+b）=a2D（X）

性質(zhì)5　D（X+Y）=D（X）+D（Y）　（X與Y獨立）