第五節　事件的獨立性

一、兩個事件的獨立性

我們知道事件A發生的概率P（A）與事件B發生的條件下A發生的條件概率P（A｜B）一般不相同，這正說明隨機事件B的發生與否影響了隨機事件A的發生.但如果

P（A｜B）=P（A）

則說明事件B發生對事件A的發生沒有影響，下面的例子說明了這種現象是存在的.

例如，從裝有2個紅球、8個白球的袋中依次任取兩個球，第一次取后放回，第二次再取，設B=“第一次取到白球”，A=“第二次取到白球”.由于第一次取后又放回袋中，其樣本空間沒有變化，所以A發生的概率與B是否發生無關，即P（A｜B）=P（A）.這就是隨機事件的獨立性問題.

［定義1］　設A、B為兩個隨機事件，如果P（A｜B）=P（A）成立，則稱A對B是獨立的.

容易證明，當A對B獨立時，B對A也是獨立的.

根據乘法公式有

P（B）P（A｜B）=P（A）P（B｜A）

把P（A｜B）=P（A）代入上式，得

P（B）P（A）=P（A）P（B｜A）

于是可得

P（B｜A）=P（B）

即事件B對事件A也是獨立的，這說明兩個事件的獨立是“相互的”.

注：兩事件互不相容與相互獨立是完全不同的兩個概念，互不相容是表述在一次隨機試驗中兩事件不能同時發生，而相互獨立是表述在一次隨機試驗中一事件是否發生與另一事件是否發生互無影響.此外，當P（A）>0，P（B）>0時，則A、B相互獨立與A、B互不相容不能同時發生.進一步還可以證明，若A、B即獨立又互斥，則A、B至少有一個是零概率事件.

定理1　設A、B是兩事件，若A、B相互獨立，且P（B）>0，則P（A｜B）=P（A），反之亦然.

定理2　設A、B是兩事件，若A、B相互獨立，則A與、與B、與也相互獨立.

結論　設A、B是兩事件，若A、B相互獨立，則有概率公式：

①P（AB）=P（A）P（B）

②

③

【例1-5-1】　從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K}，B={抽到的牌是黑色的}，問事件A、B是否獨立？

解：由，，

得到P（A）=P（A/B），故事件A、B獨立.

在實際問題中，事件的相互獨立，并不總是需要通過公式的計算來證明，而可以根據具體情況來分析、判斷，正如有放回抽樣，第二次抽樣結果不受第一次抽樣結果的影響.只要事件之間沒有明顯的聯系或聯系甚微，我們就可以認為它們是相互獨立的.

二、有限個事件的獨立性

關于兩個事件獨立的概念，可推廣到有限多個事件的情形.

［定義2］　如果事件A1，A2，…，An中任何一部分事件發生的概率不受其他事件發生的影響，則稱事件A1，A2，…，An相互獨立，并且

P（A1A2…An）=P（A1）P（A2）…P（An）

［定義3］　若A1，A2，…，An中任意兩個事件之間均相互獨立，則稱A1，A2，…，An兩兩獨立.

注：若A1，A2，…，An相互獨立，則它們必兩兩獨立，反之未必.

性質1　若A1，A2，…，An（n≥2）相互獨立，則其中任意k（1<k≤n）個事件也相互獨立.

性質2　若A1，A2，…，An（n≥2）相互獨立，則將A1，A2，…，An中任意m（1≤m≤n）個事件換成它們的對立事件，所得的n個事件仍相互獨立.

結論　若A1，A2，…，An相互獨立，則有

【例1-5-2】　三人獨立地去破譯一份密碼，已知每個人能譯出的概率分別是、、，求密碼被譯出的概率.

解：設Ai=“第i個人譯出密碼”（i=1，2，3），則

“密碼被譯出”相當于“至少有一個人譯出密碼”，故所求概率為P（A1+A2+A3）.

因為A1，A2，A3相互獨立，則有

【例1-5-3】　某工人照看三臺機床，任意時刻三臺機床不需照管的概率分別為0.8、0.9、0.6，設三臺機床是否需要照管是獨立的，且這名工人在一個時刻只能照管一臺機床，試求在任意時刻：（1）有機床需工人照管的概率；（2）有機床因無人照管而停工的概率.

解：設Ai（i=1，2，3）表示甲、乙、丙不需照管，B為有機床需工人照管，C為有機床因無人照管而停工，于是有，且事件A1，A2，A3相互獨立.

由已知得P（A1）=0.8，P（A2）=0.9，P（A3）=0.6，

三、伯努利概型

從袋中有放回地抽取小球n次，由于每次取球后放回，故袋中小球分布不變，因而每次抽取的試驗都是獨立的，稱之為n次獨立試驗.

［定義4］　在一定條件下，重復地做n次試驗，如果每一次試驗的結果都不依賴于其他各次試驗的結果，那么就把這n次試驗叫做n次獨立試驗.

［定義5］　如果構成n次獨立試驗的每一次試驗只有兩個可能的結果A與，并且在每次試驗中事件A發生的概率都不變，那么這樣的n次獨立試驗叫做n重伯努利（Bernoulli）試驗，簡稱伯努利試驗.

例如，從一批含有不合格品的產品中，每次抽取一件進行檢驗，有放回地抽取n次，如果每次抽取只考察兩個結果：產品合格和不合格，那么這樣的檢驗就是一個伯努利試驗.

又如，一個射手進行n次射擊，如果每次射擊的條件都相同，而且每次射擊都只考察中靶和不中靶兩個結果，那么這也是一個伯努利試驗.

下面我們討論n次伯努利試驗中事件A恰好發生k次的概率.

【例1-5-4】　設某人打靶，命中率為0.7，現獨立地重復射擊三次，求恰好命中兩次的概率.

解：設Ai=“第i次命中”（i=1，2，3），顯然A1，A2，A3相互獨立，且P（Ai）=0.7，

　　 則 　

這里表示在三次試驗中選擇兩次命中的可能情形數.

同理可求

于是有下面的計算公式.

定理3　（伯努利定理）在n重伯努利試驗中，設A與為每次試驗的兩個可能的結果，且P（A）=p，，那么事件A發生k次的概率記作Pn（k），則

由于

而恰好是二項展開式的第k+1項，故稱該公式為二項概率公式，這里可用

Pn（0）+Pn（1）+…+Pn（n）=1

簡化概率的計算.

【例1-5-5】　設某電子元件的使用壽命在1000小時及以上的概率是0.2，當三個電子元件相互獨立使用時，求在使用了1000小時的時候，最多只有一個損壞的概率.

解：設A=“一個元件使用1000小時的時候沒損壞”，則P（A）=0.2，，要求的概率就是三次伯努利試驗中A發生兩次或三次的概率，即

【例1-5-6】　汽車在公路上行駛時每輛車違章的概率為0.001，如果公路上每天有1000輛汽車通過，問：（1）公路上汽車違章的概率為多少？（2）恰好一輛汽車違章的概率是多少？

解：設事件A=“汽車違章”，則P（A）=0.001，每天公路上有1000輛汽車通過，可以看成是1000次伯努利試驗，故n=1000，p=0.001.

（1）設B=“公路上汽車違章”，則

（2）設C=“恰一輛車違章”，則

這個例子說明了一個事實：一個小概率事件（概率很小的事件，如汽車違章）在一次試驗中出現的概率很小，但在大量重復試驗中該事件出現的概率可變得很大.

【例1-5-7】　一批花生種子的發芽率為0.8，試問每穴至少播種幾粒種子才能保證99％以上穴不空苗.

解：設每穴至少播種n粒種子能保證99％以上穴不空苗，則可將播種n粒種子看成是n重伯努利試驗，因為P（至少一粒出苗）≥99％等價于P（沒有一粒出苗）<0.01，所以要求n滿足

Pn（0）<0.01，即，亦即0.2n<0.01

解得

可見，每穴至少播種3粒，就能保證99％以上穴不空苗.

一般地，若種子的發芽率為p，則當每穴播種時，就能在大田播種時保證99％以上穴不空苗.

推論　在n次伯努利試驗中，設A與為每次試驗的兩個可能的結果，且設P（A）=p，，那么n次伯努利試驗序列中，事件A在第k次才發生的概率為

p（1-p）k-1k=（1，2，…，n）

注意到“事件A在第k次試驗中才首次發生”，等價于在前k次試驗組成的k重伯努利試驗中，“事件A在前k-1次試驗中均不發生，而在第k次試驗中發生”，再由伯努利定理即可推得.

【例1-5-8】　一個袋中裝有10個球，3個黑色的，7個白色的，每次取一個球（有放回），求：

（1）若共取10次，求10次中能取到黑球的概率及10次取球中恰取到3次黑球的概率.

（2）如直到取到黑球為止，求需取三次及至少取三次的概率.

解：設Ai表示第i次取到黑球，則（i=1，2，3，…，）

（1）設B為10次中能取到黑球，B3為10次中恰好取到三次黑球，則

（2）設C為恰好要取三次，D為至少要取三次