2.1　關鍵鏈識別及優化

項目進度估計必須在關鍵鏈識別及排序優化的基礎上進行，本節主要從關鍵鏈的識別及確定、基于DSM的關鍵鏈排序優化兩個方面進行探討和改進。

2.1.1　關鍵鏈識別

運用關鍵鏈項目管理方法的第一步是識別項目關鍵鏈。根據關鍵鏈的定義，滿足資源約束的關鍵路徑就是關鍵鏈。因此，識別關鍵鏈首先要找出關鍵路徑，然后再進行資源優化配置。可以看作是“資源有限、工期最短”的資源優化問題。用數學語言表達如下。

y=minT　　（2-1）

Fi+Dj≤Fj　　（2-2）

∑rki≤Rk，其中，k=1，2……m　　（2-3）

Fi≥0　　（2-4）

式（2-1）為使項目工期最短的目標函數，式（2-2）為工序的邏輯關系約束，式（2-3）為項目的資源約束，式（2-4）為工期非負約束。項目可用的資源包括可更新資源和不可更新資源。可更新資源和不可更新資源可按更新周期區分。當一種資源重新獲取的周期較短（如一天），在其周期內消耗完后在新的周期內可自動更新，這種資源就屬于可更新資源，如人力資源就屬于可更新資源。當一種資源的消耗與獲得的周期較長，以項目周期為更新周期時，這種資源就屬于不可更新資源。在項目過程中一旦消耗完了就不會再生，如資金、原材料屬于不可更新資源。

本節在確定關鍵路徑的基礎上，采用資源調配法來識別項目的關鍵鏈。假設初始網絡計劃圖在t時刻有兩項平行工序i、j同時開始，此時某種資源的需求量大于項目中該資源的供應量，由于資源沖突，不得不推遲i、j其中一道工序的開始時間，引起總工期的延長。

記ΔT（i，j）為將工序i安排在工序j之前延長的工期，ΔT（j，i）為將工序j安排在工序i之前延長的工期，ESi、LSi分別為工序i的最早、最晚開始時間，EFi、LFi分別為工序i的最早、最晚結束時間，Di為工序i的持續時間，工序j參數同前邊所述，資源調配引起的工期變化，如圖2-2所示。

則ΔT（i，j）與ΔT（j，i）的計算公式分別如式（2-5）和式（2-6）表示。

ΔT（i，j）=EFi+Dj-LFj=EFi-（LFj-Dj）=EFi-LSj　　（2-5）

ΔT（j，i）=EFj+Di-LFi=EFj-（LFi-Di）=EFj-LSi　　（2-6）

若ΔT（i，j）>ΔT（j，i），則將工序i安排在工序j之后，反之，則將工序j安排在工序i之后，若ΔT（i，j）=ΔT（j，i），則任意推遲其中一道工序。若在發生資源沖突的時間點上有兩道以上的平行工序，則分別對它們進行兩兩排序，計算對應的工期增加量，選擇工期增加量最小的方案。

但資源調配法的問題在于，當資源沖突時刻有n個平行工序，需要推遲m個，需要計算個ΔT，比較m-1次，當n和m過大時，計算量也隨之增大。在大型的項目中，往往會遇到這種問題。

在發生資源沖突的時刻，所有進行排序的工序開始時間都相同，故公式可以變為：

ΔT（i，j）=EFi-LSj=ESi+Di-LSj　　（2-7）

ΔT（j，i）=EFj-LSi=ESj+Dj-LSi　　（2-8）

由于資源沖突時刻ESi=ESj，所以尋求資源沖突時刻min（ΔT）的問題就轉化成尋找資源沖突時刻所有并行工序中初始開始時間最大值的工序以及工期最小值的工序。

2.1.2　關鍵鏈排序優化

在項目網絡圖中，除外部制約關系外，還有項目活動之間的關系，其主要包括強制性邏輯關系和無邏輯關系的組織關系兩種關系。強制性邏輯關系是工作之間所存在的內在關系，通常是不可調整的；而對于那些無邏輯關系的組織關系，雖然其排序具有隨意性，但在排序時又必須考慮到資源的約束。例如：有3間房屋需要刷墻，3個工人同時施工，1天就可以完成；但如果只有1個工人，則需要3天才能全部刷完，因此在有資源約束的情況下，就必須對這3間房屋的刷墻進行排序，但這種排序又沒有一定規律。因此引入DSM矩陣，在考慮到工序間強制性邏輯關系的基礎上，對有資源約束的非強制性邏輯關系基于信息流進行排序，并對關鍵鏈進行優化。基于DSM的關鍵鏈排序及優化的基本思想是：首先識別工序之間的信息流向，基于DSM矩陣衡量信息流強度；然后建立目標優化函數，考慮到資源約束關系和工序邏輯關系，盡量縮短信息反饋距離，即減少矩陣中上三角反饋數量，將反向信息反饋變為正向信息傳遞，最終確定關鍵鏈工序的最優排序。工序之間的信息流交互可以分為兩種情況：第一種是相鄰工序不存在搭接關系的信息流交互；第二種是相鄰工序存在搭接關系的信息流交互。信息傳遞與信息反饋同時存在于這兩種信息流交互之中。

（1）DSM矩陣優化

關鍵鏈工序主要分為強制性邏輯關系和基于資源約束的組織關系兩部分。對于強制性邏輯關系，其排序是確定的，而組織關系則具有一定的隨意性。工序信息流交互，使得工序存在返工風險，導致工序工期延長，因此，在確定關鍵鏈時必須對工序進行優化，既要考慮強制性邏輯關系下因信息流交互所產生的返工時間，又要通過信息流的合理排序和優化，減少具有資源約束的組織關系的信息流交互強度和概率，從而縮短項目工期，減少成本。即利用DSM矩陣減少信息反饋個數、縮短信息反饋距離，從而減少由信息反饋帶來的返工風險。

以圖2-3所示的DSM矩陣為例，四種矩陣分別表示優化前信息流交互矩陣、返工概率（Rework Probability，RP）矩陣、返工強度（Rework Impact，RI）矩陣和優化后信息流交互矩陣。返工概率矩陣和返工強度矩陣是衡量返工風險的矩陣，排序優化時，需考慮返工風險，盡量較少返工次數。一般情況下，DSM矩陣采用“·”或“×”標記信息流向，對角線數值表示工序工期；下三角矩陣表示工序信息傳遞，如B傳遞信息給C；上三角矩陣表示信息反饋，如C將信息反饋給A；用數字標記時，即表示信息流交互的強度，如圖2-3（b）中，RP（3，2）=0.8表示B將信息傳遞給C，導致C返工的概率為0.8；圖2-3（c）中，RI（3，2）=0.3表示C工序發生返工，返工時間占工序C總持續時間的30％。經過對初始矩陣的信息流分析，結合返工概率、返工強度和優化目標函數，就可以得出優化后矩陣，如圖2-3（d）所示。從優化后矩陣可以看出，上三角反饋數明顯減少，工序返工風險大大降低。

傳統DSM技術只考慮到了任務間的信息流約束，而沒有考慮到工序間的邏輯關系和資源約束，而工序間的強制性邏輯關系是不能改變的，其資源也不可能根據信息流的交互而隨意調整，并且沒有限制，因此本節對DSM工具的改進在于考慮到了任務間的邏輯關系和資源約束的影響。

如圖2-4所示，已知工序E必須在工序D完成之后才能進行，圖2-4（a）為初始矩陣，圖2-4（b）為傳統DSM的優化方法矩陣，即在未考慮強制性邏輯關系情況下的優化結果，圖2-4（c）為改進后的優化方法矩陣，即在考慮了強制性邏輯關系情況下的優化結果。由圖2-4（b）和圖2-4（c）所示，未考慮工序D和工序E的邏輯關系下，矩陣上三角點數明顯減少，距離也明顯縮短，進而工期和成本也隨之減少；但是，由于D和E具有強制性邏輯關系，因此，雖然考慮邏輯關系下的優化結果不如不考慮邏輯關系的優化結果好，但是，依然要按照圖2-4（c）所示的矩陣進行優化。因此，關鍵鏈工序優化必須在保持原有強制性邏輯關系不變和考慮資源約束的條件下，基于工序間的信息流交互進行。

（2）建立活動排序目標優化函數

DSM往往基于目標函數對信息流進行優化，傳統的DSM目標優化函數，以反饋個數最小或反饋距離最小，或反饋個數和反饋距離同時最小為優化目標。若用NC表示由反饋個數和反饋距離導致的協調成本，則傳統的目標優化函數為min{NC}。NC可表示為：

其中，DSM（I.J）表示工序I和J的依賴度，（J-I）表示DSM中第I行與第J列對應的點到對角線的距離。ω2和ω1為權重系數，且ω2+ω1=1。

傳統目標優化函數并沒有考慮項目返工風險等不確定性，同時，也忽略了成本和時間對排序的影響。本節在考慮最小化反饋個數和反饋距離基礎上，基于返工概率和返工強度矩陣，加入返工協調時間和返工協調成本，以總協調成本（Total Coordination Cost，TCC）最小，即min{TCC}為目標優化函數。TCC可表示為：

TCC=ωNC×NC+ωRCT×RCT+ωRCC×RCC　　（2-10）

其中，RCT和RCC分別表示返工協調時間和返工協調成本，即與返工相關工序所引起的時間和成本增加的累計值。ωRCT、ωNC和ωRCC是權重系數，且滿足ωRCT+ωNC+ωRCC=1。RCT和RCC的計算公式如下：

其中，TimeK和CostK分別表示工序K的持續時間和成本，RP（K，I）和RI（K，I）分別表示返工概率矩陣和返工強度矩陣中的值。

以圖2-3為例，若工序B、C和D的持續時間為20、25和30；成本分別為25、30和35；則B工序返工風險引起的返工時間RCTB=（0.7×0.1+0.5×0.2）×（25×0.8×0.3+20）=4.42; RCCB=（0.7×0.1+0.5×0.2）×（30×0.8×0.3+25）=5.47。

（3）仿真模擬

（A）案例背景

以總協調成本最小為目標，減少信息反饋個數和反饋距離，得到關鍵鏈工序的最優排序。已知某企業的某科研項目包含20道工序，其工序初始網絡圖如圖2-5所示。

根據關鍵鏈理論，基于任務間的邏輯關系及資源約束情況，可以確定這20道工序中的13道工序為關鍵工序。按照傳統關鍵鏈排序技術，圖2-5即為所確定的項目關鍵鏈網絡圖。按照工序間的信息流傳遞情況，對關鍵鏈工序進行重新排序和優化。為了便于進行DSM矩陣分析，將13道工序按A、B、C、D等的順序重新進行編號，各工序的持續時間以及成本情況如表2-1所示。根據圖2-5所得到的項目初始DSM矩陣如圖2-6所示，返工概率矩陣和返工強度矩陣如圖2-7所示。需要指出的是，工序E、F和G屬于強制性邏輯關系，因此必須按照順序依次進行，工序L和M也必須按照順序依次進行。

（B）Matlab仿真模擬

由圖2-7可知，初始DSM矩陣中，上三角反饋點數較多，在這種情況下所進行的關鍵鏈工作排序，其反饋距離較長，時間和成本也必然很大。采用DSM以總協調成本最小為目標進行優化，得到優化后的矩陣如圖2-8所示。

由圖2-8可見，上三角中所顯示的信息反向流動個數達到最低，項目并行工序返工風險達到最小，在資源限制的情況下，順序作業時，所有并行活動的工期持續時間大大降低。并且，工序E、F和G以及工序L和M之間的強制性邏輯關系維持不變。為了檢驗優化結果，采用基于返工風險的遺傳算法進行優化和仿真，將計算結果用Matlab執行500次仿真，優化前后的計算結果如表2-2所示。項目優化前后總時間和總費用的概率質量函數分布如圖2-9和圖2-10所示，項目整體累計分布函數優化結果如圖2-11所示。對比圖2-11優化前和優化后的結果可知，優化后項目總費用和時間的分散程度進一步降低，將總費用和總時間的概率進行累計后，可得到項目在不同費用和不同時間完工的累計概率。

根據實驗模擬以及驗證結果，可以得出以下結論。

第一，由表2-2可知，經優化后，反饋點數由17減少為13，反饋距離由49減少為26。由圖2-9和圖2-10可知，優化之前，平均返工協調時間為4832.2，時間標準差為40.58；平均協調成本為3131.4，成本標準差為22.66。經優化后，平均返工協調時間為1909.3，降低幅度為60.5％，時間標準差為9.94，降低幅度為75.5％；平均協調成本為1254，降低幅度為60％，成本標準差為8.18，降低幅度為64％。由此可見，這種信息流的重疊和交互，不僅對項目的期望工期有很大的影響，而且對工期的方差也有很大的影響，與傳統關鍵鏈排序和DSM優化方法相比，采用本節的方法使得排序結果得到了進一步的優化。

第二，由圖2-9、圖2-10可知，優化后累計概率曲線比較陡峭，數據更趨于穩定和集中，分散程度進一步降低。因此，優化不但縮短了工期和成本，還減緩了工期波動，增大了項目的完工保證率。

另外，關鍵鏈項目管理跟以往方法相比另一個很大的不同就是加入了三種緩沖區：項目緩沖（Project Buffer，PB）、接駁緩沖（Feeding Buffer，FB）和資源緩沖（Resource Buffer，RB）。緩沖區的加入，解決了項目對安全時間的浪費問題，既可以用來吸收項目的不確定性，又能夠提高項目按時完工的概率。由表2-2、圖2-9～圖2-11可知，經DSM信息流優化后進度和成本的方差得到了很大的降低，工期波動也有較大的減緩，這說明優化能夠降低項目的進度和成本的風險，并因此而減少項目安全時間和緩沖的預留，從而進一步縮短項目工期，提高項目按時完工保證率。

第三，采用DSM進行優化，在保持工序強制性邏輯關系不變的前提下，關鍵鏈工序得到了最優排序，把CCPM中的資源約束關系和工序依賴關系與DSM中的信息流向關系相結合，同時克服了CCPM和DSM的不足。

第四，通過對信息流的分析，指出工序之間的信息流向，然后基于DSM矩陣進行優化。同以往的方法相比，該方法既考慮了工序之間的信息流向，又對工序信息流交互強度和概率進行了優化，除縮短了工序的返工時間外，又在一定程度上減少項目的成本，在關鍵鏈最優排序中，實現了時間和成本的雙重優化。

在關鍵鏈最優排序確定后，可以得到優化后的項目網絡圖，根據關鍵鏈理論在關鍵鏈末端插入項目緩沖后，在非關鍵鏈與關鍵鏈連接處插入接駁緩沖后，得到最終的項目網絡圖，如圖2-12所示。

本節提出了一種基于設計結構矩陣的關鍵鏈排序及優化的新方法。把設計結構矩陣和關鍵鏈項目管理結合起來，考慮到工序間的資源約束和邏輯關系，對于有強制性邏輯關系的工序，保持其邏輯關系不變；對于沒有強制性邏輯關系的工序，以總協調成本最小為目標，根據工序間的信息流交互情況確定關鍵鏈。新方法所確定的關鍵鏈結合工序的工作流和信息流，通過排序縮短工序之間的信息交互距離及強度，從而實現關鍵鏈工序的最優排序。另外傳統DSM信息流目標優化函數只考慮反饋量，而本節方法依據活動時間、費用和返工風險等因素區別對待各活動，費用較大的活動將被最大限度地避免進入返工循環中，從而能減少項目總費用和返工協調成本。仿真模擬結論表明，根據DSM信息流矩陣重新排序后的關鍵鏈實現了時間和成本的雙重優化。同時，由于返工風險考慮了返工的不確定性，也因此降低了因不確定性所導致的關鍵鏈安全時間和緩沖的預留和浪費問題，從而進一步優化了項目的完工時間，降低了項目的總成本。采用仿真計算技術分析優化得到的結果，可更直觀地顯示項目費用和時間的分布，本節所提出的仿真技術為此類問題提供了更加可視化的分析方法。