- 矩陣理論與方法
- 吳昌愨 魏洪增編著
- 4113字
- 2018-12-30 16:44:30
1.2 線性子空間
與n元有序數組組成的向量空間類似,在一般n維線性空間中也可引進子空間的概念,且有類似的討論過程與結論。
1.2.1 線性子空間的概念及實例
定義1.2.1 設U是數域F上的n維線性空間V的一個非空子集,若U中的任意元素(或向量)α,β以及F中的任意數k,對V中所定義的加法與數乘兩種運算滿足
(1)α+β∈U;
(2)kα∈U。
則U也構成數域F上的一個線性空間,稱U是線性空間V的一個線性子空間,簡稱子空間。由定義顯然可看出任何子空間必含有0元(或零向量)。
由于子空間也是線性空間,因此子空間也有基、維數、坐標等內含。又由于子空間是整個線性空間的子集,因此它不可能比整個線性空間含有更多的線性無關向量。所以,V的任何一個子空間U的維數總不會超過V的維數,即有
dimU≤dimV
易看出,任一個非零線性空間至少有兩個子空間,一個是僅由零向量構成的非空子集,稱為零子空間,記做{0};另一個是它自身,即V。這兩個子空間稱為V的平凡子空間,而V中其他線性子空間稱為V的非平凡子空間。
由于零子空間中不含線性無關的向量,所以它沒有基,因此,零子空間{0}當且僅當dim{0}=0。
下面介紹一個常用的子空間,它也給出了構造線性子空間的一個方法。
【例1.2.1】 設V是數域F上的線性空間,α1,α2,…,αs是V中S個向量,k1,k2,…,ks是F中任意一組數,這組向量的所有可能的線性組合
U={k1α1+k2α2+…+ksαs}
是非空的。容易證明U是V的一個子空間,稱U是由向量α1,α2,…,αs所生成的子空間,記做

顯然,若α1,α2,…,αs線性無關,則
dimU=dimL=s
對生成的子空間,下面的定理成立。
定理1.2.1 dim L(α 1,α 2,…,αs)=rank(α 1,α 2,…,αs),其中rank(α 1,α 2,…,αs)表示向量組α1,α2,…,αs的秩,而L(α1,α2,…,αs)的基可以是向量組α1,α2,…,αs中任何一個極大線性無關組。
【例1.2.2】 在例1.1.3中介紹的多項式空間F[x]n中,次數小于t(t≤n)的多項式全體,包括零多項式構成子空間U,由于1,x,x2,…,xt-1是該子空間的一個基,所以其生成子空間,即是
U=L(1,x,x2,…,xt-1)
顯然有
di m L(1,x,x 2,…,xt-1)=ra n k(1,x,x 2,…,xt-1)=t
【例1.2.3】 在例1.1.5中介紹的N(A)是矩陣A的核子空間(或者零空間),即
N(A)={x|Ax=0}=L(α1,α2,…,αn-r)
其中A∈R m × n,ra n k(A)=r,α 1,α 2,…,α n-r是Ax=0的一個基礎解系,di m N(A)=n-r,di m N(A)稱為A的零度。
【例1.2.4】 在例1.1.6中矩陣A的值域R(A)={y=Ax|x∈Rn}可以看成由A的列向量生成的子空間。因為,若α1,α2,…,αn為m×n矩陣A的列向量,則它們的任意一個線性組合

這說明,所有乘積Ax的集合
{y=Ax|x∈Rn}
與A的列向量組的線性組合的集合L(α1,α2,…,αn)相同,即
R(A)=L(α1,α2,…,αn)
若rank(A)=r,則
dim R(A)=rank(α 1,α 2,…,αn)=rank(A)=r
從例1.2.3與例1.2.4可以看出

其中,di m R(A)稱為A的秩,而di m N(A)稱為A的零度。對于任意A∈Cm × n,式(1.2.2)都是成立的。
定理1.2.2(基的擴充定理)設L(α1,α2,…,αS)是線性空間V的一個子空間,則子空間L的任何一個基可擴成V的一個基。
證明略。
1.2.2 子空間的交與和
子空間除了可以由線性空間中的元素生成以外,還可以由子空間經過集合運算而生成。
定義1.2.2 設U1和U2是數域F上線性空間V的子空間,則由U1與U2所有公共元素(向量)組成的集合,稱為U1與U2的交空間,記為U1∩U2,即
U1∩U2={α|α∈U1且α∈U2}
定理1.2.3 數域F上線性空間V的兩個子空間U1與U2的交空間U1∩U2,仍是V的子空間。
證 U1與U2是V的子空間,則V的零向量0同屬于U1和U2,即0∈U1∩U2,故U1∩U2是非空子集。
任取α,β∈U1∩U2,則α,β∈U1且α,β∈U2。由于U1和U2是子空間,故α+β∈U1且α+β∈U2,所以α+β∈U1∩U2。
再任取α∈U1∩U2,k∈F。由于α∈U1和α∈U2且U1和U2都是子空間,所以有kα∈U1且kα∈U2,因此kα∈U1∩U2。于是,U1∩U2是V的子空間。
定義1.2.3 設U1、U2是數域F上線性空間V的子空間,且α∈U1,β∈U2,則所有α+β這樣的元素的集合稱為U1與U2的和,記為U1+U2。即
U1+U2={γ|γ=α+β,α∈U1,β∈U2}
定理1.2.4 若U1與U2是數域F上線性空間V的兩個子空間,則它們的和U1+U2也是V的子空間,稱為U1與U2的和空間。
證 顯然U1+U2是V的非空子集。因為0=0+0,故0∈U1+U2。
對任意向量α,β∈U1+U2,則α=α1+α2,β=β1+β2,其中α1,β1∈U1;α2,β2∈U2。因為α1+β1∈U1,α2+β2∈U2,所以
α+β=(α1+α2)+(β1+β2)=(α1+β1)+(α2+β2)∈U1+U2
對任意α∈U1+U2,k∈F,則α=α1+α2。其中α1∈U1,α2∈U2。又kα1∈U1,kα2∈U2,所以kα=k(α1+α2)=kα1+kα2∈U1+U2,故U1+U2是V的子空間。
要注意的是,V的兩個子空間U1與U2的并U1∪U2一般不再是V的子空間。
【例1.2.5】 在立體幾何空間R3中U1與U2分別表示過原點不重合的直線l1與l2上所有向量形成的子空間。顯然,U1∩U2為l1與l2交點(原點)形成的零子空間,而U1+U2是由l1與l2所確定的平面上全體向量形成的子空間。
定理1.2.5 設α1,α2,…,αs與β1,β2,…,βt是線性空間V中兩組向量,則有

要證式(1.2.3)成立,只需證明式(1.2.3)等號兩邊的子空間互相包含即可。
事實上,任取γ∈L(α1,α2,…,αs)+L(β1,β2,…,βt),則γ=α+β,其中,α∈L(α1,α2,…,αs),β∈L(β1,β2,…,βt)。由于α可由α1,α2,…,αs線性表出,β可由β1,β2,…,βt線性表出,顯然α+β就可由α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt線性表出。則有
γ∈L(α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt)
于是可得

類似還可證明

請讀者自證。
關于兩個子空間的交與和的維數,有以下重要結論。
定理1.2.6 設U1與U2是數域F上線性空間V的兩個子空間,那么有以下公式成立:

上式稱為維數公式。
證 設dimU1=s,dimU2=t,dim(U1∩U2)=r。
因為U1∩U2是U1與U2的子空間,取U1∩U2的一組基
α1,α2,…,αr
由定理1.2.2得知,它可擴充成U1的一組基
α1,α2,…,αr,β1,β2,…,βs-r
同樣也可擴充成U2的一組基
α1,α2,…,αr,γ1,γ2,…,γt-r
這樣
U1=L(α1,α2,…,αr,β1,β2,…,βs-r)
U2=L(α1,α2,…,αr,γ1,γ2,…,γt-r)
由定理1.2.5有
U1+U2=L(α1,α2,…,αr,β1,β2,…,βs-r,γ1,γ2,…,γt-r)
現研究向量組
α1,α2,…,αr,β1,β2,…,βs-r,γ1,γ2,…,γt-r
的線性相關性。
設有如下等式:
k1α1+…+krαr+p1β1+…+ps-rβs-r+q1γ1+…+qt-rγt-r=0
則令

可見α∈U1且α∈U2,于是α∈U1∩U2。
設

并將其代入式(1.2.5),則有
l1α1+…+lrαr+q1γ1+…+qt-rγt-r=0
由于α1,α2,…,αr,γ1,γ2,…,γt-r是U2的基,所以它們線性無關,由此得到
l1=l2=…=lr=q1=q2=…=qt-r=0
由式(1.2.6),α=0。這樣,根據式(1.2.5)有
k1α1+…+krαr+p1β1+…+ps-rβs-r=0
由于α1,α2,…,αr,β1,β2,…,βs-r是U1的基,它們也線性無關,又得到
k1=k2=…=kr=p1=p2=…=ps-r=0
所以向量組
α1,…,αr,β1,…,βs-r,γ1,…,γt-r
線性無關,說明這組向量是U1+U2的一組基。故有
dim(U1+U2)=s+t-r
所以,式(1.2.4)表達的維數公式成立。
推論 U1與U2是數域F上的n維線性空間V的兩個子空間,若它們維數之和大于n,則U1與U2必含有公共非零向量。
證 已知dimU1+dimU2>n,由維數公式,必有
dim(U1∩U2)=dimU1+dimU2-dim(U1+U2)>n-dim(U1+U2)≥0
后一個不等式成立是因為U1+U2是V的子空間,所以有dim(U1+U2)≤dimV=n,所以U1∩U2為非零子空間,必含有公共非零向量。
【例1.2.6】 已知α1=(1,2,1,0)T,α2=(-1,1,1,1)T,β1=(2,-1,0,1)T,β2=(1,-1,3,7)T,U1=L(α1,α2),U2=L(β1,β2),求:
(1)U1+U2的基與維數;
(2)U1∩U2的基與維數。
解(1)由定理1.2.5得
U1+U2=L(α1,α2,β1,β2)
易得α1,α2,β1是向量組α1,α2,β1,β2的極大無關組,它是U1+U2的基,故dim(U1+U2)=3。
(2)因為dim(U1+U2)=3,dimU1=dimU2=2,由維數公式得
dim(U1∩U2)=1
下面求U1∩U2的基。
設α∈U1∩U2,則
α=k1α1+k2α2=k3β1+k4β2
即
k1α1+k2α2-k3β1-k4β2=0
此齊次線性方程組的系數矩陣的秩為3,因此基礎解系含一個解向量,可求出一個基礎解系為
(k1,k2,k3,k4)T=(-1,4,-3,1)T
于是 γ=-α1+4α2=-3β1+β2=(-5,2,3,4)T
所以U1∩U2的一個基為γ=(-5,2,3,4)T,故
U1∩U2=L(γ),di m(U1∩U2)=1
1.2.3 子空間的直和與補子空間
下面介紹子空間直和,它是子空間和的特殊情況。
定義1.2.4 設U1與U2是數域F上線性空間V的兩個子空間,若U1∩U2={0},則稱U1+U2為直和,記做U1⊕U2或。
【例1.2.7】 U1與U2分別是R3中過原點的直線與平面,且U1不在U2上。顯然U1+U2=R3,且U1∩U2={0},所以U1+U2是直和,即U1⊕U2。
【例1.2.8】 U1與U2分別是實數域上齊次線性方程組的解空間,求證Rn=U1⊕U2。


事實上,齊次線性方程組(1.2.7)系數矩陣的秩為1,基礎解系含有n-1個解向量。可求出它的一個基礎解系為

又齊次線性方程組(1.2.8)系數矩陣秩為n-1,基礎解系含一個解向量,可求出它的一個基礎解系為
en=(1,1,…,1)
顯然有U1=L(e1,e2,…,en-1),U2=L(en)。若設α∈U1∩U2,則存在k1,k2,…,kn-1,kn,使
α=k1e1+k2e2+…+kn-1en-1=knen
由此可得
k1e1+…+kn-1en-1-knen=0
易看出e1,e2,…,en-1,en線性無關。則必有
k1=k2=…=kn-1=kn=0
即α=0,于是U1∩U2={0}。
所以,Rn=U1⊕U2。
關于兩個子空間的直和有以下結論。
定理1.2.7 設U1與U2是數域F上線性空間V的兩個子空間,下面的條件是等價的:
(1)U1+U2是直和;
(2)dim(U1+U2)=dimU1+dimU2;
(3)U1+U2中每一向量α的分解式唯一,即
α=α1+α2,α1∈U1,α2∈U2
(4)如α1,…,αt是U1的一個基,β1,…,βs是U2的一個基,則α1,…,αt,β1,…,βs是U1+U2的一個基。
證略。
子空間直和的概念可以推廣到多個子空間情況,這里不再重復。
定義1.2.5 若數域F上的n維線性空間V可表成兩個子空間U1與U2的直和,即
V=U1⊕U2
則稱U1,U2為線性空間V的一對互補子空間,并稱V有一個直和分解。
可以證明,線性空間V的任何一個子空間U1一定存在補子空間U2使V=U1⊕U2,但是,一般地,子空間U1的補子空間不是唯一的。如:
設R3的子空間U1=L(α1,α2),其中α1=(0,1,0),α2=(0,0,1),則由α3=(1,0,0)或α4=(1,1,0)構成的子空間L(α3)或L(α4)均是U1的補子空間。