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  • 矩陣理論與方法
  • 吳昌愨 魏洪增編著
  • 4113字
  • 2018-12-30 16:44:30

1.2 線性子空間

n元有序數組組成的向量空間類似,在一般n維線性空間中也可引進子空間的概念,且有類似的討論過程與結論。

1.2.1 線性子空間的概念及實例

定義1.2.1U是數域F上的n維線性空間V的一個非空子集,若U中的任意元素(或向量)α,β以及F中的任意數k,對V中所定義的加法與數乘兩種運算滿足

(1)α+βU

(2)kαU

U也構成數域F上的一個線性空間,稱U是線性空間V的一個線性子空間,簡稱子空間。由定義顯然可看出任何子空間必含有0元(或零向量)。

由于子空間也是線性空間,因此子空間也有基、維數、坐標等內含。又由于子空間是整個線性空間的子集,因此它不可能比整個線性空間含有更多的線性無關向量。所以,V的任何一個子空間U的維數總不會超過V的維數,即有

dimU≤dimV

易看出,任一個非零線性空間至少有兩個子空間,一個是僅由零向量構成的非空子集,稱為零子空間,記做{0};另一個是它自身,即V。這兩個子空間稱為V的平凡子空間,而V中其他線性子空間稱為V的非平凡子空間。

由于零子空間中不含線性無關的向量,所以它沒有基,因此,零子空間{0}當且僅當dim{0}=0。

下面介紹一個常用的子空間,它也給出了構造線性子空間的一個方法。

例1.2.1】 設V是數域F上的線性空間,α1α2,…,αsVS個向量,k1k2,…,ksF中任意一組數,這組向量的所有可能的線性組合

U={k1α1+k2α2+…+ksαs}

是非空的。容易證明UV的一個子空間,稱U是由向量α1α2,…,αs所生成的子空間,記做

顯然,若α1α2,…,αs線性無關,則

dimU=dimL=s

對生成的子空間,下面的定理成立。

定理1.2.1 dim Lα 1α 2,…,αs)=rank(α 1α 2,…,αs),其中rank(α 1α 2,…,αs)表示向量組α1α2,…,αs的秩,而Lα1α2,…,αs)的基可以是向量組α1α2,…,αs中任何一個極大線性無關組。

例1.2.2】 在例1.1.3中介紹的多項式空間F[x]n中,次數小于ttn)的多項式全體,包括零多項式構成子空間U,由于1,xx2,…,xt-1是該子空間的一個基,所以其生成子空間,即是

U=L(1,xx2,…,xt-1

顯然有

di m L(1,xx 2,…,xt-1)=ra n k(1,xx 2,…,xt-1)=t

例1.2.3】 在例1.1.5中介紹的NA)是矩陣A的核子空間(或者零空間),即

NA)={x|Ax=0}=Lα1α2,…,αn-r

其中AR m × n,ra n k(A)=rα 1α 2,…,α n-rAx=0的一個基礎解系,di m NA)=n-r,di m NA)稱為A的零度。

例1.2.4】 在例1.1.6中矩陣A的值域RA)={y=Ax|xRn}可以看成由A的列向量生成的子空間。因為,若α1α2,…,αnm×n矩陣A的列向量,則它們的任意一個線性組合

這說明,所有乘積Ax的集合

{y=Ax|xRn}

A的列向量組的線性組合的集合Lα1α2,…,αn)相同,即

R(A)=Lα1α2,…,αn

若rank(A)=r,則

dim RA)=rank(α 1α 2,…,αn)=rank(A)=r

從例1.2.3與例1.2.4可以看出

其中,di m RA)稱為A的秩,而di m NA)稱為A的零度。對于任意ACm × n,式(1.2.2)都是成立的。

定理1.2.2(基的擴充定理)設Lα1α2,…,αS)是線性空間V的一個子空間,則子空間L的任何一個基可擴成V的一個基。

證明略。

1.2.2 子空間的交與和

子空間除了可以由線性空間中的元素生成以外,還可以由子空間經過集合運算而生成。

定義1.2.2U1U2是數域F上線性空間V的子空間,則由U1U2所有公共元素(向量)組成的集合,稱為U1U2的交空間,記為U1U2,即

U1U2={α|αU1αU2}

定理1.2.3 數域F上線性空間V的兩個子空間U1U2的交空間U1U2,仍是V的子空間。

U1U2V的子空間,則V的零向量0同屬于U1U2,即0U1U2,故U1U2是非空子集。

任取α,βU1U2,則α,βU1α,βU2。由于U1U2是子空間,故α+βU1α+βU2,所以α+βU1U2

再任取αU1U2kF。由于αU1αU2U1U2都是子空間,所以有kαU1kαU2,因此kαU1U2。于是,U1U2V的子空間。

定義1.2.3U1U2是數域F上線性空間V的子空間,且αU1βU2,則所有α+β這樣的元素的集合稱為U1U2的和,記為U1+U2。即

U1+U2={γ|γ=α+β,αU1βU2}

定理1.2.4U1U2是數域F上線性空間V的兩個子空間,則它們的和U1+U2也是V的子空間,稱為U1U2的和空間。

顯然U1+U2V的非空子集。因為0=0+0,0U1+U2

對任意向量α,βU1+U2,則α=α1+α2β=β1+β2,其中α1β1U1α2β2U2。因為α1+β1U1α2+β2U2,所以

α+β=(α1+α2)+(β1+β2)=(α1+β1)+(α2+β2)∈U1+U2

對任意αU1+U2kF,則α=α1+α2。其中α1U1α2U2。又kα1U1kα2U2,所以kα=kα1+α2)=kα1+kα2U1+U2,故U1+U2V的子空間。

要注意的是,V的兩個子空間U1U2的并U1U2一般不再是V的子空間。

例1.2.5】 在立體幾何空間R3U1U2分別表示過原點不重合的直線l1l2上所有向量形成的子空間。顯然,U1U2l1l2交點(原點)形成的零子空間,而U1+U2是由l1l2所確定的平面上全體向量形成的子空間。

定理1.2.5α1α2,…,αsβ1β2,…,βt是線性空間V中兩組向量,則有

要證式(1.2.3)成立,只需證明式(1.2.3)等號兩邊的子空間互相包含即可。

事實上,任取γLα1α2,…,αs)+Lβ1β2,…,βt),則γ=α+β,其中,α∈L(α1α2,…,αs),βLβ1β2,…,βt)。由于α可由α1α2,…,αs線性表出,β可由β1β2,…,βt線性表出,顯然α+β就可由α1α2,…,αsβ1β2,…,βt線性表出。則有

γLα1α2,…,αsβ1β2,…,βt

于是可得

類似還可證明

請讀者自證。

關于兩個子空間的交與和的維數,有以下重要結論。

定理1.2.6U1U2是數域F上線性空間V的兩個子空間,那么有以下公式成立:

上式稱為維數公式。

設dimU1=s,dimU2=t,dimU1U2)=r

因為U1U2U1U2的子空間,取U1U2的一組基

α1α2,…,αr

由定理1.2.2得知,它可擴充成U1的一組基

α1α2,…,αrβ1β2,…,βs-r

同樣也可擴充成U2的一組基

α1α2,…,αrγ1γ2,…,γt-r

這樣

U1=Lα1α2,…,αrβ1β2,…,βs-r

U2=Lα1α2,…,αrγ1γ2,…,γt-r

由定理1.2.5有

U1+U2=Lα1α2,…,αrβ1β2,…,βs-rγ1γ2,…,γt-r

現研究向量組

α1α2,…,αrβ1β2,…,βs-rγ1γ2,…,γt-r

的線性相關性。

設有如下等式:

k1α1+…+krαr+p1β1+…+ps-rβs-r+q1γ1+…+qt-rγt-r=0

則令

可見αU1αU2,于是αU1U2

并將其代入式(1.2.5),則有

l1α1+…+lrαr+q1γ1+…+qt-rγt-r=0

由于α1α2,…,αrγ1γ2,…,γt-rU2的基,所以它們線性無關,由此得到

l1=l2=…=lr=q1=q2=…=qt-r=0

由式(1.2.6),α=0。這樣,根據式(1.2.5)有

k1α1+…+krαr+p1β1+…+ps-rβs-r=0

由于α1α2,…,αrβ1β2,…,βs-rU1的基,它們也線性無關,又得到

k1=k2=…=kr=p1=p2=…=ps-r=0

所以向量組

α1,…,αrβ1,…,βs-rγ1,…,γt-r

線性無關,說明這組向量是U1+U2的一組基。故有

dim(U1+U2)=s+t-r

所以,式(1.2.4)表達的維數公式成立。

推論 U1U2是數域F上的n維線性空間V的兩個子空間,若它們維數之和大于n,則U1U2必含有公共非零向量。

已知dimU1+dimU2n,由維數公式,必有

dim(U1U2)=dimU1+dimU2-dim(U1+U2)>n-dim(U1+U2)≥0

后一個不等式成立是因為U1+U2V的子空間,所以有dim(U1+U2)≤dimV=n,所以U1U2為非零子空間,必含有公共非零向量。

例1.2.6】 已知α1=(1,2,1,0)Tα2=(-1,1,1,1)Tβ1=(2,-1,0,1)Tβ2=(1,-1,3,7)TU1=Lα1α2U2=Lβ1β2),求:

(1)U1+U2的基與維數;

(2)U1U2的基與維數。

(1)由定理1.2.5得

U1+U2=Lα1α2β1β2

易得α1α2β1是向量組α1α2β1β2的極大無關組,它是U1+U2的基,故dimU1+U2)=3。

(2)因為dim(U1+U2)=3,dimU1=dimU2=2,由維數公式得

dim(U1U2)=1

下面求U1U2的基。

αU1U2,則

α=k1α1+k2α2=k3β1+k4β2

k1α1+k2α2-k3β1-k4β2=0

此齊次線性方程組的系數矩陣的秩為3,因此基礎解系含一個解向量,可求出一個基礎解系為

k1k2k3k4T=(-1,4,-3,1)T

于是 γ=-α1+4α2=-3β1+β2=(-5,2,3,4)T

所以U1U2的一個基為γ=(-5,2,3,4)T,故

U1U2=Lγ),di m(U1U2)=1

1.2.3 子空間的直和與補子空間

下面介紹子空間直和,它是子空間和的特殊情況。

定義1.2.4U1U2是數域F上線性空間V的兩個子空間,若U1U2={0},則稱U1+U2為直和,記做U1U2

例1.2.7U1U2分別是R3中過原點的直線與平面,且U1不在U2上。顯然U1+U2=R3,且U1U2={0},所以U1+U2是直和,即U1U2

例1.2.8U1U2分別是實數域上齊次線性方程組的解空間,求證Rn=U1U2

事實上,齊次線性方程組(1.2.7)系數矩陣的秩為1,基礎解系含有n-1個解向量。可求出它的一個基礎解系為

又齊次線性方程組(1.2.8)系數矩陣秩為n-1,基礎解系含一個解向量,可求出它的一個基礎解系為

en=(1,1,…,1)

顯然有U1=Le1e2,…,en-1),U2=Len)。若設αU1U2,則存在k1k2,…,kn-1kn,使

α=k1e1+k2e2+…+kn-1en-1=knen

由此可得

k1e1+…+kn-1en-1-knen=0

易看出e1e2,…,en-1en線性無關。則必有

k1=k2=…=kn-1=kn=0

α=0,于是U1U2={0}。

所以,Rn=U1U2

關于兩個子空間的直和有以下結論。

定理1.2.7U1U2是數域F上線性空間V的兩個子空間,下面的條件是等價的:

(1)U1+U2是直和;

(2)dim(U1+U2)=dimU1+dimU2

(3)U1+U2中每一向量α的分解式唯一,即

α=α1+α2α1U1α2U2

(4)如α1,…,αtU1的一個基,β1,…,βsU2的一個基,則α1,…,αtβ1,…,βsU1+U2的一個基。

證略。

子空間直和的概念可以推廣到多個子空間情況,這里不再重復。

定義1.2.5 若數域F上的n維線性空間V可表成兩個子空間U1U2的直和,即

V=U1U2

則稱U1U2為線性空間V的一對互補子空間,并稱V有一個直和分解。

可以證明,線性空間V的任何一個子空間U1一定存在補子空間U2使V=U1U2,但是,一般地,子空間U1的補子空間不是唯一的。如:

R3的子空間U1=Lα1α2),其中α1=(0,1,0),α2=(0,0,1),則由α3=(1,0,0)或α4=(1,1,0)構成的子空間L(α3)或L(α4)均是U1的補子空間。

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