1.3 線性變換

本節(jié)主要研究線性空間中元素之間的關(guān)系，介紹映射、線性變換的概念、線性變換的矩陣表示及其有關(guān)子空間。

1.3.1 線性變換的概念及實(shí)例

若不特別提出，下面所考慮的都是固定在某一數(shù)域F上的線性空間。

定義1.3.1 設(shè)V1，V2是兩個(gè)線性空間，若對(duì)于某個(gè)指定的法則T，使V1中任意一元素α都能與V2中的一個(gè)確定元素β相對(duì)應(yīng)，則T稱為由V1到V2的一個(gè)映射，記為

β=T（α）

β稱為α在映射T下的像，而α稱為β的原像。

若T同時(shí)還滿足：

對(duì)任意的α1，α2∈V有

T（α1+α2）=T（α1）+T（α2）

及對(duì)任意k∈F，α∈V，有

T（kα）=kT（α）

則稱T為從V1到V2的一個(gè)線性映射。

定義1.3.2 若T為線性空間V到自身的一個(gè)映射，則T稱為V的一個(gè)變換。若變換T對(duì)于V中任意的元素α、β和數(shù)域F中的任意數(shù)k，還同時(shí)滿足

T（α+β）=T（α）+T（β）

T（kα）=kT（α）

則稱T為線性空間V的一個(gè)線性變換。

我們可以把定義1.3.2中兩個(gè)條件用一個(gè)表達(dá)式來表示，即T是V的線性變換的充分必要條件是

T（kα+lβ）=kT（α）+lT（β）

其中，α與β是V中任意向量，k與l是數(shù)域F中任意數(shù)。

以后一般用白斜體拉丁字母A，B，C，…，T，…代表線性空間V的線性變換，T（α）或Tα代表元素α在線性變換T下的像。

線性變換的豐富內(nèi)容可從下面的幾個(gè)例子顯示出來。

【例1.3.1】 設(shè)R4×4是實(shí)數(shù)域R上全體4階方陣的集合，A為R4×4中任意一個(gè)4階方陣

T（A）=|A|

表示T是R4×4到R的一個(gè)映射。

【例1.3.2】 在平面幾何空間R2中，把任一向量x=（x1，x2）T在平面上繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角后，得到向量y=（y1，y2）T。它們之間的關(guān)系用以下公式表示：

即

y=T（x）

根據(jù)定義，易說明T是R2的線性變換。

【例1.3.3】 關(guān)于F[x]n的求導(dǎo)變換D。對(duì)任意f（x）∈F[x]n有D[f（x）]=f′（x），則求導(dǎo)變換D是F[x]n上的一個(gè)線性變換。

【例1.3.4】 設(shè)C[a，b]表示定義在閉區(qū)間[a，b]上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)組成的實(shí)數(shù)域上的線性空間。在C[a，b]中，變換

其中，f（t）是C[a，b]中任意實(shí)連續(xù)函數(shù)。

用定義不難驗(yàn)證積分變換∫是C[a，b]上的一個(gè)線性變換。

【例1.3.5】 在線性空間V中，

（1）把V中的任意向量α變成α的變換，稱為V的恒等變換或單位變換，記做I，即

I（α）=α

（2）把V中的任意向量α變成零向量的變換，稱為V的零變換，記做T0，即

T0（α）=0

（3）設(shè)k是F中的某個(gè)數(shù)，把V中任意向量α變成kα的變換，稱為V的數(shù)乘變換，記做K，即

K（α）=kα

當(dāng)k=1時(shí)，得到單位變換I；當(dāng)k=0時(shí)，得到零變換T0。

易證明單位變換、零變換和數(shù)乘變換都是線性變換。

線性變換有如下簡單性質(zhì)：

若T是V的線性變換，則

（1）T（0）=0， T（-α）=-T（α）。

（2）若β=k1α1+k2α2+…+kmαm，則有

T（β）=k1T（α1）+k2T（α2）+…+kmT（αm）

又若k1α1+k2α2+…+kmαm=0，則有

k1T（α1）+k2T（α2）+…+kmT（αm）=0

其中，β，αi∈V，ki∈F（i=1，2，…，m）。上式表明，線性變換保持線性關(guān)系式不變。

（3）若α1，α2，…，αm∈V，且α1，α2，…，αm線性相關(guān)，則T（α1），T（α2），…，T（αm）也線性相關(guān)。即線性變換把線性相關(guān)的向量組變成線性相關(guān)的向量組。

要注意的是，線性變換可能把線性無關(guān)的向量組變成線性相關(guān)的向量組。

1.3.2 線性變換的運(yùn)算

定義1.3.3 設(shè)線性變換T1、T2和T都是線性空間V的線性變換，k∈F，若

（1）對(duì)任意向量α∈V，均有T1（α）=T2（α），則稱T1與T2相等，記為T1=T2；

（2）對(duì)任意向量α∈V，均有T1（α）+T2（α）=T（α），則稱T為T1與T2的和，記為T=T1+T2；

（3）對(duì)任意向量α∈V，任意k∈F，均有T（α）=k（T1（α）），則T為T1與k的乘積，記為T=kT1；

（4）若對(duì)任意向量α∈V，有（-T）（α）=-T（α），則（-T）為T的負(fù)變換；

（5）對(duì)于任意向量α∈V，均有T（α）=T1（T2（α）），則稱T為T1與T2的積，記為T=T1T2；

（6）設(shè)T1是V的線性變換，若在V中有線性變換T2存在，使對(duì)于任意向量α∈V，有

T1T2（α）=T2T1（α）=I（α）

這時(shí)，線性變換T1稱為可逆的。T2稱為T1的逆變換，記為，且逆變換是唯一的。

要注意的是，一般情況下線性變換的乘積不滿足交換律，即T1T2≠T2T1。對(duì)線性變換的運(yùn)算，通過驗(yàn)證易得到如下結(jié)論：

線性變換的和、數(shù)乘、積、逆變換與負(fù)變換都仍是線性變換。

這里要指出的是，定義1.3.3所提到的線性變換的加法和數(shù)乘具有以下性質(zhì)：

線性變換的加法滿足：

（1）T1+T2=T2+T1；

（2）（T1+T2）+T3=T1+（T2+T3）；

（3）T+T0=T；

（4）T+（-T）=T0。

線性變換的數(shù)乘滿足：

（1）1·T=T；

（2）k（lT）=（kl）T；

（3）（k+l）T=kT+lT。

其中T1、T2、T3、T0、T、（-T）都是數(shù)域F上線性空間V的線性變換，k、l是F中任意的數(shù)。

由線性變換的加法與數(shù)乘定義及其性質(zhì)，看出線性空間中所有線性變換所構(gòu)成的集合，在規(guī)定的運(yùn)算下構(gòu)成V的一個(gè)新線性子空間。

1.3.3 線性變換的矩陣表示

由于線性變換的概念比較抽象，為了研究方便，現(xiàn)來建立線性變換與矩陣的聯(lián)系。

首先說明，當(dāng)數(shù)域F上n維線性空間V取定一組基α1，α2，…，αn后，V中的一個(gè)線性變換T可與Fn×n中的矩陣A有一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，可形式地表示為

事實(shí)上，由線性變換T唯一地確定了基的像T（α1），T（α2），…，T（αn），所以它們?cè)诮o定基下都有確定的坐標(biāo)。以T（αj）在給定基下的坐標(biāo)作為矩陣A的第j列，這就構(gòu)造了唯一確定的一個(gè)n階方陣A。

反之，取定Fn×n中一個(gè)矩陣A，則A的n個(gè)列唯一確定n個(gè)向量β1，β2，…，βn分別作為α1，α2，…，αn的像，就可唯一確定V的一個(gè)線性變換T，其中βj關(guān)于基α1，α2，…，αn的坐標(biāo)是A的第j列元素。

下面給出線性變換矩陣表示的定義。

定義1.3.4 設(shè)T是n維線性空間V的一個(gè)線性變換，α1，α2，…，αn是V的一個(gè)基，設(shè)

用矩陣形式表示為

其中

稱A為線性變換T在基α1，α2，…，αn下的矩陣。

顯然，線性空間V中的零變換、單位變換、數(shù)乘變換在任意一個(gè)基下的矩陣分別為零矩陣、單位矩陣和數(shù)量矩陣。

【例1.3.6】 求F[x]n的求導(dǎo)變換D，在基1，x，x2，…，xn-1下的矩陣。

解 因?yàn)?/p>

D（1）=0，D（x）=1，D（x2）=2x，…，D（xn-1）=（n-1）xn-2

所以

所求矩陣為

在取定一組基后，線性變換與n階矩陣是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，它可以保持運(yùn)算。

定理1.3.1 若α1，α2，…，αn是n維線性空間V的一個(gè)基，則在這組基下，每個(gè)線性變換按式（1.3.1）都可對(duì)應(yīng)一個(gè)n階方陣，這個(gè)對(duì)應(yīng)有以下性質(zhì)：

（1）線性變換的和對(duì)應(yīng)矩陣的和；

（2）線性變換的乘積對(duì)應(yīng)矩陣的乘積；

（3）線性變換與數(shù)的乘積對(duì)應(yīng)矩陣與數(shù)的乘積；

（4）可逆的線性變換與可逆矩陣對(duì)應(yīng)，且逆變換對(duì)應(yīng)于逆矩陣。

證略。

利用線性變換的矩陣可以求出一個(gè)向量的像。

定理1.3.2 設(shè)線性變換T在基α1，α2，…，αn下的矩陣是A，向量α及其像T（α）在基α1，α2，…，αn下的坐標(biāo)分別是（x1，x2，…，xn）T與（y1，y2，…，yn）T，則有

證 已知

及

于是

將式（1.3.2）代入，有

又因?yàn)?span id="txor4sa" class="span_101">α1，α2，…，αn線性無關(guān)，所以

下面的定理給出同一線性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系，這對(duì)以后的討論很重要。

定理1.3.3 設(shè)線性空間V中，線性變換T在基（1）α1，α2，…，αn與基（2）β1，β2，…，βn下的矩陣分別是A和B，由基（1）到基（2）的過渡矩陣是P，則有B=P-1AP。

證 已知

于是

與式（1.3.4）比較，有

B=P-1AP

所以，同一線性變換在不同基下的矩陣是相似關(guān)系。

【例1.3.7】 已知R3中線性變換T在基β1=（-1，1，1）T，β2=（1，0，-1）T，β3=（0，1，1）T下的矩陣為

求：（1）T在基α1=（1，0，0）T，α2=（0，1，0）T，α3=（0，0，1）T下的矩陣；

（2）向量η=（1，0，1）T及T（η）在β1，β2，β3下的坐標(biāo)。

解（1）由

得到基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的過渡矩陣P

又已知

即線性變換T在基β1，β2，β3下的矩陣為

設(shè)線性變換T在基α1，α2，α3下的矩陣為A，即

T（α1，α2，α3）=（α1，α2，α3）A

由定理1.3.3有B=P-1AP，求出

所以

A即為所求。

（2）設(shè)

解此非齊次線性方程組，得

x1=-2，x2=-1，x3=2

所以，η在基β1，β2，β3下的坐標(biāo)為（-2，-1，2）T。

設(shè)T（η）在基β1，β2，β3下的坐標(biāo)為（y1，y2，y3）T，可由定理1.3.2所給出的公式求出，即

其中，B為線性變換T在基β1，β2，β3下的矩陣。由于B已在前面求出，所以

*1.3.4 線性映射的矩陣表示

定義1.3.5 設(shè)T是由n維線性空間V1到m維線性空間V2的一個(gè)線性映射，α1，α2，…，αn與β1，β2，…，βm分別是V1與V2的一個(gè)基，則

可形式地寫成

設(shè)

上式可寫成

T（α1，α2，…，αn）=（β1，β2，…，βm）A

我們稱矩陣A為線性映射T在V1基α1，α2，…，αn與V2基β1，β2，…，βm下的矩陣。上式稱為線性映射在一對(duì)基下的矩陣表示。

可以證明在V1與V2的一對(duì)基下，線性映射T與矩陣A之間是一一對(duì)應(yīng)的。

定理1.3.4 設(shè)T是由n維線性空間V1到m維線性空間V2的線性映射，α1，α2，…，αn與β1，β2，…，βm分別是V1與V2的一個(gè)基，T在給定的一對(duì)基下的矩陣為A。若任意向量α∈V1，且Tα∈V2，在給定基下，它們的坐標(biāo)分別為（x1，x2，…，xn）T和（y1，y2，…，ym）T，則有

此定理的證明與定理1.3.2的證明類似，留給讀者自證。

定理1.3.4說明，有了線性映射在一對(duì)基下矩陣表示，就可以求出V1中向量α的坐標(biāo)與它在V2中像的坐標(biāo)之間的關(guān)系。

下面的定理將給出線性映射在不同對(duì)基下矩陣之間的關(guān)系。

定理1.3.5 設(shè)T是由n維線性空間V1到m維線性空間V2的一個(gè)線性映射，α1，α2，…，αn與α′1，α′2，…，α′n是V1的兩個(gè)基，由αi到α′i（i=1，2，…，n）的過渡矩陣為P1。β1，β2，…，βm與β′1，β′2，…，β′m是V2的兩個(gè)基，由βj到β′j（j=1，2，…，m）的過渡矩陣為P2。線性映射T在基α1，α2，…，αn與β1，β2，…，βm下的矩陣表示為A，在基α′1，α′2，…，α′n與β′1，β′2，…，β′m下的矩陣表示為B，則有

證略。由矩陣等價(jià)的定義知，矩陣A與矩陣B是等價(jià)的。

定理1.3.5說明，由n維線性空間V1到m維線性空間V2的一個(gè)線性映射T有一系列的m×n矩陣表示：A，B，…，它們之間的關(guān)系是等價(jià)關(guān)系。