不朽的浪漫不爆分是怎么办

書名：矩陣理論與方法
作者名：吳昌愨魏洪增編著
本章字數(shù)： 4522字
更新時間： 2018-12-30 16:44:29

1.1 線性空間

1.1.1 線性空間的概念及實例

線性空間也稱向量空間，是一個重要的基本概念。粗略地說，線性空間是定義了加法與數(shù)乘的一個集合，集合中的元素（簡稱元）經(jīng)過這兩種運算所得的結(jié)果仍屬于這個集合，稱此集合在這兩種運算下封閉。這兩種運算滿足規(guī)定的運算法則，數(shù)乘所用的數(shù)是取自于定義了和、差、積、商的數(shù)集，該數(shù)集稱為數(shù)域。

定義1.1.1 設F是包含0和1在內(nèi)的數(shù)集，若F對于數(shù)的加、減、乘、除都封閉，即F中任意兩個數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍在F中，則稱F是一個數(shù)域。

據(jù)此，由全體有理數(shù)構(gòu)成的集合、由全體實數(shù)構(gòu)成的集合、由全體復數(shù)構(gòu)成的集合都是數(shù)域，分別稱為有理數(shù)域、實數(shù)域、復數(shù)域，依次用Q、R、C表示。

本書只涉及實數(shù)域R和復數(shù)域C，一般用數(shù)域F統(tǒng)稱。

定義1.1.2 設V為非空集合，F為一數(shù)域（實數(shù)域或復數(shù)域）。在V中定義了加法，即給定一個法則：V中的任意兩個元素α與β有唯一的一個同在V中的元素γ與它們對應，記為γ=α+β，稱為α與β的和。在數(shù)域F與集合V的元素之間定義數(shù)乘，即給定另一法則：F中任一數(shù)k與V中任一元素α有唯一的一個在V中的元素δ與它們對應，記為δ=kα=αk，稱為k與α的數(shù)乘。如果加法和數(shù)乘滿足下列規(guī)則，則稱V是數(shù)域F上的線性空間（或F上的向量空間）。

加法滿足下列4條規(guī)則：

（1）交換律 α+β=β+α；

（2）結(jié)合律（α+β）+γ=α+（β+γ）；

（3）在V中有零元素0，使對V中任一元素α，都有α+0=α；

（4）對V中每一元素α，都存在一個在V中的負元素β，使α+β=0。β稱為α的負元素，記為β=-α。

數(shù)乘滿足下列4條規(guī)則：

（5）數(shù)1的數(shù)乘1α=α；

（6）數(shù)乘的結(jié)合律 k（lα）=（kl）α；

（7）數(shù)因子分配律（k+l）α=kα+lα；

（8）分配律 k（α+β）=kα+kβ。

其中k、l為F中的任意數(shù)，α、β、γ為V中的任意元素。

為強調(diào)數(shù)域F的影響，有時將線性空間記為V（F），其中元素概稱為向量，F中的元素概稱為數(shù)量或純量。當數(shù)域F取實數(shù)域R或復數(shù)域C時，分別稱V為實線性空間或復線性空間。

在本書中的符號，除特別聲明外，我們約定用“主要符號說明”表中指定的符號。并約定，不加說明時，討論問題中向量均為列向量。

【例1.1.1】分量取自數(shù)域F上的n元向量全體組成的集合Fn={α，β，γ，…}按照通常的向量加法和數(shù)與向量的數(shù)乘，構(gòu)成F上的線性空間（或向量空間）。當F為復數(shù)域C時，稱為n元復向量空間，記成Cn；當F為實數(shù)域R時，稱為實向量空間，記為Rn。

事實上，在Fn中任取兩個向量α=（a1，a2，…，an）T和β=（b1，b2，…，bn）T，k為F中任意數(shù)，則有

α+β=（a1+b1，a2+b2，…，an+bn）T∈Fn；

kα=（ka1，ka2，…，kan）T∈Fn

且易證滿足定義1.1.2中對加法和數(shù)乘兩種運算的8條運算規(guī)則。

【例1.1.2】數(shù)域F上m×n矩陣的全體組成的集合Fm×n={A，B，C，…}按照矩陣的加法和F中數(shù)與矩陣的乘法構(gòu)成F上的向量空間，稱為矩陣空間。

若把m×n矩陣看做m×n維向量，由例1.1.1很容易說明Fm×n構(gòu)成F上的向量空間。

【例1.1.3】數(shù)域F上次數(shù)小于n的一元多項式全體，包括零多項式所組成的集合F[x]n={f（x）=a0+a1x+…+an-1xn-1|ai∈F，i=0，1，…，n-1}按照多項式的加法和F中數(shù)與多項式的乘法構(gòu)成F上的線性空間，稱為多項式空間。

【例1.1.4】實函數(shù)的全體組成的集合，按照函數(shù)的加法和實數(shù)與函數(shù)的乘法構(gòu)成實數(shù)域R上的線性空間，稱為函數(shù)空間。

【例1.1.5】設A為復數(shù)域上的m×n矩陣，根據(jù)齊次線性方程組解的性質(zhì)，易證齊次線性方程組Ax=0的包括零解的所有解的集合構(gòu)成C上的線性空間，稱為方程組Ax=0的解空間，也稱矩陣A的核空間或零空間，常記為N（A）。

【例1.1.6】設A∈Cm×n，x∈Cn，則由Ax確定的所有m維向量的全體組成的集合

V={y|y=Ax}

構(gòu)成復數(shù)域C上的線性空間，稱為A的列空間或值空間或A的值域，常記為R（A）。

【例1.1.7】設R是實數(shù)域，R+是正實數(shù)全體組成的集合。在R+中元素加法”的定義和R中的數(shù)與R+的元素間的數(shù)乘“°”的定義為

其中a，b∈R+，k∈R，試證明R+按照上述定義運算”與“°”構(gòu)成R上的線性空間。

證首先，由于任意a，b∈R+，任意k∈R，有

即按照所定義的”，和“°”，對R+是封閉的

其次，對所定義的加法和數(shù)乘運算滿足8條運算規(guī)則：

任取a，b，c∈R+，任取k，l∈R，則對于加法”有

對于數(shù)乘“°”有

（5）1°a=a1=a，0°a=a0=1

由此，證明了R+按照所定義的兩種運算：”與“°”構(gòu)成R上線性空間。

注意：若集合V按照所定義的加法與數(shù)乘運算不滿足封閉性，或者不滿足8條運算規(guī)則中任何一條，則該集合不能構(gòu)成線性空間。如下面的兩個例子。

【例1.1.8】次數(shù)為n的實系數(shù)多項式全體組成的集合，按照通常多項式的加法與數(shù)乘，不構(gòu)成實線性空間。因為，按照多項式加法，不滿足封閉性。

【例1.1.9】非齊次線性方程組Ax=b，所有解向量的全體所組成的集合，不構(gòu)成線性空間，因為該集合對加法與數(shù)乘均不封閉。

由定義不難推出線性空間的基本性質(zhì)：

性質(zhì)1 在線性空間V中，零元素是唯一的，任何一個元素的負元素是唯一的。

性質(zhì)2 在線性空間V中，對任意α∈V，k∈F，下列關系式成立：

0·α=0；（-1）α=-α；k·0=0

性質(zhì)3 在線性空間V中，若kα=0，則必有k=0或α=0。

綜合以上性質(zhì)，我們由kα+β=0在k≠0時，可推出。

線性空間的元素也稱向量，自然，這里所謂向量比幾何中所謂向量的含義要廣泛得多。

1.1.2 基、維數(shù)與坐標

在線性空間V中，可以依照n元有序數(shù)組組成的向量空間，引入線性組合、線性表出、線性相關性、極大無關組、基、坐標等概念及其結(jié)論。

（1）線性組合與線性表出

設α1，α2，…，αm是線性空間V中m個向量，且k1，k2，…，km是數(shù)域F中任意m個數(shù)，則向量

k1α1+k2α2+…+kmαm

稱為α1，α2，…，αm的一個線性組合，若向量β有

β=k1α1+k2α2+…+kmαm

則稱β可以由α1，α2，…，αm線性表出，也可稱β是α1，α2，…，αm的線性組合。

（2）線性組合的線性組合

線性空間V中若干向量的線性組合的線性組合還是這若干向量的線性組合。

（3）線性相關與線性無關

在線性空間V中對于向量組α1，α2，…，αm，若有不全為零的m個數(shù)k1，k2，…，km存在，使得

k1α1+k2α2+…+kmαm=0

成立，則稱向量組α1，α2，…，αm線性相關。若只有全為零的數(shù)，即僅當k1=k2=…=km=0才使得

k1α1+k2α2+…+kmαm=0

成立，則稱向量組α1，α2，…，αm線性無關。

在線性無關的向量組中，沒有任何向量是其余向量的線性組合。

（4）線性表出的唯一性

在線性空間V中設向量β可由向量組α1，α2，…，αm線性表出，即

β=k1α1+k2α2+…+kmαm

則線性表出系數(shù)唯一確定的充分必要條件是向量組α1，α2，…，αm線性無關。

（5）極大線性無關組

在線性空間V中，如果向量組A的一個部分組B滿足：

① 線性無關；

② 向量組A中每一個向量都可由部分組B線性表出。

則稱部分組B是向量組A的一個極大線性無關組，簡稱極大無關組。

（6）向量組的秩

線性空間V中一個向量組的極大無關組不是唯一的，但是任意一個極大無關組所含向量個數(shù)是相等的，此時極大無關組所含向量的個數(shù)稱為向量組的秩。

由此可見，線性代數(shù)中許多概念值得回憶，這是因為其中相關的大部分內(nèi)容，大都可以移植到線性空間中，而其本身也是抽象空間的一種具體化。學習數(shù)學常有一種方式，即學會把具體的東西抽象化，且能把抽象的東西具體化。在這里線性代數(shù)的內(nèi)容與線性空間中的概念，正提供了這種互相轉(zhuǎn)化的契機。

定義1.1.3 若ε1，ε2，…，εn是數(shù)域F上線性空間V的n個線性無關的向量，且V中任意向量α，都可以由ε1，ε2，…，εn線性表出，即

α=a1ε1+a2ε2+…+anεn

則稱ε1，ε2，…，εn為V的一個基或一組基底，有序數(shù)組（a1，a2，…，an）T為α在基ε1，ε2，…，εn下的坐標。這里（a1，a2，…，an）T是被向量α與基ε1，ε2，…，εn唯一確定的。此時，基中所含基向量的個數(shù)稱為V的維數(shù)，并且稱V為n維線性空間，記為dimV=n。