1.2 力的概念和數(shù)學(xué)描述

力無疑是力學(xué)學(xué)科中最基本的概念。搞清楚力的概念和力的數(shù)學(xué)描述對力學(xué)的學(xué)習(xí)和研究至關(guān)重要。

力的概念

力（force）的概念是從勞動中產(chǎn)生的。人們在生活和生產(chǎn)中，由于肌肉緊張收縮的感覺，逐漸產(chǎn)生了對力的感性認識。隨著生產(chǎn)的發(fā)展，又逐漸認識到物體機械運動狀態(tài)的改變（包括變形），都是由于其他物體對該物體施加力的結(jié)果。這樣，逐步由感性到理性，建立了抽象的力的概念。

力是物體間的機械相互作用，其作用效果使物體的機械運動狀態(tài)發(fā)生改變。物體之間的機械作用大致可分為兩類：一類是接觸作用，如機車牽引車廂的拉力、物體之間的擠壓力等；另一類是“場”對物體的作用，如地球引力場對物體的引力（重力）、電場對電荷的引力或斥力等。盡管各種物體間相互作用力的來源和性質(zhì)不同，但力學(xué)只研究各種力對物體產(chǎn)生的效應(yīng)，并不關(guān)心力的物理本質(zhì)。力對物體的作用產(chǎn)生兩個方面的效應(yīng)：物體運動狀態(tài)的改變和物體形狀的改變。通常，把前者稱為力的運動效應(yīng)（effect of motion），后者稱為力的變形效應(yīng)（effect of deformation）。

實踐表明，力對物體的作用效果應(yīng)取決于：①力的大小；②力的方向；③力的作用點。以上三點稱為力的三要素。

力的幾何描述

可用一個帶有箭頭的線段來描述力所具有的三個要素，如圖1-1所示。線段的長度按一定的比例尺表示力的大小，起始端代表力的作用點，箭頭指向代表力的方向，線段所在的直線表示力的作用線。在數(shù)學(xué)上，這種帶有箭頭的線段用矢量描述：矢量的大小（模）表示力的大小，矢量的方向表示力的方向，矢量的始端表示力的作用點（有時也用末端表示力的作用點）。通常將表示力的矢量稱為力矢（force vector），用黑斜體字母F或加矢量符號的字母Fˉ表示，普通字母F則表示力的大小。若以e表示沿力矢F方向的單位矢量，則力矢F可寫成

即力矢可以用它的模和單位矢量的乘積表示。數(shù)學(xué)中矢量的運算同樣適合于力矢的運算。但注意，由于力的作用點是指定的，所以力矢是定點矢量。

在國際單位制（SI）中，以“N”作為力的單位符號，稱為牛或牛頓。有時也以“kN”作為力的單位符號，稱為千牛或千牛頓。

力的解析描述

矢量可以在選定的坐標系中用其在坐標軸上的投影解析表示，同樣可以用這種方法表示力矢。如圖1-2所示，在直角坐標系中，力矢的投影表示式為

式中，i,j,k分別為沿x,y,z軸的單位矢量，F x,Fy,Fz分別為力矢在坐標軸x,y,z上的投影。

若已知力F與正交坐標系Oxyz三坐標軸間的夾角分別為α, β, γ，如圖1-3(a)所示，則力在三個坐標軸上的投影等于力的大小F乘以力與各軸夾角的余弦，即

若力F與x, y軸間的夾角不易確定，可把力F先投影到坐標平面Oxy上，得到投影Fxy，然后再把Fxy向x,y軸投影，如圖1-3(b)所示。若已知夾角γ和φ，則力F在三個坐標軸上的投影分別為

此方法為二次投影法。

如果已知力F在正交坐標系Oxyz中坐標軸上的三個投影，則力F的大小和方向余弦為

例題1-1

如例題圖1-1所示，在正方體的角點A, B處作用力F1,F2，大小均為F。試求此二力在x, y, z軸上的投影。

解：

(1) 對力F1使用二次投影法。設(shè)F1與x y面的夾角為α，其余弦值和正弦值分別為

其中，a為正方體的邊長。F1在x y面上的投影為

于是，由式(1-4)得力F1在x,y,z上的投影分別為

(2) 對力F2使用直接投影法。由式(1-3)得F2在x,y,z上的投影分別為

例題1-2

已知力在直角坐標系中的解析式為F=3i+4j-5k k N，試求這個力的大小和方向，并作圖表示。

解：

根據(jù)題意，F(xiàn)x=3,Fy=4,Fz=-5，所以由式(1-5)和式(1-6)得

于是，角度為

(F,i)=α=64.9°，(F,j)=β=55.55°，(F,k)=γ=180°-45°=135°

如例題圖1-2所示。

實際物體的受力往往是由多個力組成的復(fù)雜系統(tǒng)，稱為力系（system of forces）。根據(jù)各力的作用線和作用點所在空間的分布特點，通常將力系分為平面力系和空間力系，其中又分為匯交力系、力偶系、平行力系和一般任意力系。但不論多么復(fù)雜的力系，其分析計算都以上述關(guān)于力的數(shù)學(xué)表述為基礎(chǔ)。