1.3 采樣和濾波

1.3.1 采樣

1. 采樣和采樣定理

在模擬量控制系統中，生產過程所處理的都是連續變化的物理量，這些物理量經過傳感器和變送器的變換，變成了標準的連續變化的電量（0～10V，4～20mA等）。這些電量可以直接送到由電子電路組成的模擬量控制器中進行處理。如果要送到計算機、PLC等數字量控制器中進行處理，則必須經過A/D轉換成數字量才能送到數字控制器中。A/D轉換是需要一定時間的，相應時間內的模擬量則不能連續進行轉換。同時對數字控制器來說，對輸入的A/D轉換后的數字量進行處理也是需要一定時間的，如PLC的掃描時間。在PLC掃描時間內，只能通過指令讀取相應的數值，而下一個數值必須等到下一個掃描周期內才能進行。由此可知，在時間上、取值上都是連續的模擬量，轉換成的數字量在時間上、取值上都不是連續的，這種不連續的數字量，稱為離散量。因此，有時又把數字控制稱為離散控制，而把計算機、PLC等控制系統稱為離散控制系統。

什么叫采樣？對模擬量按規定的時間或時間間隔取值，就稱為模擬量的采樣。采樣后得到的量即為離散量。顯然，離散量在時間上是離散的，即只能代表采樣瞬間的模擬量的值。采樣的離散量是一個模擬數量，必須經過A/D轉換才能變成與離散的模擬量最接近的二進制數字量，這個過程又稱為量化。量化后的離散量為數字量，數字量在時間上與取值上都是離散的。

離散控制系統常用的有3種采樣形式。

（1）周期采樣：就是以相同的時間間隔進行采樣，采樣的時間間隔是一個常數 Ts，稱為采樣周期。周期采樣是用得最多的采樣形式。在PLC控制系統中，基本上都采用周期采樣。

（2）多階采樣：多階采樣也是一種周期采樣，它是對不同的時間間隔進行周期性重復采樣，用得很少。

（3）隨機采樣：采樣周期是隨機的、不固定的，可在任意時刻進行采樣。

一個模擬量信號經過采樣變成一列離散的數字量信號，如何使采樣信號能較少失真地反映原來的連續信號就成為一個需要解決的問題。圖1-21所示為不同采樣周期采樣后的波形圖。

設采樣周期為Ts，則采樣頻率fs=1/Ts。一個連續變化的信號，如果采樣頻率不同，其離散數字量幅值變化波形也不同。由圖1-21可以看出，采樣頻率越高，則數字量幅值變化越接近于連續變化的模擬量信號。但如果采樣頻率太高，在實時控制中，將會把許多寶貴的時間用在采樣上，而失去實時控制的機會，這也不是控制系統所希望的。因此，如何確定采樣頻率，使得采樣結果既能不失真于輸入模擬信號，又不致因為采樣頻率過高而失去控制的機會，這就是采樣頻率的確定原則。

采樣定理告訴我們：在進行模擬量/數字量信號的轉換過程中，當采樣頻率 fs大于等于模擬信號中最大頻率 fmax的2倍時，即 fs≥2fmax，則采樣后的數字信號能完整地保留模擬量輸入信號的信息。也就是說，為了不失真地恢復原始信號，采樣頻率至少應是原始信號最高有效頻率的兩倍。

但在實際應用中，不能根據采樣定理去確定采樣頻率，這是因為它的應用受到很大的限制。例如，它要求模擬信號是有限寬帶，實際上所有信號并非都是有限寬帶，信號的最大頻率是非常難以用理論計算出的。所以，在實際應用中，采樣頻率（或采樣周期）大都采用經驗法確定。

2. 采樣周期選擇

從采樣定理可知，采樣頻率越高，即采樣周期越小，則信號失真越小。但是，周期越小，則系統消耗在采樣的時間上越多。而且，當采樣周期太小時，此時所產生的偏差信號也會過小，數字控制器將會失去調節作用。但如果采樣周期過長，又會引起信號失真，產生很大的控制誤差。因此，采取周期必須綜合考慮。

影響采樣周期的因素有如下幾項。

（1）擾動頻率：若干擾信號的頻率高，則采樣周期小。

（2）控制對象的動態特性：若控制對象的滯后性大，則采用周期可大一些。

（3）數字控制器的執行時間：若執行時間越長，則采樣周期不能小于其執行時間。

（4）控制對象所要求的控制質量：一般來說，控制精度要求越高，則采樣周期越短。

（5）控制回路數：控制回路越多，則采樣時間越長。

采樣周期的選擇有兩種方法：一種是計算法，由于計算復雜，計算所需的參數很難確定，所以幾乎沒有人采用；另一種是經驗法，這是在實際應用中用得最多的方法。

經驗法實際上是一種試湊法，即人們根據在工作實踐中累積的經驗以及被控制對象的特點，大概選擇一個采樣周期 T，然后進行試驗，根據實際控制效果，再反復修改 T，直到滿意為止。經驗法所采用的周期見表1-1。

表中所列采樣周期僅供參考。實際采樣周期必須經過現場調試后才能確定。在現場調試時，采樣周期可作為稍后調節參數進行調試，在不影響其他調節的情況下，可以把采樣周期逐步縮短，直到不影響調節質量為止。

1.3.2 濾波

1. 濾波和濾波方式

濾波，顧名思義就是對波形的過濾作用。一個頻率為 f 的正弦波通過某種電路時，由于頻率不同，會產生不同的衰減。這種對不同頻率會產生不同衰減的電路稱為濾波電路。

圖1-22（a）所示是一個RC低通濾波器電路。由電路分析知識可知，當RC電路輸入信號電壓U1，輸出信號電壓為U2時，其幅頻特性曲線如圖1-22（b）所示。

幅頻特性說明，當 RC 為常數且輸入電壓 U1一定時，輸出電壓 U2的大小與正弦波頻率f 有關。f=0時（直流），U2=U1，電壓傳輸沒有衰減。而隨著 f 的增大，輸出電壓 U2也越來越小。這就是說，該電路對較低的 f 的正弦波衰減較小，而對較高頻率的正弦波則有較大的衰減。換句話說，如果輸入信號電壓 U1為多種頻率正弦波的疊加，則輸出信號電壓將含有較多的低頻成分正弦波，而高頻成分的正弦波被過濾掉，這就是RC電路的濾波作用。如圖1-22所示的RC電路又稱為RC低通濾波器。

什么是濾波？在電子技術中，濾波是對信號的一種處理。其處理功能是：讓有用的信號盡可能無衰減地通過，而讓無用的信號盡可能衰減掉。完成這種功能的電子電路就稱為濾波電路或濾波器。

上述分析雖然是對正弦波而言的，但對非正弦周期信號或非周期連續變化信號也是適用的。信號的頻域分析指出，非正弦周期信號可以展開為一系列頻率不同的正弦波的疊加；而非周期信號則可以展開為頻率連續的無限多個正弦波之和。這就使濾波和濾波器在模擬量（連續變化的信號）控制中獲得了廣泛地應用。

在模擬量控制中，由于工業控制對象的環境比較惡劣、干擾較多、如環境溫度、電場、磁場，所以為了減少對采樣值的干擾，對輸入的數據進行濾波是非常必要的。

在計算機、單片機、PLC等數字控制器引入到模擬量控制系統后，模擬量控制的濾波就有了硬件濾波和軟件濾波兩種方式。

硬件濾波又分為模擬濾波器和數字濾波器兩大類。模擬濾波器是由電子元器件R、L、C和集成運算放大器等組成的有源或無源模擬電路。按所通過的信號頻段可分為低通、高通、帶通、帶阻4種濾波器。

隨著計算機技術和集成電路技術的發展，后來又出現了由數字集成電路組成的數字濾波器，又稱為數字信號處理器。數字濾波器與模擬濾波器完全不同，它處理的對象是由采樣器件將模擬信號轉換而得到的數字信號。它是通過數字運算電路對輸入數字信號進行運算和處理而完成濾波功能的。和模擬濾波器相比，數字濾波器無論在精度、信噪比還是可靠性上都遠遠優于模擬濾波器。此外，數字濾波器還具有可編程改變特性以及復用和便于集成等優點。數字濾波器在語言信號處理、圖像信號處理、醫學生物信號處理以及其他領域都得到了廣泛應用。

軟件濾波又稱為數字濾波。它是利用數字控制器的強大而快速的運算功能，對采樣信號編制濾波處理程序，由計算機對濾波程序進行運算處理，從而消除或削弱干擾信號的影響，提高采樣值的可靠性和精度，達到濾波的目的。

2. 數字濾波

和硬件濾波相比，數字濾波的特點如下：

（1）數字濾波不需要硬件，只要在采樣信號進入后，附加一段數字濾波程序即可。這樣可靠性高，不存在阻抗匹配問題，尤其是數字濾波可以對頻率很高或很低的信號進行濾波，這是模擬濾波器做不到的。

（2）模擬濾波器不能共用，一個濾波器只能供一個采樣信號使用，而數字濾波是用軟件算法實現的，多輸入通道可共用一個軟件“濾波器”，從而降低系統成本。

（3）只要適當改變軟件濾波器的濾波程序或運行參數，就能方便地改變其濾波特性，這個對于低頻、脈沖干擾、隨機噪聲等特別有效。

數字濾波是通過運行濾波程序而進行的，這就帶來了占用程序容量和速度響應的問題，這就是數字濾波的缺點。因此，如果因為運算濾波程序而影響了模擬量的響應速度，從而進一步影響了控制質量，就必須考慮采用硬件濾波的方式來代替軟件濾波。

目前，在工業控制上常用的數字濾波程序設計方法有兩類。一類為靜態數字濾波程序設計，其方法是對采樣值進行平滑加工處理，用以消除隨機脈沖干擾和電子噪聲。常用的處理方法有限幅、平均值計算等。另一類為動態數字濾波程序設計。它是用軟件算法來模擬硬件模擬濾波器的功能，達到模擬濾波器的濾波功能。其特點是當前濾波值輸出都與上次濾波值輸出有關。常用的是一階慣性濾波法。

1.3.3 常用數字濾波方法

（1）非線性濾波法：克服由外部環境偶然因素引起的突變性擾動或內部不穩定造成的尖脈沖干擾，是數據處理的第一步。通常采用簡單的非線性濾波法，有限幅濾波、中值濾波等。

（2）線性濾波法：用于抑制小幅度高頻電子噪聲、電子器件熱噪聲、A/D量化噪聲等。通常采用具有低通特性的線性濾波法，有算術平均濾波法、加權平均濾波法、滑動加權平均濾波法、一階滯后濾波法等。

（3）復合濾波法：在實際應用中，有時既要消除大幅度的脈沖干擾，又要做到數據平滑。因此，常把前面介紹的兩種以上的方法結合起來使用，形成復合濾波法。有中位值平均濾波法、限幅平均濾波法等。

下面分別進行介紹。

1. 限幅濾波（又稱程序判斷濾波法）

限幅濾波法是通過程序判斷被測信號的變化幅度，從而消除緩變信號中的尖脈沖干擾。

其方法是把兩次相鄰的采樣值相減，求出其增量（以絕對值表示）。然后與兩次采樣允許的最大差值ΔY 進行比較，ΔY 的大小由被測對象的具體情況而定，若小于或等于ΔY，則取本次采樣的值；若大于ΔY，則取上次采樣值作為本次采樣值，即

|Yn - Yn - 1|≤ΔY，則Yn有效，

|Yn - Yn - 1|＞ΔY，則Yn - 1有效。

式中，Yn——第n次采樣的值；

Yn -1——第（n -1）次采樣的值；

ΔY——相鄰兩次采樣值允許的最大偏差。

限幅濾波法的優點是能有效克服因偶然因素引起的脈沖干擾（隨機干擾）和采樣信號不穩定引起的失真；缺點是無法抑制那種周期性的干擾平滑誤差。它適用于變化比較緩慢的被測量值。

2. 中位值濾波

中位值濾波是一種典型的非線性濾波，它運算簡單，在濾除脈沖噪聲的同時可以很好地保護信號的細節信息。

其方法是連續采樣N次（N取奇數），把N次采樣值按大小排列，取中間值作為本次采樣的有效數據。

中位值濾波的優點是能有效克服因偶然因素引起的波動（脈沖）干擾；缺點是對流量、速度等快速變化的參數不宜。它對溫度、液位的變化緩慢的被測參數有良好的濾波效果。

3. 算術平均值濾波法

算術平均值濾波法是對 N 個連續采樣值相加，然后取其算術平均值作為本次測量的濾波值。

N 的取值對濾波效果有一定影響，當 N 取值較大時，信號平滑度較高，但靈敏度較低；當N取值較小時，信號平滑度較低，但靈敏度較高。N值的選取：流量，N=12；壓力，N=4。

算術平均值濾波的優點是對濾除混雜在被測信號上的隨機干擾信號非常有效。被測信號的特點是有一個平均值，信號在某一數值范圍附近上下波動。其缺點是不易消除脈沖干擾引起的誤差。算術平均值濾波法無法在采樣速度較慢或要求數據更新率較高的實時系統中使用。它比較浪費內存。

4. 滑動平均濾波法

對于采樣速度較慢或要求數據更新率較高的實時系統，應采用滑動平均濾波法。滑動平均濾波法是把N個測量數據看成一個隊列，隊列的長度固定為N，每進行一次新的采樣，把測量結果放入隊尾，而去掉原來隊首的一個數據（先進先出原則），這樣在隊列中始終有 N個“最新”的數據。對這N個數據進行算術平均值運算，然后取其結果作為本次測量的濾波值。N值的選取：流量，N=12；壓力，N=4；液面，N=4～12；溫度，N=1～4。

滑動平均濾波法的優點是對周期性干擾有良好的抑制作用，平滑度高，適用于高頻振蕩的系統。其缺點是靈敏度低，對偶然出現的脈沖性干擾的抑制作用較差，不易消除由于脈沖干擾所引起的采樣值偏差，不適用于脈沖干擾比較嚴重的場合。它占用內存較多。

以上介紹的各種平均濾波算法有一個共同點，即每取得一個有效采樣值必須連續進行若干次采樣，當采樣速度較慢（如雙積分型A/D轉換）或目標參數變化較快時，系統的實時性不能保證。

5. 加權平均濾波法

算術平均濾波法存在前面所說的平滑和靈敏度之間的矛盾。采樣次數太少，平滑效果差；采樣次數太多，靈敏度下降，對參數的變化趨勢不敏感。協調兩者關系，可采用加權平均濾波，對連續N次采樣值，分別乘上不同的加權系數之后再求累加和。加權系數一般先小后大，以突出后面若干采樣的效果，加強系統對參數的變化趨勢辯的辨識。各個加權系數均為小于1的小數，且滿足總和等于1的約束條件。這樣，加權運算之后的累加和即為有效采樣值。為方便計算，可取各個加權系數均為整數，且總和為256，加權運算后的累加和除以256后便是有效采樣值。

加權平均濾波法的優點是適用于有較大純滯后時間常數的對象和采樣周期較短的系統。其缺點是對于純滯后時間常數較小、采樣周期較長、變化緩慢的信號不能迅速反應系統當前所受干擾的嚴重程度，濾波效果差。

6. 一階滯后濾波法

一階滯后濾波器（又稱為一階低通濾波法、慣性濾波法）是用軟件的方法實現硬件的RC濾波，以抑制干擾信號。在模擬量輸入通道中，常用一階滯后RC模擬濾波器來抑制干擾，如圖1-23所示。用此種方法來實現對低頻干擾時，首先遇到的問題是要求濾波器有大的時間常數（時間常數=RC）和高精度的RC網絡。時間常數越大，要求 RC值越大，其漏電流也必然增大，從而使RC網絡精度下降。采用一階滯后的數字濾波方法，能很好地克服這種模擬量濾波器的缺點，在濾波常數要求較大的場合，此法更適合。

將普通硬件RC低通濾波器的微分方程用差分方程來近似，可以采用軟件算法來模擬硬件濾波的功能。經推導，低通濾波算法如下：

Yn = (1- α)Xn + αYn - 1

式中，Yn——本次濾波的輸出值；

Xn——本次采樣值；

Yn -1——上次的濾波輸出值；

α ——濾波系數，；

τ ——RC電路時間常數；

T ——采樣周期。

由上式可以看出，本次濾波的輸出值主要取決于上一次濾波的輸出值（注意，不是上一次的采樣值，這和加權平均濾波是有本質區別的）。本次采樣值對濾波輸出的貢獻是比較小的，但多少有些修正作用，這種算法便模擬了具體有較大慣性的低通濾波器功能。

濾波系數α 取值范圍為0%～99%，α 越大，濾波效果越好，但動態響應會變壞。一般先選取50%，再根據響應要求適當調整。

一階滯后濾波法對周期性干擾具有良好的抑制作用適用于波動頻率較高的場合。其缺點是相位滯后，靈敏度低，滯后程度取決于α 值大小，不能消除濾波頻率高于采樣頻率的1/2的干擾信號。

7. 中位值平均濾波法

中位值平均濾波法（又稱為防脈沖干擾平均濾法）相當于“中位值濾波法”+“算術平均濾波法”。

中位值平均濾波法是連續采樣 N 個數據，去掉一個最大值和一個最小值然后計算 N -2個數據的算術平均值。N值的選取：3～14。

它的優點是融合了兩種濾波法的優點，這種方法既能抑制隨機干擾，又能濾除明顯的脈沖干擾。其缺點是測量速度較慢，和算術平均濾波法一樣，比較浪費內存。

8. 限幅平均濾波法

在脈沖干擾較嚴重的場合，如果采用一般的平均值法，則干擾會平均到結果中去。限幅平均濾波法相當于“限幅濾波法”+“滑動平均濾波法”。

限幅平均濾波法是將每次采樣到的新數據先進行限幅處理，再送入隊列進行滑動平均濾波處理。

它融合了兩種濾波法的優點，對于偶然出現的脈沖性干擾，可消除由于脈沖干擾所引起的采樣值偏差。限幅平均濾波法適用于緩慢變化信號。

1.3.4 數字濾波編程舉例

FX2N-2AD是FX系列的模擬量輸入功能模塊，與FX2N-4AD等不同的是2AD模塊沒有平均值輸入，只有當前值輸入。因此，可以在數據從2AD讀入到PLC后，在PLC里添加下面例子所編制的數字濾波程序，這樣可以達到抑制干擾的目的。

1. 中位值平均濾波程序

【例1】編制中位值平均濾波程序。

程序要求：基本單元為FX2N-32MR，A/D模塊為FX2N-2AD（位置編號1#）。采樣次數10。電壓輸入。

存儲器分配：A/D轉換后數據輸入D0；

中位置平均濾波后輸出數據D100；

采樣次數Z0；

排序前數據存儲D1～D10；

排序后數據存儲D11～D20。

程序如圖1-24所示。

2. 算術平均值濾波程序

【例2】編制算術平均值濾波程序。

程序要求同【例1】。

存儲器分配：數據輸入D100、D101；

累加D114、D115；

采樣次數D118；

算術平均值輸出D110、D111。

程序如圖1-25所示。

3. 算術平均值濾波程序

【例3】編制一階滯后濾波程序。

程序要求同【例1】。

存儲器分配：數據輸入Xn、D10；

濾波后輸出Yn、D100；

濾波系數α D102（0＜α＜1）；

濾波公式：Yn = Xn + α(Yn - 1 - Xn)。

程序如圖1-26所示。