1.2.3 正弦交流電路

1.純電阻電路

交流電路中如果只有電阻，這種電路就稱為純電阻電路。負載為白熾燈、電爐、電烙鐵等的電路都是純電阻電路。

（1）電流與電壓的數(shù)值關(guān)系

在純電阻電路中，如圖1.34所示，設(shè)加在電阻 R上的交流電壓是，則通過這個電阻的電流瞬時值為

式中

可見，電流、電壓的最大值、有效值也都符合歐姆定律。

（2）電流與電壓的相位關(guān)系

由上面i的表達式可以看出，流經(jīng)電阻中的電流與端電壓同相，其波形圖和相量圖如圖1.35所示。

2.純電容電路

在交流電路中，如果只用電容器作為負載，且可以忽略介質(zhì)的損耗，那么這個電路稱為純電容電路，如圖1.36所示。

（1）電流與電壓的數(shù)值關(guān)系

在交流電路中，電容對交流電有阻礙作用，這種阻礙作用在電工技術(shù)中通常用容抗表征，記為XC，單位是歐（Ω）。

實驗證明，電容器的容抗XC與電容器的電容量 C 及交流電的頻率成反比，用公式表示為

從式中可以看出，對于交流電，頻率越高，XC就越小；反之，頻率越低，XC就越大。對于直流電來說，f=0，XC=∞，可視為開路。可見，電容器有“通交流、隔直流，通高頻、阻低頻”的特性。

在純電容電路中，電壓的最大值、有效值和電流的最大值、有效值之間也符合歐姆定律，即

（2）電流與電壓的相位關(guān)系

通過實驗和計算證明，在純電容電路中，電流超前電壓90°，或者說電壓滯后電流90°。若設(shè)電容端電壓為

則

電流i和電壓uC的波形圖和相量圖如圖1.37所示。

3.純電感電路

在交流電路中，如果用電感線圈作為負載，且這些線圈的內(nèi)阻可以忽略不計，那么這個電路稱為純電感電路，如圖1.38所示。

（1）電流與電壓的數(shù)值關(guān)系

在交流電路中，當(dāng)電感線圈中的電流發(fā)生變化時，線圈中將產(chǎn)生感應(yīng)電動勢阻礙電流的變化。在電工技術(shù)中，通常用感抗表征電感線圈對電流的阻力，記為XL，單位是歐（Ω）。實驗表明，感抗與電感 L 以及電源頻率成正比，用公式表示為

X L =ωL=2πfL

從式中可以看出，頻率越高，XL越大；頻率越低，XL越小。對直流電而言，由于0f =，則X L=0，電感相當(dāng)于短路。可見，電感有“通直流、阻交流”或“通低頻、阻高頻”的特性。感抗與頻率成正比的特性在電工電子技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用。

可以證明，在純電感電路中，通過線圈的電流的最大值、有效值和線圈端電壓的最大值、有效值之間的關(guān)系也符合歐姆定律，即

（2）電流與電壓的相位關(guān)系

通過實驗和計算可以證明，在純電感電路中，電壓超前電流90°，或者說電流滯后電壓90°。若設(shè)電感線圈中通過的電流為

則

電流i和電壓uL的波形圖和相量圖如圖1.39所示。

4.R-L-C串聯(lián)電路

在電工技術(shù)中，一個電路中往往同時具有兩種或兩種以上的元件，它們以各種方式連

接起來。下面介紹一個典型電路，即R-L-C串聯(lián)電路，電路圖如圖1.40所示。

（1）端電流與電壓的相位關(guān)系

設(shè)通過此電路的正弦交流電為

按圖示參考方向，各元件兩端的電壓分別為

由基爾霍夫定律可知電路A、B兩端的電壓為

u=uR+uL+uC

由上述可知，電阻兩端電壓與電流同相，電感兩端電壓較電流超前90°，電容兩端電壓較電流滯后90°。由于電感上的電壓uL與電容上的電壓uC是反相的，故R-L-C串聯(lián)電路的性質(zhì)要由這兩個電壓分量的大小來決定。由于串聯(lián)電路中電流相等，而UL =XLI，UC =XCI，所以，電路的性質(zhì)實際上是由XL和XC的大小來決定的。

[1] 當(dāng)XL＞XC，則UL＞UC。端電壓應(yīng)為三個電壓的相量和，如圖1.41（a）所示。

由圖可知，端電壓較電流超前一個小于90°的角φ，電路呈電感性，稱為電感性電路。端電壓u與電流i的相位差為

[2] 當(dāng)XL＜XC，則UL＜UC。它們的相量關(guān)系如圖1.41（b）所示，端電壓較電流落后一個小于90°的角φ，電路呈電容性，稱為電容性電路。端電壓u與電流i的相位差為

[3] 當(dāng)XL=XC，則UL=UC。電感兩端的電壓和電容兩端的電壓大小相等，相位相反，故端電壓等于電阻兩端的電壓，即U =UR。端電壓u與電流i的相位差為

φ=φu0-φi0=0

電路呈電阻性。電路的這種狀態(tài)稱為串聯(lián)諧振，相量關(guān)系如圖1.41（c）所示。

（2）端電流與電壓的大小關(guān)系

從圖1.41 中可以看到，電路的端電壓與各分電壓構(gòu)成一個直角三角形，稱為電壓三角形。端電壓為直角三角形的斜邊。直角邊由兩個分量組成，一個分量是與電流相位相同的分量，也就是電阻兩端的電壓UR；另一個分量是與電流相位差90°的分量，也就是電感與電容兩端電壓之差|UL-UC|。

由三角形可得到，端電流有效值與各分電壓有效值的關(guān)系是相量和，而不是代數(shù)和。根據(jù)勾股定理

將UR =RI，UL =XLI，UC =XCI代入上式，得

這就是R-L-C串聯(lián)電路中的歐姆定律表達式。式中

稱為電路的阻抗，它的單位是歐（Ω）。

感抗和容抗統(tǒng)稱為電抗，兩者之差用X表示，即X =XL-XC，單位為歐（Ω），故得

將電壓三角形各邊同除以電流I可得到阻抗三角形。斜邊為阻抗|Z|，直角邊為電阻R和電抗 X，如圖1.42所示。|Z|和 R 兩邊的夾角φ也稱為阻抗角，它就是端電壓和電流的相位差，即

【例1.5】 在R-L-C串聯(lián)電路中，已知電路端電壓 U=220V，電源頻率為50Hz, R=30Ω，L=445mH， C=32μF。求：[1]電路中的電流大小；[2]端電壓和電流之間的相位差；[3]電阻和電容兩端的電壓。

解：[1]先計算感抗、容抗和阻抗

XL=2πfL=2×3.14×50×0.445Ω≈140Ω

所以

[2] 端電壓和電流之間的相位差是

因為XL＞XC，所以φ＞0，電路呈電感性。

[3] 電阻、電感和電容兩端的電壓分別是

UR=RI=30×4.4V=132V

UL=XLI=140×4.4V=616V

UC=XCI=100×4.4V=440V

（3）R-L-C串聯(lián)電路的兩個特例

[1] 當(dāng)電路中X C=0，即UC=0，這時電路就是R-L串聯(lián)電路，其相量圖如圖1.43（a）所示。端電壓與電流的數(shù)值關(guān)系為

這就是R-L串聯(lián)電路中的歐姆定律表達式，式中

阻抗 |Z|、電阻R和感抗X L也構(gòu)成一個阻抗三角形，如圖1.43（b）所示。

[2] 當(dāng)電路中X L=0，即UL=0，這時電路就是R-C串聯(lián)電路，其相量圖如圖1.44（a）所示。端電壓與電流的數(shù)值關(guān)系為

這就是R-C串聯(lián)電路中的歐姆定律表達式，式中

阻抗 |Z|、電阻R和容抗XC也構(gòu)成一個阻抗三角形，如圖1.44（b）所示。

【例1.6】 為了降低小功率單相交流電動機的轉(zhuǎn)速，可以用降低電動機端電壓的辦法來解決。為此，在電路中串聯(lián)一個電感線圈，稱為電抗器，如圖1.45所示。若電動機電阻 R=190Ω，感抗=260 Ω,電源端電壓 U=220V，電源頻率f=50 Hz。要求串聯(lián)電抗器后電動機兩端的電壓為U′=180V，求電抗器的電感為多大？

解：電動機的阻抗為

根據(jù)降壓要求，電路中電流應(yīng)該為

電路中總阻抗是

此阻抗包括電阻R、電動機感抗和電抗器感抗XL，所以，可求出總感抗

因此，電抗器的電感為

【例1.7】 在如圖1.46（a）所示的R-C串聯(lián)電路中，已知電壓的頻率是800Hz，電容是0.046μF，需要輸出電壓u2較輸入電壓u滯后30°的相位差。求電阻的數(shù)值是多少？

解：先畫出電流和各元件兩端電壓的相量圖，如圖1.46（b）所示。u2較u滯后30°，于是端電壓和電流的相位差為

φ=90 °-30°=60°

由阻抗三角形可得

所以

即電路應(yīng)選擇2498Ω的電阻，就能使輸出電壓滯后輸入電壓30°。