2. 應(yīng)用數(shù)學(xué)

1）常用的計(jì)算值

如表1-9所示為自然數(shù)的平方、立方、平方根、立方根、自然對數(shù)、倒數(shù)、圓周長及圓面積的計(jì)算。

2）代數(shù)中的常用公式和相互間的關(guān)系

（1）移項(xiàng)

a+b=c-d

a=（c-d）-b=c-d-b

c=（a+b）+d=a+b+d

d=c-（a+b）=c-a-b

（2）加減乘除

（+a）+（+b）= +（a+b）=a+b

（+a）+（-b）= +（a-b）=a-b= -（b-a）

（+a）-（+b）=（+a）+（-b）=a-b

（+a）-（-b）=（+a）+（+b）=a+b

（-a）+（-b）= -（a+b）

（-a）+（+b）= -（a-b）= +（b-a）

（-a）-（-b）=（-a）+（+b）=b-a

（-a）-（+b）=（-a）+（-b）= -（a+b）

（+a）（+b）= +ab=ab

（-a）（+b）= -ab

（+a）（-b）= -ab

（-a）（-b）= +ab=ab

（+a）÷（+b）= +

（-a）÷（+b）=

（+a）÷（-b）=

（-a）÷（-b）=

（a+b）（c+d）=ac+bc+ad+bd

（a-b）（c+d）=ac-bc+ad-bd

（a+b）（c-d）=ac+bc-ad-bd

（a-b）（c-d）=ac-bc-ad+bd

a+0=a；a-0=a

a ×0=0；=0（a≠0）

（3）分解因式

（a+b）2 =a2 +2ab+b2 =（a-b）2 +4ab

（a-b）2 =a2 -2ab+b2

a2 +b2 =（a-b）2 +2ab

a2 -b2 =（a+b）（a-b）

（a+b+c）2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc

=（a+b）2 +2（a+b）c+c2

（a-b+c）2 =a2 +b2 +c2 -2ab+2ac-2bc

（a+b）3 =a3 +3a2 b+3ab2 +b3

（a-b）3 =a3 -3a2 b+3ab2 -b3

a3 +b3 =（a+b）（a2 -ab+b2）

a3 -b3 =（a-b）（a2 +ab+b2）

（a ± b）4 =a4 ± 4a3 b+6a2 b2 ± 4ab3 +b4

a4 +b4 =（a2 +b2 +）×（a2 +b2 -）

（4）一元二次方程式求根

ax2 +bx+c=0

3）三角形的解法和常用公式

（1）三角形中重要的三線與四點(diǎn)

①三角形中三條重要的線，如圖1-2所示。

Ⅰ. 三角形的高線。從三角形的任一頂點(diǎn)到對邊或?qū)叺难娱L線所引的垂直線（圖中AD是△ABC的邊BC的高線，用ha表示，AC及AB邊的高分別用hb、hc來表示）。

式中 P——△ABC的半周長，P=（a+b+c）

R——△ABC的外接圓半徑。

ha=2Rsinβsinγ=bsinγ=csinβ=

Ⅱ. 三角形的中線。連接三角形任一頂點(diǎn)與其對邊中點(diǎn)的線段（圖中AE是中線，且BE=EC，用ma 表示，mb、mc 為另外兩條邊的中線，未標(biāo)）。

Ⅲ. 三角形的角平分線。從三角形任一頂點(diǎn)到對邊，并把該角平分的直線（圖中AF是∠α的角平分線，用la表示，lb、lc為另外兩條角平分線，未標(biāo)）。角平分線分角的對邊為兩部分和其他兩邊成比例：

BF∶FC=BA∶AC

②三角形中四個重要的點(diǎn)。

Ⅰ. 垂心。三角形的三條高線相交于一點(diǎn)O1，如圖1-3所示。

Ⅱ. 重心。三角形的三條中線相交于一點(diǎn)O2，如圖1-4所示，它在中線上到相應(yīng)的頂點(diǎn)的距離是中線長度的2/3。

Ⅲ. 內(nèi)心。三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)又稱為三角形的內(nèi)切圓的圓心O3，如圖1-5所示。

Ⅳ. 外心。三角形的三條邊的中點(diǎn)上所作三條垂直線相交于一點(diǎn)O4，這點(diǎn)又稱為三角形的外接圓的圓心，如圖1-6所示。

（2）勾股定理

勾股定理又叫商高定理。在直角三角形中，如果知道了兩條邊的長度，就可以應(yīng)用勾股定理求出第三條邊的長度。

定理：如圖1-7所示，在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和，即

c2 =a2 +b2

c=

同樣，可以把上面公式變?yōu)椋?/p>

a2 =c2 -b2

a=

b2 =c2 -a2

b=

【例1-7】 在直角三角形中，b=12 mm，a=10 mm，求c。

解：c= =15.6 mm

【例1-8】 在直角三角形中，c=20 mm，b=12 mm，求a。

解：a= =16 mm

（3）三角函數(shù)

①定義。如圖1-8所示，三角函數(shù)的定義如下。

正弦：sinα=

余弦：cosα=

正切：tanα=

余切：cotα=

②基本關(guān)系。

sin2 α+cos2 α=1

tanα·cotα=1

tanα=

cotα=

③常用特殊角的三角函數(shù)值如表1-10所示。

（4）三角函數(shù)表的使用方法

在解直角三角形時(shí)，除了利用已有的幾個公式外，還可以應(yīng)用三角函數(shù)表的關(guān)系求它的值。也就是由已知角求函數(shù)值，或者由已知函數(shù)值求角度。三角函數(shù)表是根據(jù)各個不同角度的變化計(jì)算出來的，這個表包含0 ° ～90 °間的四個函數(shù)值。正弦和余弦表如表1-11所示，正切和余切表如表1-12所示。

應(yīng)用三角函數(shù)表的說明：

①由三角函數(shù)表可以查出0 ° ～90 °每差1′的各角的正弦、余弦、正切和余切值。各表左邊一直列和頂上一橫行是查正弦和正切用的；右邊一直列和底下一橫行是查余弦和余切用的。

②76 °～90 °每差1′各角的正切以及0 ° ～14 °每差1′各角的余切，可以從表上直接查得，例如：

tan81 °34′=6.745，cot5 °46′=9.902

③查正弦、余弦以及0 °～76 °每差1′各角的正切和14 °～90 °每差1′各角的余切，需要用到表中的修正值。例如：

sin70 °32′=sin70 °30′+0.0002

=0.9426+0.0002=0.9428

注意：余弦和余切的值隨著角的增加而減小。例如：

cos18 °39′=cos18 °36′-0.0003=0.9478-0.0003

=0.9475（修正值用“-”）

cos18 °39′=cos18 °42′+0.0003=0.9472+0.0003

=0.9475（修正值用“+”）

cot24 °46′=cot24 °48′+0.003=2.164+0.003

=2.167（修正值用“+”）

為了避免弄錯修正值的“+”、“-”號，在查一個銳角的余弦值或余切值時(shí)，可以改查它的余角的正弦值或正切值。例如，要查cos18 °39′可以改查sin71 °21′。

④已知一個角的正弦、余弦、正切、余切，也可以利用這個表查出它所對應(yīng)的銳角的度數(shù)來。

【例1-9】 已知sinA=0.5643，求∠A。

解：從表1-11上查得最接近0.5643的正弦值為0.5650，所對應(yīng)的角是34 °24′；0.5650-0.5643=0.0007，在0.5650所在的橫行中查得0.0007所對應(yīng)的角是3′。

則∠A=34 °24′-3′=34 °21′

【例1-10】 查表求sin18 °的值。

解：查正弦表1-11，在表的左邊標(biāo)有A的縱列找到18 °，在上方橫行找到0′，它們的查列交叉處可得到3090，為小數(shù)部分，整數(shù)部分為0（注明在表中五個橫行的左邊的第一欄處）。因此可得出：

sin18 °=0.3090

當(dāng)所查角的角度分?jǐn)?shù)不是6的整數(shù)倍時(shí)，可先在表中查得一個最接近它的角度的函數(shù)值，然后用表中右邊“修正值”欄中的數(shù)值修正其差異部分。

【例1-11】 求sin15 °8′的值。

解：在表1-11中先查出sin15°6′=0.2605，再在0.2605所在橫行與“修正值”欄中2′的交叉處查得修正值為“6”，把它加在0.2605的最末一位，即

sin15 °8′=0.2605+0.0006=0.2611

若是查的角度小于表中查得的最接近它的角度時(shí)，則應(yīng)減去修正值。

查余弦時(shí)，所查角大于表中查得的最接近的角度，減去修正值；所查角小于表中最接近角度時(shí)，則加上修正值。正切和余切表的查表方法與正弦和余弦基本相同。

（5）直角三角形的解法

根據(jù)直角三角形的某些已知元素，可以求出其余的未知元素。

【例1-12】 在直角三角形中，已知a=32 mm，b=24 mm，求∠A和c。

解：tanA==1.333

查三角函數(shù)表得A=53 °8′

求c有兩種方法：

用勾股弦定理：c==40 mm

用三角公式：c==40 mm

【例1-13】 在直角三角形中，已知c=60 mm，∠A=60 °，求a和b。

解：a=csinA=60×sin60°=60×0.866=51.96mm

b=ccosA=60×cos60°=60×0.5=30mm

【例1-14】在直角三角形中，已知b=16mm，∠A=12°14′，求a和∠B。

解：a=btanA=16×tan12°14′=16×0.216 82=3.469mm

∠B=90 °-12 °14′=77 °46′

（6）等腰三角形的解法

在三角形中，如果兩條邊相等，則這個三角形叫做等腰三角形，如圖1-9所示。在等腰三角形中，AB=BC，∠A=∠C，它的高BD垂直且平分第三邊（不等邊），并將此三角形分為兩個直角三角形。

【例1-15】 在等腰三角形中，AB =40 mm，∠A =50 ° 20′的等腰三角形，求∠ABD、∠C和BD。

解：∠ABD=90 °-∠A=90 °-50 °20′=39 °40′

∠C=∠A=50 °20′

BD=AB×sinA=40×sin50°20′=40×0.77=30.8mm

（7）等邊三角形的解法

在三角形中，如果三條邊都相等，則這個三角形就叫做等邊三角形，如圖1-10所示。等邊三角形的三個內(nèi)角都是60 °，其高平分頂角，并垂直平分底邊。

【例1-16】 在等邊三角形中，BD =100mm，求∠ABD和AB。

解：∠A=60 °

∠ABD=90 °-∠A=90 °-60 °=30 °

AB==115.47 mm

（8）斜三角形的解法

如圖1-11所示為斜三角形。

a、b、c為三角形的各邊；

α、β、γ為三角形相應(yīng)對角；

R為外接圓半徑；

r為內(nèi)切圓半徑；

S為三角形面積，S=；

P為三角形的半周長，P=（a+b+c）。

①正弦定理：

②余弦定理：

a2 =b2 +c2 -2bccosα

b2 =c2 +a2 -2cacosβ

c2 =a2 +b2 -2abcosγ

③斜三角形的計(jì)算公式如表1-13所示。

（9）常用公式

①同角三角函數(shù)間的關(guān)系：

tanα=；sin2 α+cos2 α=1

cotα=；tan2 α+1=

tanα·cotα=1；cot2 α+1=

②誘導(dǎo)公式如表1-14所示。

③兩角和、兩角差、倍角和半角的三角函數(shù)：

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

tan（α+β）=

sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

tan（α-β）=

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2 α-sin2 α=1-2sin2 α=2cos2 α-1

tan2 α=

sin α2 =

cos