4.2.3 模糊理論基本概念

1.隸屬函數(shù)

集合可以表現(xiàn)概念，把具體某種屬性的元素的全體稱(chēng)為集合，把集合里的每個(gè)成員稱(chēng)為這個(gè)集合的元素。普通集合論中的元素對(duì)集合表現(xiàn)的是絕對(duì)隸屬關(guān)系，例如，從一群人()中，挑選出所有的男人來(lái)，構(gòu)成子集ωA，討論ωA中的任意一個(gè)人X，X與ωA之間只有“屬于”和“不屬于”兩種關(guān)系。

但是如果要把這群人中的中年人找出來(lái)，構(gòu)成子集ωA，如圖4-7a所示，就不能對(duì)中的任意一個(gè)人X用“是”“否”來(lái)做出肯定回答，在“是”“否”中間容許有中間狀態(tài)。鑒于此，人們提出隸屬程度的思想，用隸屬函數(shù)來(lái)代替普通集合論中的特征函數(shù)，把這群中年人構(gòu)成一個(gè)模糊子集，如圖4-7b所示，用隸屬函數(shù)μ來(lái)刻畫(huà)每個(gè)人隸屬于“中年人”的程度。

隸屬函數(shù)是表示一個(gè)對(duì)象X隸屬于集合ωA的程度的函數(shù)，通常記做μωA(X)，其自變量范圍是所有可能屬于集合ωA的對(duì)象（即集合ωA所在空間中的所有點(diǎn)），取值范圍是[0,1]，即A 0≤μω(X)≤1。μωA(X)=1表示X完全屬于ωA，相當(dāng)于傳統(tǒng)集合概念上的X∈ωA；而μωA(X)=0表示X完全不屬于集合ωA，相當(dāng)于傳統(tǒng)集合概念上的X?ωA。

由圖4-7a可知，對(duì)每個(gè)元素指定一個(gè)隸屬ωA的程度，45歲的a隸屬中年人的程度為1，40歲的b隸屬中年程度為0.9，35歲的c隸屬中年人的程度為0.5，30歲的d隸屬中年人的程度為0.3，25歲的e肯定不是中年人，隸屬中年程度為0。

隸屬度是模糊集合賴(lài)以建立的基石，要確定恰當(dāng)?shù)碾`屬函數(shù)并不容易，迄今仍無(wú)一個(gè)統(tǒng)一、標(biāo)準(zhǔn)的法則可以遵循。要確定隸屬函數(shù)需要對(duì)被描述的概念有足夠的了解，且要具有一定的數(shù)學(xué)技巧。在確定隸屬函數(shù)過(guò)程中還會(huì)用到心理測(cè)試及其結(jié)果。正如某一事件的發(fā)生與否有一定的不確定性（隨機(jī)性）一樣，某一對(duì)象是否符合某一概念也有一定的不確定性（稱(chēng)為模糊性）。

隨機(jī)性是因果律的一種必然，事件本身具體明確的含義，只是由于條件不完全，使得在條件與事件間不能出現(xiàn)決定性的因果關(guān)系。概率論的運(yùn)用，得以從隨機(jī)性中把握廣義的因果律——隸屬規(guī)律。

模糊性則是排中律的一種必然，由于概念本身沒(méi)有明確的外延，故而某一對(duì)象是否符合這一概念的劃分，就有不確定性，模糊數(shù)學(xué)正是從這一不確定性（模糊性）中確立的廣義的排中律——隸屬規(guī)律。

隸屬度的具體確定，往往包含著人腦的加工，包含著某一種心理過(guò)程，但心理過(guò)程也是物質(zhì)性的，心理物理學(xué)的大量實(shí)驗(yàn)已經(jīng)表明：人由于各種感覺(jué)獲得心理量與外界刺激的物理量間，保持著相當(dāng)嚴(yán)格的關(guān)系，對(duì)心理測(cè)量結(jié)果的運(yùn)用與修正，使得隸屬度正確建立。

在某些場(chǎng)合，隸屬度可以用模糊統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)確定。模糊統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，有4個(gè)要素：

·論域，如手寫(xiě)數(shù)字集合。中的一個(gè)元素X0，如某一個(gè)手寫(xiě)的數(shù)字“2”。中的一個(gè)邊界可變的普通集合ωA，如“寫(xiě)得像‘2’的手寫(xiě)數(shù)字”。ωA聯(lián)系于一個(gè)模糊集及相應(yīng)的模糊概念。

·條件s，它聯(lián)系著按模糊概念所進(jìn)行的劃分過(guò)程的全部主客觀因素，它制約著ωA邊界的改變。例如，不同的實(shí)驗(yàn)者對(duì)“該手寫(xiě)數(shù)字像不像數(shù)字‘2’”的理解。

模糊性產(chǎn)生的根本原因是：s對(duì)按模糊概念所做的劃分引起ωA的變異，它可能覆蓋了X0，也可能不覆蓋，這就導(dǎo)致X0對(duì)ωA的隸屬關(guān)系不確定。例如，有的人認(rèn)為該手寫(xiě)數(shù)字像“2”，有的人認(rèn)為不像。

模糊統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)的基本要求是，在每一次實(shí)驗(yàn)下，要對(duì)X0是否屬于ωA做出一個(gè)確切的判斷，做N次實(shí)驗(yàn)，就可以算出X0對(duì)ωA的隸屬頻率：

其他隸屬度函數(shù)確定的方法還有：二元對(duì)比法、推理法、專(zhuān)家評(píng)分法等。

2.模糊子集的定義

設(shè)={X}是一個(gè)集合，μA(X)ω 定義在上，并且μA(X)ω ∈[0,1]，則給定論域上的一個(gè)模糊子集ωA，是指：對(duì)于任意X∈，都確定了一個(gè)數(shù)μA(X)ω，稱(chēng)μA(X)ω 為X對(duì)ωA的隸屬度。的隸屬函數(shù)。模糊子集完全由其隸屬函數(shù)所刻畫(huà)。當(dāng)μωA(X)的值域?yàn)閧0,1}時(shí)，μωA(X)蛻化為一個(gè)普通子集的特征函數(shù)，普通子集是模糊子集的特殊形態(tài)。如圖4-7所示，在論域中確定一個(gè)模糊子集ωA，它表示“中年人”這一模糊概念。即={a，b，c，d，e}，對(duì)于每一個(gè)元素，制定一個(gè)對(duì)于ωA的隸屬程度：μ→μωA(X)稱(chēng)為ωA

a→1，b→0.9，c→0.5，d→0.3，e→0 ω A = (1,0.9,0.5,0.3,0)ω A=1/a+0.9/b+0.5/c+0.3/d+0/e

這樣便確定了一個(gè)模糊子集ωA，它是“中年人”這一模糊概念在論域上的表現(xiàn)。這里，由有限個(gè)元素組成，稱(chēng)為有限論域。有限論域上的模糊子集，可以用向量來(lái)表示，“中年人”在上的模糊子集ωA，可以寫(xiě)成

也可以采用Zadeh的記法：

或

ω A=1/a+0.9/b+0.5/c+0.3/d

在此不要誤把上式右端當(dāng)做分式求和。分母位置放置的是論域中的元素，分子位置放置的是相應(yīng)元素的隸屬度。當(dāng)隸屬度為0時(shí)，可以不放置此項(xiàng)。也可以采用另一種記法：

ω A ={(1，a)，(0.9，b)，(0.5，c)，(0.3，d)，(0，e)}

模糊子集是通過(guò)隸屬函數(shù)來(lái)定義的。要確定ωA是由哪些元素組成的，必須對(duì)隸屬度取一定的閾值a，當(dāng)選取的a不同時(shí)，其模糊集的范圍也不同。如上例中有ωA1={a}，ωA0.9={a，b}，ωA0.5={a，b，c}，ωA0.3={a，b，c，d}，ωA0={a，b，c，d，e}。

3.模糊子集運(yùn)算

兩個(gè)模糊子集間的運(yùn)算，實(shí)際上就是逐點(diǎn)對(duì)隸屬度做相應(yīng)的運(yùn)算。

（1）相等

設(shè)ωA，ωB均為中的模糊子集，若對(duì)?X∈ 均有μωA(X)=μωB(X)，則稱(chēng)ωA和ωB相等，即

（2）包含

設(shè)ωA，ωB均為中的模糊子集，若對(duì)?X∈ 均有μωA(X)≤μωB(X)，則稱(chēng)ωB包含ωA，即

（3）空集

設(shè)ωA為中的模糊子集，若對(duì)?X∈均有μ A(X)=0ω，則稱(chēng)ωA為空集，即

（4）補(bǔ)集

設(shè)ωA，為中的模糊子集，若對(duì)?X∈ 均有μωA (X)=1-μω-A (X)，則稱(chēng)為ωA的補(bǔ)集，即

設(shè)ωA，ωB，ωC均為中的模糊子集，若對(duì)?X∈均有μωC (X)=max{μωA(X)，μωB(X)}，則稱(chēng)ωC為ωA與ωB的并集，即

（5）全集

設(shè)ωA為中的模糊子集，若對(duì)?X∈均有μA(X)=1ω，則稱(chēng)ωA為全集，記做Ω，即

（6）并集

（7）交集

設(shè)ωA，ωB，ωC均為中的模糊子集，若對(duì)?X∈均有μωC(X)=min{μωA(X)，μωB(X)}，則稱(chēng)ωC為ωA與ωB的交集，即

例：設(shè)有兩個(gè)模糊子集ωA，ωB，

ω A=1.0/a+0.9/b+0.6/c+0.2/d+0.3/e+0.0/f

ω B=0.9/a+0.8/b+0.7/c+0.3/d+0.2/e+0.1/f

ω A∩ωB=0.9/a+0.8/b+0.6/c+0.2/d+0.2/e+0.0/f

ω A∪ωB=1.0/a+0.9/b+0.7/c+0.3/d+0.3/e+0.1/f

4.模糊集運(yùn)算性質(zhì)

在普通集合中成立的各種基本性質(zhì)，一般對(duì)模糊集也成立。但由于在模糊集中，一般的互補(bǔ)律不成立，因而需要注意雖然模糊集在包含關(guān)系上構(gòu)成分配格，但并未構(gòu)成布爾格。各種基本性質(zhì)如下：

一般地，以下規(guī)律不成立：

5.模糊關(guān)系

本節(jié)將介紹模糊關(guān)系的定義、建立及其運(yùn)算。

（1）模糊矩陣

在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常要考慮兩個(gè)模糊集內(nèi)各元素之間的關(guān)系，已知U、V是兩論域，設(shè)U是樣品甲的狀態(tài)集，V是樣品乙的狀態(tài)集。若同時(shí)考慮甲、乙兩個(gè)因素時(shí)，則其可能的狀態(tài)集是由U、V中任意搭配的元素對(duì)（u，v）構(gòu)成，稱(chēng)為U與V的笛卡兒乘積集，記做

笛卡兒乘積集是兩集合元素間的無(wú)約束搭配。若對(duì)這種搭配加以一定的限制，便表現(xiàn)了 U、V之間的某種特殊關(guān)系，稱(chēng)為U、V的模糊關(guān)系R。模糊關(guān)系R的隸屬函數(shù)μR(U，V)稱(chēng)為（U，V）具體關(guān)系R的程度，例如，μR(U,V)→[0，1]，表示U、V具體關(guān)系R的程度。

若有一批樣品共有N個(gè)，每個(gè)樣品有n個(gè)特征，則可把X看作一個(gè)n維列行向量，該向量X稱(chēng)為特征向量，樣品i記做

表4-1所示為原始資料矩陣。

樣品i（i=1,2,…,N）與樣品j（j=1,2,…,N）之間的相似程度，表示i與j任意組合時(shí)它們之間的貼近程度，可構(gòu)成模糊關(guān)系R。此時(shí)模糊關(guān)系R可以用矩陣形式表示，即

R =(ri)j，其中rij=μR(Xi，X j)

顯然有0≤rij≤1，（i≥1, j≤N），滿足以上條件的矩陣稱(chēng)為模糊矩陣。特別地，當(dāng)rij∈{0，1}，（i≥1, j≤N）時(shí)，矩陣R退化為布爾矩陣。布爾矩陣可以表達(dá)一種普通的關(guān)系。

（2）模糊關(guān)系的建立

模糊關(guān)系可以用于聚類(lèi)分析，但要想樣品的聚類(lèi)效果較好，關(guān)鍵應(yīng)選擇合理的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，即被選中的指標(biāo)應(yīng)有明確的實(shí)際意義，有較強(qiáng)的分辨力和代表性。在統(tǒng)計(jì)指標(biāo)確定后就可以按照下面的內(nèi)容進(jìn)行分類(lèi)。

·把各代表點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，以便分析和比較，這一步又稱(chēng)正規(guī)化。為把標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)壓縮到（0，1）閉區(qū)間，可以用極值標(biāo)準(zhǔn)化公式：

·當(dāng)x′=xm′ax時(shí)，x=1；當(dāng)x′=xm′in時(shí)，x=0；否則x∈ [0，1]。

·算出被分類(lèi)對(duì)象間具有此種關(guān)系的程度rij（通常是Xi與X j的相似程度，i，j=1，2，…，N），N為對(duì)象個(gè)數(shù)，從而確定論域上的模糊關(guān)系R。

（3）計(jì)算rij常用的方法

1）歐氏距離法

歐氏距離法可用下式表示：

式中，Xik為第i個(gè)樣品第k個(gè)特征的值，Xjk為第j個(gè)樣品的第k個(gè)特征的值。

2）數(shù)量積法

數(shù)量積法可用下式表示：

式中，M為一適當(dāng)選擇的正數(shù)，滿足。

3）相關(guān)系數(shù)法

相關(guān)系數(shù)法可用下式表示：

式中，。

4）指數(shù)相似系數(shù)法

指數(shù)相似系數(shù)法可用下式表示：

式中，為適當(dāng)選擇的正數(shù)。

5）非參數(shù)法

令，n+為{xi′m?x′jm}中大于0的個(gè)數(shù)，n-為{xi′m?x′jm}中小于0的個(gè)數(shù)，則非參數(shù)法可用下式表示：

6）最大最小法

最大最小法可用下式表示：

7）算術(shù)平均法

算術(shù)平均法可用下式表示：

8）幾何平均最小法

幾何平均最小法可用下式表示：

9）絕對(duì)值指數(shù)法

絕對(duì)值指數(shù)法可用下式表示：

10）絕對(duì)值倒數(shù)法

絕對(duì)值倒數(shù)法可用下式表示：

11）絕對(duì)值減數(shù)法

絕對(duì)值減數(shù)法可用下式表示：

12）主觀評(píng)定法

主觀評(píng)定法，即以百分制打分，然后除以100，得到[0，1]區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)，亦可多人打分求平均。

上述各種方法的優(yōu)劣不能一概而論，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況區(qū)分選擇。

（4）模糊矩陣的運(yùn)算

1）并、交、非運(yùn)算的定義

定義 設(shè)一Fnm表示全體n行m列的模糊矩陣，對(duì)任意R，S∈Fnm，有R=(rij)，S=(sij)，則稱(chēng)

R∪S =（rij∨sij）

R∩S =（rij∧sij）

為R與S的并、交及R的余矩陣。jk,R=(rnm)ij

例如，設(shè)

如果ri =j sij對(duì)所有i，j成立，則稱(chēng)R=S。

單位矩陣I：對(duì)角線上為1，其余為0的模糊矩陣。

全部項(xiàng)為0的模糊矩陣，以0表示；全矩陣E：全部項(xiàng)均為1的模糊矩陣。

對(duì)任意R，S，T∈Fnm，下列性質(zhì)成立：

性質(zhì)1 交換律。

性質(zhì)2 結(jié)合律。

性質(zhì)3 分配律。

性質(zhì)4 等冪律。

性質(zhì)5 吸收律。

性質(zhì)6 0∪R=R，0∩R=0；E∪R=E，E∩R=R。

性質(zhì)7 0?R?E。

ij如果對(duì)任意i，j均有r ij≤s，則稱(chēng)矩陣S包含矩陣R，記做R?S。

性質(zhì)8 R?S?R∪S =S?R∩S=R。

性質(zhì)9 若 R1?S1，R2?S2，則有(R1∪R2)?(S1∪S2)，(R1∩R2)?(S1∩S2)。

性質(zhì)10 R ?S??。

性質(zhì)11 R?S?R λ?Sλ。

性質(zhì)12 (R∪S)λ=Rλ∪Sλ（此時(shí)不能推廣到無(wú)限個(gè)矩陣的并集）

(R∩S)λ=Rλ∩Sλ

2）模糊關(guān)系的合成和模糊矩陣的合成

設(shè)Q∈FU×V,R∈FV×W，稱(chēng)Q對(duì)R的合成為U到W的一個(gè)模糊關(guān)系，它具有隸屬度函數(shù)：

設(shè)Q=(q )m1，定義S=Q?R∈Fn1且有

稱(chēng)矩陣Q對(duì)矩陣R的合成為矩陣S。S又稱(chēng)Q對(duì)R的模糊積。式中，∧表示求最小值，∨表示求最大值。

由上述定義可以得到以下結(jié)論：對(duì)于有限論域，由模糊矩陣乘積的定義，其運(yùn)算過(guò)程與普通矩陣乘法相同，只不過(guò)將實(shí)數(shù)加法改成求并集，實(shí)數(shù)乘法改成求交集而已。

例如，若

如此，等等。

性質(zhì)13 對(duì)模糊矩陣有

(Q?R)λ=Qλ?Rλ

性質(zhì)14 模糊乘法結(jié)合律

(Q?R)?S=Q?(R?S)

推論：Rm?Rn=Rm+n

性質(zhì)15

(Q∪R)?S=(Q?S)∪(R?S)

S? (Q∪R)=(S?Q)∪(S?R)

性質(zhì)16

0?R=R?0,I?R=R?I=R

3）模糊關(guān)系的基本性質(zhì)

自反性：對(duì)于一個(gè)中的模糊關(guān)系R，對(duì)所有，若μR(X,X)=1成立，則稱(chēng)這種模糊關(guān)系R具有自反性。

對(duì)稱(chēng)性：若對(duì)所有的 均有μR(Xi,Xj)=μR(Xj,Xi)成立，則稱(chēng)模糊關(guān)系R具有對(duì)稱(chēng)性。

相似關(guān)系：我們把具有自反性和對(duì)稱(chēng)性的模糊關(guān)系稱(chēng)為相似關(guān)系。

一個(gè)中的模糊關(guān)系R，如果矩陣μR(Xi,X j)中的對(duì)角線元素均為1，則R具有自反性，若主對(duì)角線對(duì)稱(chēng)的元素均相等，則R具有對(duì)稱(chēng)性。若滿足R?R?R，則稱(chēng)R具有傳遞性，傳遞性關(guān)系實(shí)質(zhì)是R包含著它與它自己的合成。

我們把具有自反性、對(duì)稱(chēng)性、傳遞性的模糊關(guān)系稱(chēng)為等價(jià)模糊關(guān)系。

例如：

R對(duì)角線為1，具有自反性；R關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱(chēng)，具有對(duì)稱(chēng)性；R?R=R，滿足傳遞性，所以，R是一個(gè)等價(jià)矩陣。

6.模糊集在模式識(shí)別中的應(yīng)用

模式識(shí)別實(shí)際上是一個(gè)分類(lèi)問(wèn)題，它將一個(gè)未知模式指定為已知類(lèi)別中的一種。利用模糊子集理論可以將模式識(shí)別的方法歸納為兩種：隸屬原則識(shí)別法和擇近原則識(shí)別法。在實(shí)際問(wèn)題中還有另一種分類(lèi)問(wèn)題，也就是我們可以利用模糊關(guān)系進(jìn)行聚類(lèi)分析。

（1）隸屬原則識(shí)別法

在通常的模式識(shí)別中，所謂模式，總是有一個(gè)明確、清晰、肯定的樣式，例如，識(shí)別手寫(xiě)數(shù)學(xué)時(shí)，其模式就是印刷體的數(shù)字。根據(jù)隸屬度最大的原則來(lái)分類(lèi)是很自然的。這種直接由計(jì)算樣品的隸屬度來(lái)判斷其歸屬的方法，稱(chēng)為模式分類(lèi)的隸屬度原則，又稱(chēng)模糊模式分類(lèi)的直接方法。

隸屬度原則：設(shè)論域中有M個(gè)模糊子集ω1，ω2，…,ωM，且對(duì)于每一個(gè)ωi都有隸屬度函數(shù)μω(X)，對(duì)任意，若有

則認(rèn)為X0屬于ωi。隸屬原則是明顯的、公認(rèn)的，但其效果卻十分依賴(lài)于建立已知模式類(lèi)隸屬函數(shù)的技巧。

（2）擇近原則識(shí)別法

在實(shí)際的模式識(shí)別中，被識(shí)別的對(duì)象往往不是論域中的一個(gè)確定的元素，而是中的一個(gè)子集。這時(shí)，所討論的對(duì)象不是一個(gè)元素對(duì)集合的隸屬程度，而是兩個(gè)模糊子集間的貼近程度。

設(shè)ωA，ωB是上的兩個(gè)模糊子集，則其間的貼近度定義為例如，={a，b，c，d，e，f}

式中，，分別稱(chēng)為A和B的內(nèi)積和外積。

ω A =0.6/a+0.8/b+1.0/c+0.8/d+0.6/e+0.4/ f

ω B =0.4/a+0.6/b+0.8/c+1.0/d+0.8/e+0.6/ f

則

ωA×ωB=(0.6∨0.8)∧(0.8∨0.6)∧(1.0∨0.8)∧(0.8∨1.0)∧(0.6∨0.8)∧(0.4∨0.6)=0.6

ωA?ωB=(0.6∧0.4)∨(0.8∧0.6)∨(1.0∧0.8)∨(0.8∧1.0)∨(0.6∧0.8)∨(0.4∧0.6)=0.8

利用貼近度進(jìn)行分類(lèi)：設(shè)上有n個(gè)模糊子集ωA1，ωA2，…,ωAn及另一個(gè)模糊子集ωB，若有

則稱(chēng)ωB與ωAi最接近，或者說(shuō)ωB屬于ωA j類(lèi)。

上式說(shuō)明，要判別某一模糊子集ωB屬于ωA1，ωA2，…，ωAn中的哪一類(lèi)，應(yīng)首先計(jì)算ωB與ωA1，ωA2，…，ωAn各類(lèi)的貼近度，然后把ωB歸入貼近度最大的那一類(lèi)。